高中数学北师大版练习第二章2-2第1课时函数的表示法

2．2函数的表示法第1课时函数的表示法水平11．任何一个函数都可以用图象法表示．()2．函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()3．每一个函数都可以用解析法表示．()4．垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)，x∈A的图象最多一个交点．()【解析】1.提示：×.有些函数是不能画出图象的，如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,－1，x∈RQ.))2．提示：×.一个反例：f(x)＝eq\f(1,x)的图象就不是连续的曲线．3．提示：×.一个反例：某天的空气质量指数图象一般不能用解析法表示．4．√.·题组一函数的表示法1．给出函数f(x)，g(x)如表，则f(g(x))的值域为()x1234f(x)4321x1234g(x)1133A．{4，2} B．{1，3}C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能【解析】选A.因为当x＝1或x＝2时，g(1)＝g(2)＝1，所以f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4；当x＝3或x＝4时，g(3)＝g(4)＝3，所以f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2.故f(g(x))的值域为{2，4}．2．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是()A．支出最高值与支出最低值的比是8∶1B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．收入最高的月份是2月份【解析】选D.由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1，故A错误，由题图可知，4至6月份的平均收入为eq\f(1,3)(50＋30＋40)＝40万元，故B错误，由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，由题图可知收入最高的月份为2月份，故D正确．3．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})【解析】选D.由题意得y＝2x，x∈{1，2，3，4}．·题组二函数的图象及其应用1．已知函数y＝f(x)的对应关系如表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为()x123f(x)230A．3B．2C．1D．0【解析】选B.由图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，所以f(g(2))＝f(1)＝2.2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．·题组三求函数的值与函数解析式1．若f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．1B．3C．15D．30【解析】选C.令1－2x＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(1,4)，因为f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，所以f(eq\f(1,2))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝15.2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝－eq\f(3,x) B．f(x)＝eq\f(3,x)C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x【解析】选B.由题意设f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)，由f(－3)＝－1，得eq\f(k,－3)＝－1，得k＝3.所以f(x)＝eq\f(3,x).【加练备选】已知f(x)+2f(x)=x2+2x,则f(x)=__________.

【解析】因为f(x)+2f(x)=x2+2x,①所以将x换成x,得f(x)+2f(x)=x22x.②所以由①②得3f(x)=x26x,所以f(x)=QUOTEx22x.答案:QUOTEx22x易错点一不能理解抽象函数的定义域而出错1．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，则函数f(x－5)的定义域是________．【解析】由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4，10].答案：[4，10]2．已知函数f(x－5)的定义域为[－1，5]，则函数f(x)的定义域是________．【解析】由于－1≤x≤5，所以－6≤x－5≤0，所以函数f(x)的定义域是[－6，0].答案：[－6，0]【易错误区】第1题的题设条件中自变量x的取值范围是[－1，5]，而设问中函数自变量虽是x但其范围应由－1≤x－5≤5求得，显然范围不一样；第2题的题设条件中的自变量的取值范围是[－1，5]，但题设条件中x的取值相当于已知函数中x＋5的取值范围，因而所求函数定义域与题设中定义域不一样．对函数概念理解不透彻，分不清这两个函数中的自变量是导致错误的根本原因．易错点二对复合函数的概念理解不透彻而出错(金榜原创题)已知函数f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，则f(f(x))＝__________.【解析】因为f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝eq\f(1＋f（x）,1－f（x）)＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x).答案：－eq\f(1,x)【易错误区】对于函数的对应关系f的理解：如图，来自定义域A的每一个元素从入口进入“机器f”，被f处理后从出口落入集合B，容易出错的是认为入口只能是一个x，不能是其他，正确的是只要在入口处属于定义域A的实数都可以从入口进入被f处理．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是从下午到18时他的体温一直上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()【解析】选C.从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除D.2．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝()A．0B．8C．2D．－2【解析】选B.因为f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝3，))即f(x)＝x2－4x＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知f(x＋2)＝x2＋4x＋2025，则f(x)＝()A．x2＋2021 B．x2＋8x＋2025C．x2－4x＋2021 D．x2＋4x＋2017【解析】选A.设x＋2＝t，则x＝t－2，所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋2025＝t2－4t＋4＋4t－8＋2025＝t2＋2021.所以所求函数为f(x)＝x2＋2021.4．(2021·南充高一检测)已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x－1)＝2x2，则f(3)＝()A．8 B．4 C．18 D．2【解析】选A.因为f(2x－1)＝2x2，令2x－1＝3，解得x＝2，所以f(3)＝2×22＝8.5．(多选)已知函数f(x)是一次函数，满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝9x＋8，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2C．f(x)＝－3x＋4 D．f(x)＝－3x－4【解析】选AD.设f(x)＝kx＋b，由题意可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f（x）))＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋b))＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9,kb＋b＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3,b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝－4))，所以f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.6．(多选)已知狄利克雷函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x是有理数，,0，x是无理数，))则下列结论正确的是()A．f(x)的值域为[0，1]B．f(x)的定义域为RC．f(x＋1)＝f(x)D．f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))【解析】选BC.对于A,f(x)的值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1))，故A错误；对于B,f(x)的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝f(x)成立，故C正确；对于D，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，所以f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故D错误．二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝______．【解析】因为f(2x＋1)＝eq\f(3,2)(2x＋1)＋eq\f(1,2)，所以f(a)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2).又f(a)＝4，所以eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)＝4，a＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)8．若f(x)－eq\f(1,2)f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________．【解析】因为f(x)－eq\f(1,2)f(－x)＝2x，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）－\f(1,2)f（－2）＝4，,f（－2）－\f(1,2)f（2）＝－4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（2）－f（－2）＝8，,f（－2）－\f(1,2)f（2）＝－4，))相加得eq\f(3,2)f(2)＝4，f(2)＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)9．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为____________________________．【解析】正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为eq\f(x,4)，由勾股定理得(2y)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)，所以y2＝eq\f(x2,32)，即y＝eq\f(\r(2),8)x(x>0).答案：y＝eq\f(\r(2),8)x(x>0)10．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b))，且f(1)＝2，则eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)),f（2）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)))＋…＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2023)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2022)))＝________．【解析】令a＝x，b＝1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝f(x)·f(1)＝2f(x)，所以eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),f（x）)＝2，所以eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)),f（2）)＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3)))＋…＋eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2023)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2022)))＝2＋2＋…＋2＝2×2022＝4044.答案：4044三、解答题11．(10分)(一题多解)(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式；(2)已知f(eq\r(x)－1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式．【解析】(1)方法一(替换法)：在f(x＋1)＝x2－3x＋2中，把x换成x－1，得f(x)＝(x－1)2－3(x－1)＋2＝x2－2x＋1－3x＋3＋2＝x2－5x＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.方法二(配凑法)：因为f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，所以f(x)＝x2－5x＋6.方法三(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.(2)方法一(配凑法)：因为f(eq\r(x)－1)＝x＋2eq