5.4平抛运动（讲义）

5.4抛体运动的规律TOC\o"13"\h\u知识点1：平抛运动的规律 201平抛运动速度的计算 3知识点2：平抛运动的位移与轨迹 502平抛运动位移的计算 603平抛运动的变式 804平抛运动的追击相遇问题 11知识点3：平抛运动的连个推论 1305速度反向延迟线的特点 1306速度偏转角与位移偏转角的特点 16知识点4：一般的抛体运动 1807斜抛运动 20知识点5：类平抛运动 2208类平抛运动 2309曲面结合的平抛运动 25【基础练·强化巩固】 27【拓展练·培优拔高】 36课堂目标关键词会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动；2.理解平抛运动的规律,会计算平抛运动的速度及位移；3.学会应用平抛运动的知识解决和解释自然、生活和生产中的例子；4.能分析研究一般的抛体运动。1.平抛运动、轨迹方程2.射程、射高3.平抛运动推论4.斜抛运动、类平抛运动知识点1：平抛运动的规律平抛运动无法直接应用直线运动规律分析。“一分为二、化曲为直”是解决曲线问题的一个重要方法。以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，坚直向下为y轴，建立平面直角坐标系。水平分速度物体做初速度为v0的平抛运动，由于所受重力的方向是竖直向下的，物体在水平方向的分速度保持不变，故整个运动过程中始终有。竖直分速度平抛运动在竖直方向的加速度为重力加速度g，则物体在竖直方向的分速度t时刻的速度如图所示，t时刻的速度与此时刻的两个分速度、，的关系为，可知平抛运动的速度越来越大。速度的方向与水平方向的夹角0满足，随着物体的下落，θ角越来越大，但总是小于90°。即物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向，但不会竖直向下。速度的变化特点平抛运动的水平分速度恒定，竖直分速度按的规律变化，则任意相等的时间间隔内速度的变化都相同，且，方向竖直向下，如图所示，将图甲v中各速度矢量的始端移到同一点就得到图乙所示情形。01平抛运动速度的计算【典例1】一个木块从高ℎ=1.25m的水平桌子的左边A以初速度v0=4m/s向右滑行，离开桌面后落到C点，距桌子右边B的水平距离s=0.5m（1）木块离开桌面时的速度大小为多少？（2）桌面长为多少？【答案】（1）1m/s；（2）1.5m【详解】（1）设小球离开桌面时的速度为v1，则s=0.5ℎ=1.25得v（2）设桌面长为x，则2ax=根据牛顿第二定律得a=−μmgm=−μg，【变式11】（多选）如图所示，从距地面高度为h，距墙面水平距离为L的A点以速度v0水平向右抛出小钢球，重力加速度为gA．若v0>LgB．若v0>LgC．若v0<LgD．若v0<Lg【答案】AD【详解】小钢球恰好抛到墙面与地面的交点处，水平方向L=竖直方向ℎ=可得vAB．若v0>LgCD．若v0故选AD。【变式12】在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。g取10m/s2.求：（1）摩托车飞跃壕沟的时间。（2）摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？（3）摩托车落地时的速度大小和方向。【答案】（1）1010s；（2）5【详解】（1）摩托车飞跃壕沟的时间t=（2）摩托车越过这个壕沟的最小速度v（3）摩托车落地时的竖直速度v速度大小v=方向与水平方向夹角为tan知识点2：平抛运动的位移与轨迹平抛运动的水平位移：……①竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，……②联立①和②得，，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。【点拨】【点拨】（1）平抛运动在空中的飞行时间由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，与抛出时的初速度大小无关。（2）水平射程由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。（3）落地速度大小：，由此可见，其落地的速度有初速度和高度h有关。02平抛运动位移的计算【典例2】如图所示，一子弹从O点水平射出，初速度大小为v0=10m/s，子弹在两张竖直薄纸上留下了两个弹孔A、B。前一张薄纸到O点的距离为s=4m，两张纸之间的距离为（1）子弹从A孔运动到B孔所花的时间；（2）A，B两孔的竖直高度差。【答案】（1）0.3s；（2）1.65m【详解】（1）子弹水平射出后做平抛运动：水平方向做匀速直线运动，故子弹从A孔运动到B孔所花的时间t=（2）子弹从O点运动到A的时间为t子弹从O点运动到B的时间为t因子弹竖直方向做自由落体运动，故有A，B两孔的竖直高度差Δ解得Δ【变式21】如图，倾角为45°的斜坡，斜坡高度为h，斜坡底端A点正上方有B、C两点，B点和斜坡等高。甲战斗机以水平速度v1飞到C点时释放炸弹M，准确命中斜坡上的P点，CP的连线垂直于坡面，乙战斗机以水平速度v2飞到B点时释放炸弹N，也准确命中斜坡上的P点，速度方向恰好垂直斜坡。已知两颗炸弹质量相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．C点距离A点的高度为5ℎB．炸弹M、N在空中的飞行时间之比为2:1C．vD．炸弹M、N的竖直方向上的位移之比为2:1【答案】D【详解】设炸弹M、N在空中的飞行时间分别为t1，t2，由平抛运动的规律有vv1解得AC=2APtv1故选D。【变式22】如图所示为某公园的喷水装置，喷水口高度可调节，喷水速度可控制，水从喷口水平喷出，落在池中水面上。忽略空气阻力，下列说法中正确的是（）A．若喷水口高度相同，喷水速度越大，则水在空中运动时间越长B．若喷水口高度相同，喷水速度越大，则水喷得越近C．若喷水速度相同，喷水口高度越高，则水喷得越近D．若喷水速度相同，喷水口高度越高，则水在空中运动时间越长【答案】D【详解】A．喷出的水做平抛运动，竖直方向有ℎ=可知若喷水口高度相同，水在空中运动时间保持不变，与喷水速度无关，故A错误；B．喷出的水做平抛运动，水平方向有x=若喷水口高度相同，水在空中运动时间相同，喷水速度越大，则水喷得越远，故B错误；C．若喷水速度相同，喷水口高度越高，水在空中运动时间越长，则水喷得越远，故C错误；D．根据ℎ=12故选D。03平抛运动的变式【典例3】如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m（1）若击球高度为2.5m（2）在第（1）问条件下，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围。（3）当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？【答案】（1）310m/s；（2）3【详解】（1、2）排球被水平击出后，做平抛运动，作出如图1所示的示意图若正好压在底线上，根据ℎ球在空中飞行的时间为t由此得排球越界的临界击球速度值为v1若球恰好触网，根据ℎ则球在球网上方运动的时间为t由此求得排球触网的临界击球速度v要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为3（3）设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，此情况是球刚好擦网而过，落地时又恰压底线上（如图2所示）则有x12ℎg=【变式31】环保人员在一次检查时发现，有一根排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离地面有一定的高度，如图所示。现在，环保人员只有一把卷尺，请问需要测出哪些数据就可大致估测该管道的排污量？写出测量每秒钟排污体积的表达式。（特别提醒每一个测量的物理量及使用的物理规律要用物理语言和常用的符号表述）【答案】需要测量的物理量为：竖直高度h、水平位移x、出水口的直径d，Q=【详解】水做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，用卷尺测量竖直高度h和水平位移x，由平抛运动规律有ℎ=12得v设出水口的直径为d，单位时间内流出的水量，即排污量为Q=【变式32】如图所示，运动员将网球从O点以速度v0水平击出，网球经过M点时速度方向与竖直方向的夹角为60°，落到水平地面上的N点时速度方向与竖直方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为gA．O点距水平地面的高度为v024g B．C．网球从O点运动到N点的时间为v0g D．O、N【答案】C【详解】A．根据平抛运动规律可知，网球在M点时的竖直分速度v在N点时的竖直分速度v则O点距水平地面的高度ℎO=B．M点距水平地面的高度ℎM=C．网球从O点运动到N点的时间t=v0D．O、N两点间的水平距离x=v0故选C。04平抛运动的追击相遇问题【典例4】如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。关于这段过程，下列说法中正确的是（）A．两球的速度变化不同B．相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°C．两球的相遇点在N点上方ℎ3D．M、N间的距离为2h【答案】B【详解】A．两球加速度均为重力加速度，则相同时间内速度变化量相同，A错误；B．S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，则两球相遇时间t=v则小球S1的速度方向与水平方向夹角tanθ=gtv即相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°，B正确；C．两球在竖直方向的运动是互逆的，则相遇点在N点上方ℎ2D．M、N间的距离为x=vt=v又ℎ=2×则x=h，D错误。故选B。【变式41】在同一水平直线上的两位置分别沿相同方向水平抛出两小球A和B其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，则下列说法中正确的是（）A．相遇时B球竖直分速度较大 B．相遇时A球速度与水平方向夹角较大C．应该同时抛出两小球 D．应该先抛出A球【答案】C【详解】ACD．两球在竖直方向做自由落体运动，根据ℎ=12在同一水平直线上水平抛出两小球，相遇时，两球下落高度相同，下落时间相等，则应该同时抛出两小球，相遇时两球的竖直分速度相等，故AD错误，C正确；B．相遇时小球与水平方向的夹角满足tan由于所用时间相等，A球的水平位移较大，则A的初速度较大，A球速度与水平方向夹角较小，故B错误。故选C。【变式42】如图所示，从距离光滑地面高H=20m处以初速度40m/s水平抛出物体A，与此同时，物体B以10m/s的初速度同方向滑出，A、B均可视为质点，重力加速度g=10m/s²。（1）求A落地的用时为多少；（2）求A落地时瞬时速度的大小和方向（可以用正切表示）；（3）求A与B水平距离x为多少时开始水平抛出A物体，能使A和B物体恰好相碰?【答案】（1）2s；（2）205m/s，【详解】（1）物体A做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有H=得t=代入数据得t=2（2）A落地时竖直方向瞬时速度的大小v瞬时速度的大小v=得vy=20A落地时瞬时速度与水平方向夹角的正切值为tan（3）物体A的水平位移为x物体B的位移为x若使A和B物体恰好相碰，则开始水平抛出A物体时，A与B水平距离为x=知识点3：平抛运动的连个推论推论一：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．推导过程：……①将速度v方向延长，速度偏向角的正切值还可以表示为：……②联立求解：推论二：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα，如图所示。推导过程：速度偏向角的正切值：……①位移偏向角的正切值：……②比较得：05速度反向延迟线的特点【典例5】（多选）投壶是古代士大夫所做的一种投射游戏。《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”若甲、乙两人站在距壶相同水平距离处沿水平方向各投出一支完全相同的箭，箭尖插入同一个壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，忽略空气阻力、箭长、壶的高度、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是（）A．甲所投箭的初速度大小比乙的大B．甲所投箭的位置比乙所投箭的位置高C．甲、乙所投的箭在空中运动的时间相等D．此运动过程中，甲所投箭的速度的变化量比乙大【答案】BD【详解】BC．设箭抛出点离壶口的竖直高度为h，水平距离为x，箭尖插入壶中时与水平面的夹角为θ。箭在空中做平抛运动，根据推论：速度的反向延长线过水平位移的中点，则tanx相同，h越大，θ越大，则知甲所投箭的位置比乙的高，根据ℎ=可知甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长。故B正确；C错误；A．由x=v0t，D．速度变化量Δv=gt，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，则甲的速度变化量比乙的大。故D正确。故选BD。【变式51】如图所示，竖直平面有一半径为R的圆，圆心O1为(R,0)，半径O1A与xA．从O点以某一速度v0将一小球向xB．从O点下方某点以速度v0将一小球向xC．从R2,0处将小球以某一速度向x轴正方向抛出，小球有可能垂直击中圆周上D．从0,3R2处将小球以某一速度向x【答案】C【详解】AB．根据平抛运动物体速度的反向延长线过水平位移中点，可知从O点和O点下方某处平抛不可能垂直击中圆周，AB错误；C．x轴上P点(R2,0)与A的水平位移为PA1，O1点为PAD．若抛出点M在O点以上，也有可能垂直击中圆周上A点，如图所示，由几何关系可得M点为0,3故选C。【变式52】如图所示光滑直管MN倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为ℎ=0.4m；在距地面高为H=1.2m处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管内，设小球弹出点O到管口M的水平距离为x，弹出的初速度大小为v0，重力加速度g取10m/s2A．x=1.6m，v0=4m/s C．x=0.8m，v0=4m/s 【答案】A【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口M时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示根据几何关系得，x=2小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从O到M的运动时间为t=水平方向匀速运动有v故选A。06速度偏转角与位移偏转角的特点【典例6】飞镖游戏是一种非常有趣味性的娱乐活动，如图所示，某次飞镖比赛，某选手在距地面某相同的高度，向竖直墙面发射飞镖。每次飞镖均水平射出，且发射点与墙壁距离相同，某两次射出的飞镖插入墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑所受的空气阻力，则飞镖插到墙面前在空中运动时间之比为（）A．5:1 B．3︰1 C．1:3【答案】C【详解】飞镖碰到墙时，有vvx=联立可得x=可得t故选C。【变式61】投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，sin37°=0.6，cosA．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大【答案】A【详解】AB．设箭的水平初速度为v，入壶时与水平方向的夹角为θ，则有gt1由于tan53°>tan37°若两人站在距壶相同水平距离处投壶，即x甲=x乙可知t甲>t乙，即甲所投的箭在空中运动时间比乙的长；根据x=vtCD．若箭在竖直方向下落的高度相等，即ℎ甲=ℎ乙时，则x甲<根据x=vt，可知v甲<即甲所射箭落入壶口时速度比乙小，故CD错误。故选A。【变式62】（多选）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θC．若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变D．若小球初速度增大，则θ减小【答案】CD【详解】A．物体落地时竖直方向上的分速度vy=gt因为落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，所以小球的初速度v0=B．物体落地时速度与水平方向夹角的正切值tan位移与水平方向夹角的正切值tanα=12gt2v0C．根据ℎ=12D．速度与水平方向夹角的正切值为tanθ=gtv0故选CD。知识点4：一般的抛体运动斜跑运动 物体以初速度沿斜上方或斜下方抛出的运动叫作斜抛运动。斜上抛运动斜下斜上抛运动斜下抛运动斜抛运动的性质（1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动水平位移；（2）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动任意时刻的速度和位移分别是加速度a=g的匀变速曲线运动斜抛运动的特点速度特点斜抛运动的加速度为定值，速度变化量，的方向竖直向下对称性特点（斜上抛）①速率对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平分速度相同，竖直方向的分速度等大反向②轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。③时间对称：由于其轨迹是关于最高点的竖直线对称的曲线过某一点的水平线与最高点之间，上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。斜上抛运动中的几个重要关系式，是一条抛物线如图所示：3、对斜抛运动的研究（1）斜抛物体的飞行时间：当物体落地时，由知，飞行时间（2）斜抛物体的射程：由轨迹方程令y=0得落回抛出高度时的水平射程是两条结论：①当抛射角时射程最远，②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。（3）斜上抛运动的射高：斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时代入即得到抛体所能达到的最大高度可以看出，当时，射高最大拓展：拓展：斜上抛运动运动的分析技巧（1）斜上抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。（2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。（3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。07斜抛运动【典例7】在杭州亚运会中中国女篮74:72战胜日本女篮，以6战全胜的战绩强势夺冠。若在某次传球过程中，篮球先后经过A、B两点，经过A点时的速度大小vA=10m/s，与水平方向的夹角α=30°，经过B点时的速度大小vB=10（1）篮球运动过程中的最小速度vmin（2）A点与B点之间的距离。【答案】（1）53【详解】（1）篮球水平方向上做匀速运动，竖直方向上做竖直上抛运动，篮球的最小速度是水平分速度，则有v解得v设竖直向下为正方向，篮球由A点运动到B点的时间为t，竖直方向上有vBsin水平方向上有x=A点到B点的距离s=x2+【变式71】如图甲所示为两位同学在传接篮球训练，小明将篮球从A点抛给小李（篮球运动轨迹如图乙中实线1所示），小李在B点接住然后又将篮球传给小明（篮球运动轨迹如图乙中虚线2所示），小明在C点接住篮球。已知篮球在空中运动的最大高度恰好相同。若忽略空气阻力，A、B、C三点在同一水平高度，则下列说法错误的（

）A．篮球沿两轨迹运动的加速度相等 B．篮球沿两轨迹运动的时间相等C．篮球在两轨迹最高点时的速度大小相等 D．小明比小李抛出篮球时的速度更大【答案】C【详解】A．篮球在空中只受重力作用，可知两轨迹的加速度均为重力加速度，故A正确,不符合题意；B．篮球在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动时间由竖直位移决定，由于高度相同，所以两次运动时间相同；故B正确,不符合题意；C．根据斜上抛运动的对称性可知从最高点开始的平抛运动，轨迹1的水平位移大于轨迹2的水平位移，又时间相等，则篮球在轨迹1最高点时的速度大于在轨迹2最高点时的速度，故C错误,符合题意；D．由轨迹知道，两轨迹竖直方向初速度相同，轨迹1的水平初速度大于轨迹2的水平初速度，根据速度的合成可知，轨迹1抛出的速度大于轨迹2抛出的速度，即小明比小李抛出篮球时的速度更大，故D正确,不符合题意。故选C。【变式72】（多选）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（）A．A、B运动的最大高度相同 B．B先落入篮筐C．A到最高点的速度与B到最高点的速度相同 D．A抛出时的速度较大【答案】BD【详解】ABD．根据逆向思维，研究两个过程的逆过程，可看做是篮球从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，由图可知A的水平位移大，则A的抛射速度大，竖直方向的初速度较大，根据ℎ=vy可知A的最大高度较大，运动时间较长，B先落入篮筐，故A错误，BD正确；C．篮球在最高点时竖直方向速度为零，篮球在最高点的速度等于篮球抛出时的水平速度，两球抛射角相同，A的水平射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误。故选BD。知识点5：类平抛运动类平抛运动的受力特点物体所受合力为恒力，且合力方向与初速度方向垂直类平抛运动的运动特点在初速度方向做匀速直线运动，在所受合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度3类平抛运动的分析方法将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和重直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，这两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。08类平抛运动【典例8】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为（1）该小球运动到P点时的速度大小；（2）OP之间的距离。【答案】（1）v=v0【详解】（1）设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，沿v0沿风力F方向F=mavy=由题意知，tan小球运动到P点时的速度大小v=解得v=v（2）OP之间的距离L=【变式81】如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（）A．小球运动的加速度为10m/s2B．小球从B运动到A所用时间为2sC．小球从B点水平射入时的速度为22D．小球从B点水平射入时的速度为4m/s【答案】C【详解】A．对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mg解得a0=gBCD．小球从B到A做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t；水平方向有沿斜面向下方向有a=联立解得t=2s，v故选C。【变式82】如图所示的光滑斜面ABCD是边长为l的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A以平行于AB边的初速度v0水平射入，到达底边CD中点EA．初速度大小为glB．初速度大小为glC．物块由A点运动到E点所用的时间t=D．物块由A点运动到E点所用的时间t=【答案】B【详解】根据题意可知，物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面向下的加速度为a=g由运动学规律，水平方向上有1沿斜面方向有l=解得t=2lg故选B。09曲面结合的平抛运动【典例9】如图所示为竖直放置的14圆弧轨道OAB，O点为圆心，一个可以视为质点的小球从圆心O以初速度v0水平向右抛出，落在轨道上的C点，已知OC与OB的夹角为α。则A．gRcos2α2sinα B．gR【答案】A【详解】由题可知，小球平抛时下落的高度为Rsinα，水平距离为RR联立解得v0=故选A。【变式91】固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D两点，OC、A．vB．tC．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量D．落在D点的小球垂直打在圆弧上【答案】A【详解】AB．根据两小球的轨迹可知x竖直方向的位移相同，两小球下落的时间相同，即t1=t2，水平位移之比为C．在竖直方向上下落时间相同，甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误；D．假设落在D点的小球垂直打在圆弧上，此时速度方向沿半径，则速度的反向延长线交水平位移的中点，应在圆心处，因为水平位移小于2R，所以速度的反向延长线不可能交于圆心，故D错误。故选A。【变式92】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处以初速度v0开始做平抛运动，小球可视为质点，飞行过程中的轨迹恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道的圆心，半圆轨道的半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球从抛出到运动至B点的飞行时间是（）A．3R2v0 B．2+3R2【答案】AC【详解】根据tan30°=gtv0，x=R1+【基础练·强化巩固】一、单选题1．对做平抛运动的物体，若g已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小（

）A．物体的水平位移 B．物体下落的高度C．物体落地时速度的大小 D．物体运动位移的大小和方向【答案】D【详解】A.根据可知无时间无法得到初速度，故A错误；B.根据可知上式只能求出时间，不能求出水平方向的位移，故B错误；C.由于落地时速度的方向未知，无法通过平行四边形法则求出水平方向速度，故C错误；D.物体的位移大小和方向已知，根据平行四边形定则可求出水平位移与竖直位移，结合竖直位移求出运动的时间，进而求出初速度，故D正确。故选D。【点睛】本题考查平抛运动的特点，明确平抛运动的时间有高度决定。2．物体沿水平方向抛出，经2s落地，若物体水平方向的位移是10m，则物体水平抛出的初速度是（）A．1m/s B．3m/s C．5m/s D．7m/s【答案】C【详解】因为物体做平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，故抛出的初速度是故选C。3．如图是“探究平抛物体运动的特点”的装置示意图。以小球平抛起点O为坐标原点，通过描点画出平抛小球的运动轨迹。下列图像能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】以向下为正方向，根据平抛运动规律有解得则图线应为正比例函数图线。故选A。4．当自然灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。如图所示，一架水平飞行的无人机正向受灾人员空投急救用品，不计空气阻力，急救用品在空中运动的水平位移x与运动时间t的关系图像可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】急救用品离开无人机后在空中做平抛运动，由x=v0t可知x与t成正比。故选B。5．如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系式中正确的是（）A．va＞vb B．ta＞tbC．va＝vb D．ta＜tb【答案】B【详解】BD．平抛运动的竖直方向上为自由落体运动得a小球下落高度大，所以空中运动时间长ta>tb故B正确，D错误；AC．平抛运动的水平方向为匀速直线运动两小球运动水平位移x相同，ta>tb，可得va<vb故AC错误。故选B。6．从米高处，沿同一水平方向同时抛出两个物体，它们的速度分别是和，则两物体落地时间之比是：（）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据平抛运动公式平抛运动的时间由高度来决定，高度相同，则两小球的运动时间相等，故A正确。故选A。7．将小球以某一初速度从A点水平向左抛出，运动轨迹如图所示，B为轨迹上的一点．改变抛出点位置，为使小球仍沿原方向经过B点，不计空气阻力，以下做法可能实现的是A．在A点左侧等高处以较小的初速度水平抛出小球B．在A点右侧等高处以较大的初速度水平抛出小球C．在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球D．在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球【答案】C【详解】根据平抛运动的推论，速度反向延长线过水平位移的中点，如图：AB.在与A等高处释放，无论左侧还是右侧，只要经过B点，则不满足平抛运动的推论，AB错误．C.当在A、B两点间轨迹上某点沿切线向左下方抛出小球，小球速度等于原小球经过该点速度，则小球轨迹重合，小球能够沿原方向经过B点，C正确．D.在A、B两点间轨迹上某点以较小的初速度水平向左抛出小球，根据几何关系可知：如果沿原方向经过B点，小球速度反向延长线不能过水平位移中点，D错误．8．如图所示，将一小球以10m/s的速度水平抛出，落地时的速度方向与水平方向的夹角恰为45°，不计空气阻力，g取10m/s2，则（）A．小球抛出点离地面的高度15m B．小球抛出点离地面的高度10mC．小球飞行的水平距离10m D．小球飞行的水平距离20m【答案】C【详解】AB.根据平抛规律：求得：落地竖直速度，竖直方向：，计算得：，AB错误CD.根据竖直方向，解得，水平方向，C正确D错误9．如图所示，将一小球从原点沿水平放置的Ox轴抛出，经一段时间到达P点，其坐标为（x0，y0），作小球轨迹在P点切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，则Q点的x轴坐标为（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【详解】∠xQP为P点速度偏转角，设此角为θ，设∠xoP为角α，初速度为v0，根据平抛运动规律：vy=gt则而即tanθ=2tanα即得所以选项B正确．故选B。【点评】本题考查了平抛运动中速度偏向角正切值为位移与水平方向夹角正切值的倍这一关系，记忆后可使解决问题时更简单．10．如图所示载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力。以下判断正确的是（）A．投出物资后热气球做平抛运动B．投出物资后热气球做加速直线运动C．投出物资后热气球所受合力大小为MgD．投出物资后热气球所受合力大小为mg【答案】D【详解】CD．投出物资前，热气球（含物资）处于静止状态，受到浮力向上，大小为投出物资后，热气球所受合力大小为方向竖直向上，C错误，D正确；AB．物资水平投出后，热气球获得反方向的水平速度，由于热气球所受合力向上，故热气球做类平抛运动，AB错误。故选D。11．如图所示，某同学将三个完全相同的物体从A点沿三条不同的路径抛出，最终落在与A点同高度的三个不同位置，三条路径的最高点是等高的，忽略空气阻力，下列说法正确的是（）A．沿路径1抛出的物体在空中运动的时间最短B．沿路径3抛出的物体在空中运动的时间最长C．三个物体落地时的速度相等D．三个物体落地时竖直方向的速度相等【答案】D【详解】ABD．三个物体均做斜抛运动，竖直方向上，由逆运算有解得由图可知，三个物体的最大高度相同，则运动时间相同，由可知，三个物体落地时的竖直分速度相等，故AB错误，D正确；C．水平方向上，由可知，三个物体的水平位移不相等，则三个物体落地时的水平分速度不相等，由可知，三个物体落地时的速度不相等，故C错误。故选D12．第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛，于2022年9月30日至10月9日在中国四川成都举行。在冠亚军争夺战中，中国女团30战胜日本女团，以八战全胜且一盘不失的战绩夺得女团冠军，实现世乒赛团体赛五连冠。关于乒乓球的运动下列说法正确的是（）A．为了打出侧旋球可以把乒乓球看做质点B．在研究乒乓球被球拍击出点到落地点之间距离时，可以把球看做质点C．乒乓球在空中做的是匀变速直线运动D．球在空中飞行的过程内位移的大小等于路程【答案】B【详解】A．为了打出侧旋球需考虑乒乓球的形状和大小不能把乒乓球看做质点，A错误；B．在研究乒乓球被球拍击出点到落地点之间距离时可以忽略乒乓球的形状和大小，可以把球看做质点，B正确；CD．乒乓球在空中做的是曲线运动，球在空中飞行的过程内位移的大小小于路程，CD错误；故选B。13．如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为球心．小球从AO连线上的C点沿CO方向以水平速度抛出，经时间小球与碗内壁垂直碰撞，重力加速度为g，则C、O两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设小球落点在D点，如图所示根据题意，OD为半径，则根据平抛运动位移与水平方向夹角与速度与水平方向夹角关系有有CE=2OE根据直角三角形，有又因联立解得OC=OE=故选A。二、解答题14．A、B两个小球由柔软的细线相连，线长l=6m；将A、B球先后以相同的初速度v0=4.5m/s，从同一点水平抛出（先A、后B）相隔时间△t=0.8s．（1）A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？（2）细线刚被拉直时，A、B球的水平位移（相对于抛出点）各多大？（取g=10m/s2）【答案】(1)1s；(2)4.5m；0.9m；【详解】(1)两球水平方向位移之差恒为Δx=v0×Δt=4.5×0.8m＝3.6m，(2分)AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6m时绳被拉直．由水平方向位移差3.6m，绳子长6m，可以求得竖直方向位移差为h时绳绷紧．h＝=m＝4.8m（2分），有h＝gt2－g(t－0.8s)2＝4.8m（2分），得t＝1s（2分）.(2)细线刚被拉直时，A球的水平位移为4.5×1m＝4.5m（2分），B球的水平位移为4.5×(1－0.8)m＝0.9m.（2分）15．轰战机在h＝125m的高空以的速度水平飞行。（1）飞机在离目标水平距离多远的地方投弹可以击中目标？（2）如果目标是一个同向水平匀速运动的汽车（），则飞机在离汽车水平距离多远的地方投弹可以击中？【答案】（1）250m；（2）150m【详解】（1）飞机投下的导弹做平抛运动，从投下到击中目标飞行的时间水平方向做匀速直线运动，距离为飞机在离目标水平距离250m的地方投弹可以击中目标。（2）导弹下落的时间不变，则依题意在水平方向有即飞机在离汽车水平距离150m的地方投弹可以击中。16．歼20作为各种性能位居世界前列的新式五代隐身战斗机，其在高原山地的测试更加严苛。在某次山地测试中，战斗机以的速度沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示，不计空气阻力。求：（1）炸弹在空中飞行的时间。（2）炸弹竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比。【答案】（1）；（2）【详解】（1）如图所示，炸弹正好垂直击中山坡上时速度关系满足，联立解得（2）由平抛运动规律有，联立解得【拓展练·培优拔高】一、单选题1．一物体从5m高度处以某初速度水平抛出，从抛出至落地过程中，物体在水平方向的位移为10m，已知重力加速度为g=10m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是（）A．下落时间为1s B．下落时间为0.5s C．初速度为20m/s D．初速度无法求【答案】A【详解】AB．物体在竖直方向上做自由落体运动，由，解得下落时间为故A正确，B错误；CD．物体在水平方向做匀速直线运动，由，解得初速度故CD错误。故选A。2．从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，则（）A．落在a点的小球竖直速度最大B．落在b点的小球竖直速度最小C．落在c点的小球飞行时间最长D．落在a、b、c三点的小球飞行时间相同【答案】C【详解】CD．根据得则知落在c点的小球飞行时间最长，故C正确，D错误；AB．落在a点的小球飞行时间最短，小球竖直速度知落在a点的小球竖直速度最小，落在c点的小球竖直速度最大，故AB错误。故选C。3．如图所示，两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出。已知半圆轨道的半径为与斜面竖直高度相等，斜面底边长为其竖直高度的2倍。若小球能落到半圆轨道上，小球能落到斜面上，均可视为质点，重力加速度取,则下列说法正确的是（

）A．如果球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下B．球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5C．调整球初速度的大小，能使球垂直落在半圆轨道上D．两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度【答案】D【详解】A．平抛运动的末速度不可能竖直向下，A错误；B．设斜面倾角为，则速度方向与水平面夹角的正切值为B错误；C．平抛运动末速度的反向延长线交于水平位移的中点，若球垂直落在半圆轨道上，则反向延长线过圆心，不是中点，不符合实际情况，C错误；D．两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则下落高度相同，且位移偏转角均等于斜面倾角，则，而得D正确。故选D。4．如图所示为一位同学在玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出（不计空气阻力，重力加速度为g），初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω，若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（）A．d= B．ω=（n=0,1,2,3）C．v0=ω D．ω2=（n=0,1,2,3）【答案】B【详解】A．由题意可知飞镖做平抛运动，据位移公式可得，联立解得故A错误；BD．圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，所以飞镖击中A点时转过的角度θ=(2n+1)π(n=0,1,2,3)代入平抛运动时间可得圆盘的角速度为代入平抛运动时间可得(n=0,1,2,3)故B正确，D错误；C．由可得(n=0,1,2,3)故C错误。故选B。5．如图所示的光滑斜面长度为L，宽度为S，倾角为θ，某滑块（可视为质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从斜面右侧的Q点离开斜面，Q点距离底端的距离为，已知重力加速度为g。则（）A．滑块由P点至Q点做变加速曲线运动B．滑块由P点至Q点做匀变速曲线运动，且加速度大小为gcosθC．滑块由P点至Q点的运动时间为D．滑块的初速度大小为【答案】D【详解】AB．滑块由P点至Q点，依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小、方向恒定不变，则滑块做匀变速曲线运动；根据牛顿第二定律得，滑块的加速度大小为故AB错误；CD．滑块由P点至Q点，沿斜面向下方向，有解得沿初速度方向有解得故C错误，D正确。故选D。6．如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O点等高的A处平抛一小球．若小球初速度为，为小球击中凹槽位置与圆心O连线与竖直方向的夹角，则（  ）．A．B．C．D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽【答案】A【详解】ABC．几何关系有平抛运动代入解得故A正确，BC错误；D．速度反向延长线必然均分水平位移，所以小球不可能垂直击中凹槽，故D错误。故选A。7．如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出。经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，不计空气阻力，可将黄豆看成质点，则下列说法正确的是（）A．两黄豆相遇时乙的速度与水平方向的夹角的正切值为甲的B．甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度的【答案】A【详解】AD．设PM=y，MN=x，设运动时间为t，对甲有根据速度的反向延长线过水平位移的中点对乙有，根据斜抛的对称性可知竖直距离为根据速度的反向延长线过水平位移的中点，则有因此故A正确，D错误；B．甲乙二者水平方向上做匀速直线运动，位移和时间均相同，则速度相等，因此甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度相等，故B错误；C．甲乙黄豆相遇时即解得甲黄豆的合速度为乙黄豆的合速度为可知两黄豆相遇时甲的速度大小不为乙的两倍，故C错误。故选A。二、多选题8．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平拋出。已知半圆轨道的半径R与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍。若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，a、b均可视为质点，重力加速度为g，则（）A．如果a球落在半圆轨道最低点，则其速度方向竖直向下B．b球落在斜面上时，其速度方向与水平面夹角的正切值为0.5C．a、b两球如果同时落在半圆轨道和斜面上，则其初速度D．无论a球初速度v0多大，a球均不可能垂直落在半圆轨道上【答案】CD【详解】A．a球做平抛运动，在落点处水平方向有分速度，故合速度不可能竖直向下，A错误；B．b球落在斜面上时，水平位移和竖直位移分别为，同时根据斜面底边长是其竖直高度的2倍可得联立解得，即可知此时竖直方向速度大小与水平方向速度大小相等，故速度方向与水平面夹角为，即正切值为1，B错误；C．如图将两轨道重合在一起，可知同时落在半圆轨道和斜面上时的落点为A，根据前面分析落点处水平方向和竖直方向速度大小相等，根据圆中几何关系有其中有，代入联立解得C正确；D．若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何知识可知速度反向延长线必过圆心，根据平抛运动规律可知此时速度反向延长线也必过水平位移中点，故此时水平位移等于直径，而实际中小球的水平位移一定小于直径，故假设矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，D正确。故选CD。9．如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（）A．小球在点的速度为B．小球从点到点的运动时间为C．小球在点的速度大小为D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2【答案】AC【详解】AB．过D点作PA的垂线与PA的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示由几何关系可得由平抛运动的规律可得，解得，，故A正确，B错误；CD．小球在点沿竖直方向的分速度为小球在点的速度大小为与水平方向夹角的正切值为解得，故C正确，D错误。故选AC。10．如图所示，倾角为的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得，由此可判断（不计空气阻力）（）A．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1B．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交C．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3D．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1【答案】AD【详解】AC．由几何关系知根据得A、B、C处三个小球运动时间之比为根据A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1，故A正确，C错误；B．三个小球的运动轨迹（抛物线）在D点相交，根据抛物线特点，不会在空中相交，故B错误；D．斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角满足与小球抛出时的初速度大小和位置无关，即三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1，故D正确。故选AD。11．如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（

）A．小球初速度不同，则运动时间一定不同B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同C．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定不相等D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直【答案】BC【详解】A．平抛运动的时间由下落的高度决定，若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，故A错误；B．设斜面倾角为θ，小球