一中（西校区）高三上学期期中考试数学（文）试题

集宁一中西校区20202021学年第一学期期中考试高三年级文科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟命题：李晓红王文辉第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是()A． B．C． D．2．已知复数的共轭复数为，且满足，则（）A． B． C．3 D．53．下列说法中，错误的是（）A．若命题，，则命题，B．“”是“”的必要不充分条件C．“若，则、中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题D．，4．．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．5．一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是() B． C． D．6．已知且，如图所示的程序框图的输出值，则实数的取值范围为（） B． C． D．7．平面向量与的夹角为，，则等于()A． B． C．12 D．8.与函数的部分图象最符合的是（）A． B．C． D．9．若，满足约束条件，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．610．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知数列的前项和为，且，则（）A． B． C． D．12．已知是定义在上的函数，且，如果当时，，则（）A．27 B．27 C．9 D．9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若，则_________.14、已知高为的圆柱内接于一个直径为的球内，则该圆柱的体积为__________．15、若对任意，不等式恒成立，则实数值范围是____.16、已知等比数列的前项和为，且，，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长.18．（12分）若等差数列的前项和满足，数列的前5项和为9.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和为，，求证19.（12分）如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．20.（12分）如图，四棱锥中，平面，，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.21．（12分）已知函数，是的一个极值点．（1）求的单调递增区间；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．（1）求出直角坐标系中的方程和圆心的极坐标；（2）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点），求长度．高三期中考试参考答案ABDCDADBCBAB13、642514、72π15、−35<17、解：（1）因为，由正弦定理可得，，由三角形内角和定理和诱导公式可得，，代入上式可得，，所以.因为，所以，即.由于，所以.（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，.又的面积为，所以，即，所以.由余弦定理得，则，所以，即.所以的周长.18、解：（1）∵数列的前5项和为9，∴.∵，∴，∴∴.（2）∵，∴19、（Ⅰ）∵为矩形且，为的中点，∴和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴．连接，是等边三角形，是的中点，所以．又平面平面，平面，平面平面.所以平面．又平面，所以．又，平面．所以平面．又平面，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．即直线与平面所成的角为．设，则在中，，所以．在等边中，，所以．在中，，.所以直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）证明：因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面因为，，平面，所以平面平面（2）解：因为，，为中点，所以，因为平面，所以，因为，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，所以到平面的距离.21、解：（Ⅰ）.∵是的一个极值点，∴是方程的一个根，解得.令，则，解得或.∴函数的单调递增区间为，.（Ⅱ）∵当时，时，∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.∴是在区间[1，3]上的最小值，且.若当时，要使恒成立