2023-2024学年天津市武清区高二年级下册第一次阶段性练习数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市武清区高二下册第一次阶段性练习数学

模拟试题

一、单选题

1.完成一项工作有3种方法，其中有5个人只会用第一种方法，有4个人只会用第2种方

法，有3个人只会用第3种方法，从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有()

A.5种B.4种C.9种D,12种

【正确答案】D

【分析】根据分类加法计数原理，求得答案.

【详解】若用第一种方法完成，有5种选法，

若用第二种方法完成，有4种选法，

若用第三种方法完成，有3种选法，

故从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有5+4+3=12种，

故选：D

2.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(r)=4/-3(Sa)的单位：m,/

的单位：s),则f=5时的瞬时速度为()

A.7m∕sB.10m∕sC.37m/sD.40m/s

【正确答案】D

利用导数求瞬时速度即可

【详解】∙.∙a=4(5+加)234x5?+3=40+4An

∆r∆r

Ac

二s,(5)=lim-=Iim(40+44)=40

\/Δz→OZΔ∕→0\/

故选：D

本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.

3.在(α+b)"的二项展开式中，若二项式系数和为64,则”=()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】C

【分析】先利用题给条件构造出关于〃的不等式，解之即可求得〃的值.

【详解】由(a+b)"的二项展开式中二项式系数和为64,

可得2"=64,解之得〃=6

故选：C

4.已知函数/(x)=x3+lnr+l,则曲线y=∕(x)在点(IJ(I))处的切线方程为()

A.3x-y-l=OB.3x+y-5=0

C.4x-y-2=0D.4x÷y-6=0

【正确答案】C

【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.

【详解】因为函数〃x)=x3+lnx+l,所以/'(力=3/+5则/<1)=4,又"1)=2,

所以曲线y=∕(x)在点(IJ(I))处的切线方程为y-2=4(x-l),即4x—y-2=0∙

故选：C.

5.将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，不同的分配方案有()

A.8B.15C.512D,1024

【正确答案】D

【分析】每名志愿者有4种选择，利用分步乘法计数原理可得出分配方案的种数.

【详解】由题意可知，每名志愿者有4种选择，将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的

地方服务，不同的分配方案种数为4'=1024种.

故选：D.

本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.

6.函数/(x)=x+3+2InX的单调递减区间是()

X

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)

【正确答案】B

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可.

【详解】函数的定义域是(O,+∞),

…32_(x+3)(x-l)

y-∙~+~--------2---------，

XXX-

令Y(X)<0,解得：0<x<l,

故函数在(0,1)递减，

故选B.

本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题.

常数项为()

A.-24B.24C.-48D.48

【正确答案】B

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令X的指数为O求出「，将厂的值

代入通项求出展开式的常数项.

【详解】二项式卜展开式的通项为却=(-2)'c3%,令4-2r=0,解得r=2,所

以展开式的常数项为1=4Cj=24

故选：B

8.已知函数"x)=V+3χ2-9x+l,若/(x)在区间(%,2］上的最大值为28,则实数k的值

可以是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【正确答案】A

【分析】先求出"x)的导函数,即r(X)=3f+6x-9,令/'(X)=3∕+6X-9=0,可得X

的值，讨论函数的极值及单调性，结合f(x)在区间(％,2］上的最大值为28,即可求出％的取

值范围.

【详解】S⅛∕(X)=√+3X2-9X+1,所以r(x)=3*+6x-9,

,2

令∕(x)=3X+6X-9=O,解得X1=-3,x2=l,

所以/'(H在(-8,-3)和(i,+∞)时,r(x)>o,广(刈在(一3,1)时，r(χ)<o,

所以函数/(X)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增，函数f(X)在(-3,1)上单调递减，

则f(x)在。，2］内单调递增，所以在口，2］内，”2)最大；

F(X)在(-3,1)时单调递减，所以在［-3』内，〃-3)最大；

f(x)在(-∞,-3)时单调递增，所以在(…,—3)内，〃-3)最大；

因为/(2)=3,/(-3)=28,且“力在区间(%,2］上的最大值为28,

所以ZV-3,即攵的取值范围是3),

故选：A.

9.从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、

丙地区各一人，则不同的选派方法总数为()

A.40B.60C.100D.120

【正确答案】B

【分析】先从5名大学毕业生中选派2人到甲地，再从剩余的3人中选1人到乙地，然后从

剩余的2人中选派1人到丙地，再利用分布计数原理求解.

【详解】先从5名大学毕业生中选派2人到甲地有种，再从剩余的3人中选1人到乙地

有种，然后从剩余的2人中选派1人到丙地有种，

所以不同的选派方法有c；Gc=60种.

故选：B

本题主要考查排列组合的综合应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题..

10.函数"x)=ln(x+a)-后存在两个不同的极值点X“三，则实数0的取值范围是

A.件1](l>+∞)B.(0,+∞)C.(-<x,,0)D.1-8,∣^)

【正确答案】A

【分析】求解出了'(X),将尸(x)在(-α,+∞)上有两个不等实根，转化为二次函数图像与X轴

有两个交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出。的范围.

I1_(x+l)--(x+a)_x2+x+∖-a

【详解】由题意得：/'(X)

x+a(χ+l)2(x+a)(x+l)2(Λ+U)(Λ+1)2

设g(x)=d+x+l-α,又x+α>(),(x÷l)2>0

可知/(x)存在两个不同的极值点等价于g(x)在(-α,+∞)上存在两个不同零点

Δ=1-4(1-6Z)>0

1

由此可得:——>-a即4

2

g(一〃)=a2-2a+∖>0

本题正确选项：A

本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区

间内的零点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：①判别式；②对称轴；③

区间端点值符号.

二、填空题

11.计算：C：°-C；XA；=.

【正确答案】O

【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.

【详解】解：原式当斗―2若x(3*2xl)=210—210=0.

4×3×2×13×2×1

故0.

12.二项式(d+2丫的展开式中，第4项为.

【正确答案】80/

【分析】利用通项公式得到展开式中第4项.

3533

【详解】(1+2)5的展开式中第4项为TM=C；(x)^×2=80/.

故80χ6

13.已知函数/。)=/+江+法+/在χ=ι处有极值为I。，则/⑵等于.

【正确答案】18

【详解】试题分析：r(x)=3χ2+20r+8,依题意，ɛ/ɑ)=3+2«+/?=0'解得｛：=：

F⑴=l+α+b+Q-=10.b=-∖∖

a=—3a=-3.__.

或｛,r,当｛.,时，f(x)=χ3-3χ2+3χ+9,尸(X)=3∕-6X+3=3(X-l)2≥0,所以F(X)

/2=3Di=5

a=4

在R上单调递增，此时/S)在X=I处并没有取得极值，不符合要求，舍去；当｛八一时，

D=-W

/(X)=X3+4X2-11X+16,/'(x)=3√i+8x-ll=(x-l)(3x+ll),所以一IICXel时，∕,(%)<0,

当x〉l时，∕,ω>0,所以函数/(χ)在x=l处取得极小值10,符合要求，此时

/(2)=23+4×22-ll×2+16=18.

函数的极值与导数.

14.已知/(x)=(x-α)e*在(l,+∞)上单调递增，则实数”的取值范围为.

【正确答案】α≤2

【分析】利用题给条件构造出关于实数。的不等式，解之即可求得实数〃的取值范围.

【详解】⅛/(x)=(x-ɑ)eʌ,可得r(χ)=(χ-α)e*+(x-α)e*=(x-α+l)e*

又〃x)=(x-ɑ)e*在(Ly)上单调递增，

则(》一α+1)e'≥O在(1,+∞)上恒成立，贝U4≤χ+1在(1,+8)上恒成立，

又Xe(I,+∞),则x+le(2,+∞),则a≤2

故α≤2

15.用04,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有

______个.

【正确答案】52

【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类；个位不是0

时要注意选中的数有0和无0情况求解.

【详解】由题意，从0/，2,3,4,5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位偶数，可

分为两类，

当末位是0时，这样的三位数有8=20个

当末位不是0时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个

放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有

A；XA：XA；=32

练上得这样的三位数共有20+32=52个.

本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想：

对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不

遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按

照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数.

三、解答题

16.在二项式(五-目”的展开式中,

(1)若〃=6,求展开式中的有理项;

(2)若第4项的系数与第6项的系数比为5:6,求二项展开式中的各项的系数之和.

【正确答案】(1)工=Y,q=-160x/,T;=64X^6

(2)1

【分析】(1)先求出通项公式，让X的指数为整数可得有理项；

(2)先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出〃，然后利用赋值法可得

答案.

【详解】⑴若W=6,则(+I=C小"”(_2丫产=(_2)'晨「丁，(r=0,l,2,…,6)

c47

2—r∈Z

由［3,得r=0,3,6.

0≤r≤6

所以有理项为：7；=fZ=-160.-2,(=64/.

⑵心=CySF(_2yL=(_2)«户，

由题意得(一2)3。：：(一2)七：=5:6,即〃2_7n+6=0,解得“=6或〃=1(舍).

令x=l,得各项的系数之和为(-I)，=L

17.某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加

学校举行的汇报展示活动.

(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？

(2)如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？

(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？

【正确答案】(I)IOO

(2)140

(3)200

【分析】(1)由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；

(2)先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可；

(3)先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可.

【详解】(1)第一步，从5名男生中选2人，有C；种选法；第二步，从5名女生中选2人,

有C；种选法.

根据分步乘法计数原理，共有C；C=IOo种选法.

(2)从10人中选取4人，有G：种选法；男生甲与女生乙都不参加，有C；种选法.所以男

生甲与女生乙至少有1人参加，共有C：「C；=140种选法.

(3)从10人中选取4人，有种选法；4人全是男生，有C：种选法；4人全是女生，有C；

种选法.

所以4人中既有男生又有女生，共有C：0-C；-C；=200种选法.

18.已知函数f(x)=χ3+αχ2+bx(α,⅛e/?).若函数/W在X=I处有极值-4.

(1)求/(χ)的单调递减区间；

(2)求函数/U)在［-1,2］上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)(-3)；⑵/O)*=T，/(X)M=8.

【详解】试题分析：

⑴先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于“，匕的方程组，求得6后再根据导函数的

符号求出单调递减区间.

(2)由⑴求出函数的单调区间，可以数判断函数f(x)在卜1,2］上的单调性，求出函数/(x)

在［T2］上的极值和端点值，通过比较可得/(x)的最大值和最小值.

试题解析：

(1)V/(x)=x3+tzr2+fct,

.*.∕,(X)=3X2+2ΛX+Z?,

/⑴=3+2α+h=0［a=2

依题意有即JK1J人，解得IT

/(l)=l+tz+⅛=-4［b=-l

：.∕,(X)=3X2÷4X-7=(3X+7)(X-1),

7

由Jr(X)<0,得一:<χ<l,

.∙.函数/(χ)的单调递减区间,g,l)

(2)由⑴知/(x)=x3+2χ2-7x,

Λ∕,(X)=3X2+4X+7=(3X+7)(X-1),

令/'(χ)=o,mχl=-j>⅞=ι.

当X变化时，尸(X)，/(X)的变化情况如下表:

X-1(Tl)I(L2)2

∕,(X)——0÷

八力S__________极小值-4/2_________

由上表知，函数“X)在上单调递减，在(1,2)上单调递增.

故可得/(幻刖=川)=T,

又F(T)=8J(2)=2.

二八幻M=/(T)=&

综上可得函数/(x)在［-1,2］上的最大值和最小值分别为8和T.

19.已知aeR,ɪɪʃ3-ɪ(ɑ-l)ʃ2-αx-3,g(x)=x-2lnx.

⑴当4=1时，求函数y=∕(χ)在点(3J(3))处的切线方程；

⑵若函数/(X)的减区间是(T4),求a的值；

(3)若函数y=g(x)-α在［1,3］上恰有两个不同的零点，求实数”的取值范围.

【正确答案】(l)8x-y-21=0

(2)4

(3)(2-2ln2,3-21n3］

【分析】(1)根据导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可求得切线方程；

(2)因为/'(x)=χ2-(α-l)x-α=(x+l)(x-a),且函数/(x)的减区间是(-1,4)可得α=4；

Λ(1)>O

(3)令MX)=X-2lnx-a,求导判断单调性，从而问题转化为，〃(2)<。，求解即可.

A(3)≥0

【详解】(1)f'(x)=x2-(a-∖)x-a,

当a=l时，/(3)=∣×33-^(1-1)×32-1X3-3=3,

∕,(3)=32-(1-1)X3-1=8,

在点(3,/(3))处的切线方程为y-3=8(x-3),即8x-y-21=0

(2)函数/(x)的减区间是(-1,4),

而ʃ'(ɪ)=X2-(a-l)x-a=(x+I)(X-a)

令/'(x)<0,当。>一1时，-∖<x<af/(x)单调递减，.∙.α=4,

当〃<-1时，a<x<-∖,/*)单调递减，不符合题意，

当。=_],r(x)<()无实数解，不符合题意，

故a=4.

(3)y=gM-a=χ-2∖nx-a

9

令〃(％)=x-21n%-α,所以〃'(X)=——+1,

X

令"(x)=0得X=2,

当XqL2)时，Λ,(x)<0;当x∈(2,3]时，A,(x)>0

故MX)在x∈［l,2)上递减；在％∈(2,3］上递增

⅛(l)≥0a≤∖

所以"(2)<0,即.a>2-21n2,

A(3)≥0a≤3-21n3

所以2-21n2<α<3—21n3,

实数。的取值范围是(2-21n2,3-21n3］.

20.已知函数/(x)=x-(α+I)InX,g(x)=-*@,?(aeR).

X

(1)若。=2,求函数“x)的极值;

(2)设函数Kx)=/(x)-g(x),求函数Λ(x)的单调区间；

(3)若对［l,e］内任意一个X,都有/(χ)>g(x)成立，求。的取值范围.

【正确答案】(l)∕(x)的极小值是"3)=3-31n3,f(x)没有极大值；(2)答案见解析:

【详解】试题分析：

(I)的定义域为(0,+∞),且尸(X)=I-J=?,结合导函数的解析式研究函数的极

值可得了3的极小值是〃3)=3-3加3,7(x)没有极大值；

(2)Λ(x)=x+--(6∕+l)∕nx,则"(、”心心=!叨，分类讨论可得：

XX"

①当α>-2时，MX)在(0,2+α)上单调递减，在(2+α,y)上单调递增；

②当a≤-2时，函数Λ(x)在((),一)上单调递增；

(3)原问题等价于“函数MX)=X+岁-(。+1)/心在［l,e］上的最小值大于零”

结合(2)的结论分类讨论：φ2+α≤0:②2+aNe；③2+a≤l;④l<2+”<e四种情况

可得，的范围是.-3</<eJe+2

e-1

试题解析：

(I)/(X)的定义域为(0,E),

当α=2时，/(x)=x-3加，7(X)=I-B=三，

X(OJ)33+χ)

/'(X)—0+

/(X)、极小

所以/(x)的极小值是/(3)=3-3∕/3,/(x)没有极大值;

(2)A(x)=x+^~+a-(a+l)∕∕u,,

,,(\,2+a。+1(〃+I)X-(Q+2)_(X+1)[X-(2+叫

丁-一ΓX2,

①当a+2>0时，即α