2023版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组6-1数列的概念及表示

6.1数列的概念及表示

考点数列的概念及表示

1.(2013课标I理，12,5分)设AABC11的三边长分别为an,bn,cn,BnCn的面积为

Sn,n=l,2,3,∙∙∙.若bl>cl,b,+c1=2a,1an“=a“bn”号,Cn”卓，则()

A.{SJ为递减数列

B.{S,,}为递增数列

c.{SzM为递增数列，{S∙为递减数列

D.⑸“/为递减数列，⑸)为递增数列

答案B由0“狞,品”一得

b,,÷ι+cntl=a+^(b,+c,l),(*)

-

bl,Hcn÷1=-^(b,1-c,,),

由all.∣=a“得a,,=a∣,代入(*)得bn,∣+Ce=a∣+g(b,,+c,),

∙,∙b,rl+cn>ι-2a∣=∣(b,+c,l-2a1),

Vb1+c1-2al=2a,-2a,=0,Λbn+cn=2a,>∣BnCn∣ɪaɪ,所以点A.在以Bn,Cn为焦点且长轴长为2a∣的椭

圆上(如图).由b[>c∣得b1-c1>O,所以|b“+「cMW(bn-cJ,即IblI-ClJ=(b∣-c∣)∙Q),所以当n

增大时E-CnI变小，即点A“向点A处移动,即边Bc上的高增大,又IBnCn∣=a=a,不变,所以⑸}

为递增数列.

2.(2015课标11理，16,5分)设S“是数列{aj的前n项和，且a,=-l,an.,=SnSn.1,则

S,,=________-

答案a

n

解析Vantl=Snil-Sn,/.Snil-Sn=SnnSn,又由a,=-l,知S“NO,.4-3=I,是等差数列,且公

ɔ/;»Hl∙W

差为T,而?=L=T,.∙.J=T+(nT)X(T)=-n,.∙.Srι=」.

3.（2014课标II文，16,5分）数列｛an｝满足an+1=-^,a8=2,则a∣=_______.

卜斯

答案ɪ

解析由aHz—~,得a-1,

rlι~⅜ll%

∙.∙%=2,.∙.a7=l十

a6=l-^=-l,a5=l-!-=2,•••,

aI86

・・・｛aj是以3为周期的数列，

•…=ɪ

・・a1-a7-.

4.（2013课标I理,14,5分）若数列｛an｝的前n项和S净弓则｛aj的通项公式是

答案（-2）"^'

解析由Sna+褥:当n22吐SnTwal+Q∙当n22时,an=-2an.1,又任1

时,SI=a《a*,a∣=l,.∙.6=（-2严.

5.（2016浙江，13,6分）设数列｛an｝的前n项和为Sn.若S2=4,an,l=2Sn+l,n∈N*,则

=

a1=,S5•

答案1;121

解析解法一：Van+1=2Sn+l,Λa2=2S1+l,即S2^a1=2al+1,又・.§=4,.・・4-a=2&+1,解得包=1.又

a∣ι÷l-^n÷l^^^n,

ΛSn+rSn=2Sn+l,BPSn+1=3Sn+l,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.

解法二：由an+1=2Sπ+l,得¾=2S1÷1,即S2-a1=2a1÷l,又S2=4,Λ4-a1=2a1+l,解得a1=l.又

a.,..=Sntl-S,,,ΛSlltl-S,r2S+l,即Sn^3S,,+l,则Sn,,+∣=3（¾+0,又Sl+⅛

.∙∙｛S"+9是首项为*公比为3的等比数列，

∙∙∙S,,*X3"T,即S”号，ΛS5=⅛121.

6.（2016课标∏,17,12分）S“为等差数列｛a,,｝的前n项和,且a∣=l,Sτ=28.记bll=[lgaj,其中[x]

表示不超过X的最大整数,如示9]=0,[Ig99]=l.

⑴求b1,b11,b10i；

2

（2）求数列｛bn｝的前IOOO项和.

解析（D设｛aj的公差为d,据已知有7+21d=28,

解得d=l.所以｛aj的通项公式为a,,≈n.

b∣=[lgl]=0,b∣,=[lgll]=l,blol=[lgl01]=2.（6分）

o,1≤/7<∕α

■ol嗔%（9分）

｛3,〃=1000,

所以数列｛bj的前1000项和为1X90+2X900+3X1=1893.（12分）

思路分析（1）先求公差,从而得通项外,再根据已知条件求b∣,b",bm∙（2）分析出｛bj中项的

规律,进而求出数列｛bj的前1000项和.

7.（2016课标I文，17,12分）已知｛an｝是公差为3的等差数列,数列｛bn｝满足

bl=l,b弓anbn41+b,,,1=nbl,.

⑴求｛aj的通项公式；

（2）求｛bn｝的前n项和.

解析⑴由已知,a,b2+b2=bl,b∣=l,b2=∣,得al-2,（3分）

所以数列｛⅛｝是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a,,ɪɜn-l.（5分）

⑵由⑴和a,h.∣+bn,∣=nb“得b,,.l=y,（7分）

因此｛bj是首项为1,公比为;的等比数列.（9分）

记｛bj的前n项和为S”,

则S“的一岛二⑴分）

8.（2016课标HI文，17,12分）已知各项都为正数的数列｛aj满足a1=l,晶-（2anM-Dan-2an“=0.

（1）求a2,a3;

（2）求｛an｝的通项公式.

解析⑴由题意得a,,a，（5分）

（2）⅛⅛-（2an+1-l）an-2an+1=0得2%“（al,+l）=al,（al,+l）.

因为｛a,,｝的各项都为正数,所以J.

故｛aj是首项为1,公比为;的等比数歹山因此an=^7.（12分）

3

9.(2014大纲全国文,17,10分)数列｛an｝满足a1=l,a2=2,ant2=2antl-an+2.

(1)设b.=a“「an,证明收｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

解析⑴证明：由an.2=2⅛1-a,+2得，

a“+「anT=an+「an+2,即bntl=bn+2.

又b∣=a2-a1=l,

所以｛bj是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)

(2)由⑴得b=l+2(n-l),即ar,tl-¾=2n-l.(8分)

nn

于是£(a⅛-a⅛)=Σ(2A-1),

A=I+lA=I

22

所以antl-a,=n,即antl=n+a1.

2

又a,=l,所以｛an｝的通项公式为a=n-2n+2.(10分)

评析本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,

同时考查运算变形的能力.

10.(2014课标I理，17,12分)已知数列｛an｝的前n项和为S.,a,=l,aπ≠0,a⅛,=λSn-I,其中λ

为常数，

(1)证明：a,/-a,,=入；

(2)是否存在λ,使得｛a,,｝为等差数列？并说明理由.

解析(1)证明：由题设anant,=λSn-l,知an,1ant2=λSnt,-1.两式相减得,‰(ant2-an)=λantl.

r

由于aπn≠0,所以an,2"^an=入.

⑵存在.由a,=l,a,a2=入a「l,可得a?=AT,由⑴知,a3=入+1.令2a2=a1+a3,解得入=4.

故an.2-a=4,由此可得，｛aari｝是首项为1,公差为4的等差数列,¾n-1=l+(∏-l)∙4=4n-3;

EJ是首项为3,公差为4的等差数列,¾