高中数学一轮复习 整式

第1.1章数与式

1.1.2整式

色课程要求了《»!求心中有数

1了解整数指数幕的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计

算器上表示）；

初中要求2理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式

加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算

3能推导平方差公式和完全平方公式.

1掌握指数嘉运算；

高中要求

2掌握立方和差公式，三数和平方公式.

LJ基础知识夯实基硼，■立完整知识体系

1.整式

数与字母的积的代数式叫单项式，单独一个字母或数字也是单项式；

几个单项式的和叫做多项式；

单项式和多项式统称整式.

2.整数指数暴

正整数指数幕：an=a,a,a…a（n为正整数）；

几个a

。整数指数累：a0=l（a0）；

负整数指数赛a-n=京。40,九为正整数）.

整数指数幕的运算性质：（l）am-an=am+n；（2）严+an=严―；（3）（时尸=an•9；

（4）g）n=~（以上a,b都不为0,犯n都为整数）.

（高中会学习到分数指数幕）

3.乘法公式

平方差公式a2-62=(a+6)(a—b)；

完全平方公式(a±6)2=a2±2ab+b2；

立方和公式a3+h3=(a+fa)(a2—ab+Z)2)；

立方差公式a3—fo3=(a—fa)(a2+ab+Z?2)；

三数和平方公式(a+b+c)2二*+匕2+02+2(aft+be+ac)

（后三个公式可尝试证明）

从典例中见力

【题型1】指数塞运算

2

【典题1】计算0.1256一(一1+243a8+(一5.6)。]+(233x

0.1254=2-3XH)=2>(-1)=言=25,

解析

243O,8=35XO,8=34=81,(一5.6)°=1,

G旷=(犷=(滑等=(犷屋，Of

原式=[2—25+81+1]-j--X—=59.

1616

变式练习

O-111

1.求值：(21)°+2-2X(21)-2-(0.01)2=()

A.—B.3—C.-8-D.0

15306

答案A

2

解析(2|)°+2-x(2^)4-(0.01)5=i+lx|-0.1=l+1-^盘故选：A.

2.已知/=2,yn=5,则(/y)2n=.

答案400

42

解析(/y)2n=%4n.y2n=2X5=16X25=400.

3.已知3a=2,3b=5,则33a"=.

答案I

解析337=冬=等

4.若2,=8丹1,且9y=3X-9,贝I]x+y的值是.

答案27

解析2X=8尸+1,二有2%=23y+3,X=3y+3

又9y=3x-9,.•.有32y=3X-9,2y=x-9

联立虢弟;得至暝V=27.

【题型2】乘法公式运用

【典题1】计算：

(1)(—%-2)(/-%+4)；

(2)(%+1)(%—l)(x2—%+l)(x2+%+1)；

(3)(%+2y)2(x2—2xy+4y2)2；

(4)x(x—2)2—(%2—2%+4)(%+2).

解析(1)原式=—(%+2)(%2—x+4)=—(x3+8)=—x3—8；

(2)原式=(%2—l)[(x2+l)2—x2]=(x2—1)(%4+x2+1)=x6—1；

或原式=[(%+1)(7—%+1)]­[(%—l)(x2+%+1)]=(x3+l)(x3—1)=%6—1；

(3)原式=[(x+2y)(%2—2xy+4y2)]2=(%3+8y3)2=%6+16x3y3+64y6；

(4)原式=x(x-2)2—(x3+8)=x(x2—4x+4)—(x3+8)=-4%2+4x—8.

【典题2】证明817一279-913能被45整除.

791347282726

证明81-27-9=(3)一(33)9一(32)13=3-3-3

=326(9-3-1)=326x5=324x45

,817一279_913能被45整除.

【典题3】已知两个正方体，其棱长之总和为48cm,体积之和为28CTH3,求两个正方体的

棱长.

解析设两个正方体的棱长为。,从

依题意得12a+12b=48=>a+b=4,a3+b3=28,

a3+63=(a+6)(a2—ab+b2)=(a+&)[(a+6)2-3ab]=4(36—3ab)=28,

解得ab=3,

由a+6=4,[；或｛：;；，即两个正方体的棱长分别为Isn和3cm.

变式练习

1.若9x2—mxy+16y2是一个完全平方式，则租=()

A、12B、24C、±12D、±24

答案D

2.若|%+y-5|+(%y—6)2=0,则％?+y2的值为()

A.13B.26C.28D.37

答案A

解析依题意得产+9则%2+y2=(%+y)2_2xy=25-12=13,故选4

3.计算：(3+2y)(9-6y+4y2)=.

答案27+8y3

解析原式=33+(2y)3=27+8y3.

4.计算：(4+a)(16-4a+a2)=.

答案64+a3

解析原式=43+a3=64+a3.

5.计算:(%3—1)(%6+汁+1)(%9+1)=.

答案%18-1

解析原式=(x9-l)(x9+1)=x18-1.

6.%,y可取任何实数，T=/+4%y+5y2_2y+2,当久=,y=时，T取到最小

彳1.

答案％=-2,y=l时，T取到最小值1

解析T=x2+4xy+5y2—2y+2=(x2+4xy+4y2)+(y2—2y+1)+1

=(%+2y>+(y-1)2+1

当即=一丫=时，取到最小值

(y—1=0K2,171.

7.已知％=2,求己+1)(%2—x+1)(%6—x3+1)(%9—1)—2=的值.

答案1

解析(x+l)(x2—%+1)(%6—x3+1)(%9—1)—218

=(X3+1)(%6—X3+1)(久9—1)—218

=(%9+1)(%9—1)—218

=%18-1-218

=218-1-218

=1.

8.已矢口(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x?+y2与xy的值.

答案x2+y2=25,xy=-12

解析(x+y)2=x2+y2+2xy=l®,(x-y)2=x2+y2-2xy=49②，

・,•①+②得：2(x2+y2)=50,即x2+y2=25；

①-②得：4xy=-48,即xy=-12.

9.先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.

解：m2+2mn+2n2-6n+9=0

m2+2mn+n2+n2-6n+9=0

(m+n)2+(n-3)

m+n=0,n-3=0

m=-3，n=3

问题(1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x>的值.

(2)已知a,b,c是AABC的三边长，满足a?+b2=10a+8b-41,且c是AABC中最

长的边，求c的取值范围.

答案(1)-(2)5<c<9

4.

解析(1)x2+2y2-2xy+4y+4=x2-2xy+y2+y2+4y+4=(x-y)2+(y+2)2=0,

x-y=O,y+2=0,

解得x=-2,y=-2,

仪=(-2)-2=L

(2)Va2+b2=10a+8b-41,

...a2-10a+25+b2-8b+16=0,

即(a-5)2+(b-4)占0,

a-5=0,b-4=0,

解得a=5,b=4,

Vc^AABC中最长的边，

/.5<c<9.

通过it习，讯国罐力

1.若10久=2,则10一3%等于()

A.8B.—8C.-D.—

88

答案C

解析10^=2,则10-3X=.=5=］故选：c

2.不论为何实数，次+-2a-4b+8的值()

A.总是正数B.总是负数

C.可以是零D.可以是正数也可以是负数

答案无数

解析a2+廿一2。—4b+8=(a—I)2+(b—2)2+3>0,故选4

1n_2

3.计算：(2斤一(高一(3|)*1.5)-2=一.

答案I

1_2

解析原式=(3-1-仔)、(|)-2+

4.如果45X=3,45y=5,那么2%+y=.

解析由45*=3,得(45，)2=9,45》=5,则452工x45旷=9X5=45.

452x+y=451,2x+y=1.

5.已知2M=a,2n=b,贝1J22ffl+"=.

答案a2b

解析22m+n=a2b.

6.计算：(3+2y)(9—6y+4y2)=.

答案27+8y3

解析原式=33+(2y)3=27+8y3.

7.已知a=三匹,b=上卢，则a2—4炉―2a+1=________.

24

答案V5

解析b=•••2b=与^

a2—4b2—2a+1=(a—l)2—(2b)2=(a—1—2b)(a—1+2b)

=(萼…等)(萼…阴二病

8・计算：ET"D°_(3»+伐产

答案16

解析原式=后一1一信('G)(3)=|_1_|+16=16.

9.试说明不论%,y取何值，代数式%2+y2+6%_4y+15的值总是正数.

解析vx2+y2+6%—4y+15=(%+3)2+(y—2)2+2>2>0,

所以不论%,y取何值，代数式的值总是正数.

10.已知％+y=1,求%3+y3+3%y的值.

答案1

解析%3+y3+3xy

二(%+y)(x2—xy+y2)+3xy

=%2—xy+y2+3xy

=x2+2xy+y2

=(x+y/=1.

11.已知a-b=2,ah=48,求d+b4的值.

答案5392

解析va—h=2