角含半角模型问题(解析版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专 练

专题20角含半角模型问题

【规律总结】

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直

角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要

有两种：旋转冃标三角形法和翻折口标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

类型二：正方形中角含半角模型

【典例分析】

例1.（2020广西南宁市九年级期中）（探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M,

N分别在边CD、BC上，且NM4N=45°,我们把这种模型称为"半角模型"，在解决"半角

模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图①，将A4ZW绕点A顺时针旋转90°,点D

与点B重合，得到连接AM、AN、MN.

（1）试判断DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程.

（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，NM4N=45°,连

接MN,请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程.

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,N5+NO=180°,点N,M分

别在边BC,CD上，ZMAN=60°,请直接写出线段BN,DM,MN之间的数量关系.

EBNBCNBN

图①图②图③

【答案】（1）MN=DM+BN,证明见解析；（2）MN=BN-,证明见解析：（3）

MN=DM+BN.

【分析】

（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM0ASE,利用SAS可证AMN纟AEN,

则可得：MN=DM+BN；

A

△

（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM0ABE,利用SAS可证AMN纟AEN,

则可得：MN=BN—DM；

丄KAA

A

A

（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证ADM0ABE,利用SAS可证AMN^AEN,

则可得：MN=DM+BN：.

A

【详解】

证明：（1）如图①，回四边形ABCD是正方形

E1AB=AD,ABCADCBAD=90

///,

将ADM晓点7页时针旋转90。，得到ABE

0MDMmABE

△

团AMAE,DMBE,MADEAB

A

//

MAEBM）90

//

0MANf5

K

/=

EANMAN45

n

AMN爲AEN中

AMAE

tGANE4N

I夕N一空/

AMNgAENSAS

AA

,MNEN

眞EN=EB+BN=DM+BN,

国MN=BN+DM

（2）如图②，将ADM绕点A顺时针旋转90，得到ABE

△

团四边形ABCD是正方形

団AB=AD,ABCADCBAD=90

ZZZ,

0ADM绕点A顺时针旋转90,得到ABE

A

0AADM0ABE

A

0AMAE,DMBE,MADEAB

A

//

MAEBAD90,

0MAN=45

/=

EANMAN45

n

thAMN論AEN中

AA

AMAE

tMANEAN

I"一”/

iAMN^AENSAS

AA

,MNEN

国BN母ENDMMN,

即：MN」BN-DM卜

(3)如图,

SAB=AD,ZBAD=120,BD180，

z+z

将ADM绕点A顺时针旋转120,得到ABE

A

团/WM0ABE

团AMAE,DMBE,MADEAB

MAEBAD120

//

・MAN=60

/

-EAN_MAN60

在‘AMN_/AEN,中

AMAE

rMANEAN

I"一空/

iAMN^AENSAS

AA

MNEN

,ENBEBN

…MN=DM-BN：

.I点暗i+

本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形

是解题的关键是学会.

例2.(20200四川成都市口八年级期末)已知，/P。。=90,分别在边OP,。。上取点A,

8,使04=08,过点A平行于。。的直线与过点B平行于OP的直线相交于点。.点E,

F分别是射线。P，。。上动点，连接CE,CF,EF.

(1)求证：OA^OB^AC^BC.

(2)如图1,当点E,产分别在线段A0,6。上，且NECr=45时，请求出线段或"

AE,BF1之间的等量关系式；

(3)如图2,当点E,尸分别在A。，3。的延长线上，且NECF=135时，延长AC交

EF于点M,延长8C交"'于点N.请猜想线段EN,NM,FM之商的等量关系，

并证明你的结论.

OV

IS1图2

【答案】(1)见解析；(2)EF^AE+BF；(3)MN2=EN2+FM2,见解析

【分析】

(1)连接AB，通过NPOQ=90,OA=OB得到AOB为等腰直角三角形，进而得到

ZOAB=AOBA=45,根据过点A平行于0Q的直线与过点B平行于。尸的直线相交于

A

M

点C,可推岀NCB4=45,ABAC=45,最后通过证明AOB13AACB,可以得出结

n*

论；

A

(2)在射线厶尸上取点O,使A£>=3F,连接CD,通过证明CW0CBF,得到

CD=CF,ZACD=再结合NECF=45,NACB=90推导把明ECD団

AECF,得到即=厮，最后等量代换线段即可乘解；

A

(3)延长A。到点。，使得4)=班连接C。，通过证明CW®CBF,得到

CD=CF,ZACD=NBCF,再结合NEC/7=135,推导证明ECD^^ECF,得到

A

ND=NCFM,根据/D=NCEB,等量代换可知NCFM=ZCFB,又因为AC〃OQ,

A

推出/MCF=4CFB,进而得到=ME,同理可证CN=EN,最后根据勾股定理即

可求解.

【详解】

解：(1)证明：连接A8.

APOQ=90,OA=OB,

A

•••AOB为等腰直角三角形，

ZOAB=AOBA=45,

A

n

又BCI/OP,且NPOQ=90,

BC1OQ,

ZCBF=90,

•••NCBA=45,

n

同理，ZBAC=45,

在AOB与/XACB中

ZOAB=ZCAB

<AB=AB,

NOBA=ZCBF

AOB団△4CB（厶9）,

•••^AOB=ZACB=90,OA=OB=AC=BC；

八

（2）如图1,在射线AP上取点O,使4）=跖，连接CD.

在CAD与CBF中

CA=CBA

<^CAD=4CBF,

AD=BF

：.CW团CBF

CD=8,ZACD=NBCF,

A

•/ZECF=45，ZACB=90,

•••ZACE+ZBCF=45,

NACE+ZACD=NECD=45,

ft

ZECD=4ECF,

在ECD与小ECF中

CD=CF

,£ECD=ZECF

CE=CE

：.ECDmAECF(SAS),

ED=EF,

又•・,ED=AD+AE=BF+AE,

・•・EF=AE+BF.

(3)MN2=EN2+FM2.证明如下：

如图2,延长厶。到点3,使得AQ=防，连接CD.

尸］

EL

1/

图2

••・ZCAD=ZCBF=90,

n

在CAD与CBF中

A

A

CA=CB

<ZCAD=4CBF,

AD=BF

：.C4£）aCBF

CD=C8,ZACD=NBCF,

A

・・•NACD+/DCB=9。,

n

ZBCF+ZDCB=90=ZDCF,

•••乙FCD=ZBCA=90,

•••ZECF=135,

A

•••NEC。=360-90-135=135,

AAAn

NECF=ZECD,

在ECD与AECFI|J

EC=EC

<2ECD=ZECF,

CD=CF

：.ECD®AECF（SAS）,

：.ZD=ZCFM,

A

,/CAD团CBF,

・•.ZD=Z^FB,

A

・•.ZCFM=ZCFB,

・・・AC//OQ,

NMCF=ZCFB,

：.4CFM=NMCF,

MC=MF,

同理可证：CN=EN,

:.在RtLMCN中,由勾股定理得：MN2=CN2+CM2=ENI+FM2.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助

线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键.

【好题演练】

一、单选题

1.（2021•上海九年级专题练习）如图所示，在RtMBC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的

两点，且I3DAE=45。，将MDC绕点A按顺时针方向旋转90。后得到勛FB,连接EF,有下列

结论：①BE=DC；@BBAF=SDAC-,(^)Q1FAE=^DAE；@BF=DC.其中正确的有()

A.①②③④B.②③C.②③④D.③④

【答案】C

【分析】

利用旋转性质可得朋8朋MC。，根据全等三角形的性质一一判断即可.

【详解】

解：EEMDC绕A顺时针旋转90。后得到附F8,

的48用团ACD,

^BAF=SCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正确，

WEAF=^BAF+QBAE^CAD+SBAE=QBAC-SDAE=90°-45°=45°=E)DAE故③正确

无法判断8E=CD,故①错误，

故选：C.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

二、填空题

2.（2021•上海九年级专题练习）如图，在RtMBC和RtHSCD中，0S4C=0BDC=90",BC=4,

AB=AC,0C6D=30°,M,N分别在BD,CD上，圓VMN=45°,则G1D/WN的周长为.

【答案】2事+2

【分析】

将团ACN绕点A逆时针旋转，得到回ABE,由旋转得出EINAE=90。，AN=AE,0ABE=EIACD,0EAB

=0CAN,求出（3EAM=I3MAN,根据SAS推出EIAEMEBANM,根据全等得出MN=ME,求出

MN=CN+BM,解宜角三角形求出DC,即可求出自DMN的周长=BD+DC,代入求出答案即

可.

【详解】

将EMCN绕点A逆时针旋转，得到幽BE,如图：

由旋转得：^NAE=90°,AN=AE,BABE=&ACD,SEAB=SCAN,

RBBAC=[2D=90°,

0BMBD+EWCD=36O°-90°-90°=180°,

WABD+SABE^180°,

团£,B,M三点共线，

酶/VMN=45°,0S4C=90°,

^3\EAM=^iEAB+SBAM=^CAN+SBAM=^BAC-SMAN=90°-45°=45°,

^BEAM=SMAN,

在MEM和财MW中，

AE=AN

<ZEAM=ZNAM,

AM=AM

^SAEM^SANM(SAS),

SMN=ME,

SMN^CN+BM,

团在RtOBCD中，I3BDC=9O°,0CBD=30°,BC=4,

団8=yBC=2,BD=《BC2-CD2=y/42-2a=2/,

0DD/M/V的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=273+2,

故答案为：2乔+2.

【点睛】

本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是

解此题的关键.

三、解答题

3.（2020•黑龙江哈尔滨市•九年级月考）矩形ABCD中，M、N为边AD上两点，连接BM、

CN,MN=BM=CN,0BMD=12O°.

(1)如图1,求证：AM=DN；

（2）如图2,点E、F分别在NC、BC上，0FME=6O°,求证：EF=BF+NE；

(3)如图3,在（2）的条件下，过E作EPMC交MF于P,2MN=3BF,EP=7,求CE的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【分析】

(1)由题意易得AB=CD,即\=加=90。，进而可证RtHABMElRtElDCN,最后得证；

(2)延长CB至G,使BG=NE,连接MG,易得回MBG=!3BMD=[aMNE=120。，进而可证MG=ME,

0GMB=0EMN,回GMF=I3FME,MF=MF,0GMFEBEMF,然后根据线段的数量关系可求解；

(3)设BF=2a,MN=BM=CN=3a,则有©A=®D=E1DCB=9O°,AD=BC,由(1)可得AM=5BM=

3a

,由⑵问可知:EF=BF+NE,EGMF00EMF,0MFB=0MFE,可得CE=CN-EN=3a-(7-2a)=5a-7,

过点E作ER回BC于R,0ERF=0ERC=SDCB=9O0,ER0DC,然后根据勾股定理进行求解即可.

【详解】

（1）证明：团四边形ABCD是矩形,

0AB=CD,回A=^D=90°,

团BM=CN,

团Rt团ABM团Rt团DCN(HL),

团AM=DM

(2)解：延长CB至G,使BG二NE,连接MG,

团四边形ABCD是矩形，

0ADSBC,

励MBG二团BMD二国MNE=120°,

0BM=MN,

爾GBM施ENM(SAS),

0MG=ME,団GMB二团EMN,

00BMD=12O0,团FME=60°,

fflGMF=0GMB+[?)BMF=0EMN+0BMF二团BMD■团FME=120°-60°=60°,

函GMF二团FME,MF=MF,团GMF函EMF(SAS),

0GF=EF,

团GF=BF+GB=BF+NE,即EF=BF+NE；

(3)解：02MN=3BF,

团设BF=2a,MN=BM=CN=3a,

团四边形ABCD是矩形，

00A=[3D=团DCB=90°,AD=BC,

山⑴问可知：Rt团ABM团Rt团DCN,

0[?]AMB=[?1CND=18OO-[?1BMD=18OO-12OO=60°,

团ABM二团DCN=900-60°=30°,

13。3。

在Rt团ABM中，0AM=]BM=亍，同理DN二委,

3a3a

@AD=BC=AM+MN+DN=—+3a+—=6a,

22

0FC=BC-BF=6a-2a=4a,

由(2)问可知:EF=BF+NE,回GMF函EMF,0MFB=IDMFE,

0EP0BC,

团团EPF=[UMFB=[3MFE,

团EF=EP=7,

0NE=EF-BF=7-2a,

@CE=CN-EN=3a-(7-2a)=5a-7

过点E作ER团BC于R,

fflERF=0ERC=0DCB=9O°,ER0DC,

能1CERWDCN=30°,

15a—7

在Rt团ERC中，RC=yCE=——,

5u—73ci+7

@FR=FC-RC=4a-——=■一--,

22

在RtElERC中，ER2=EC2-CR2,

在RtEIERF中，ER2=EF2-FR2,

®EC2-CR2=EF2-FR2,

5CI-73a+7

0(5a-7)2-(---)2=72-(---)2

解得a『0(不符合题意,舍去)，a2=2,

0CE=5a-7=3.

【点睛】

本题主要考查矩形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握矩形的性

质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

4.(2020•山东滨州市•八年级期中)在0M4V内有一点。,过点。分别作DBMM,DO3AN,

垂足分别为B,C.且8D=CD,点E,F分别在边AM和AN上.

(1)如图1,若I38ED=®CFD,请说明DE=DF；

(2)如图2,若13BDC=120。，EFDF=60",猜想EF,BE,CF具有的数量关系，并说明你的结

论成立的理由.

【答案】(1)说明见解析；(2)EF=FC+BE.理由见解析.

【分析】

(1)根据题目中的条件和(3BED=E1CFD,可以证明I3BDE00CDF,从而可以得到DE=DF：

(2)作辅助线，过点D作团CDGWBDE,交AN于点G,从而可以得到团BDE瓯CDG,然后即

可得至UDE=DG,BE=CG,再根据题目中的条件可以得到回EDFE0GDF,即可得至ljEF=GF,然后

即可得到EF,BE,CF具有的数量关系.

【详解】

(1)0DBBW/W,DCSiAN,

团^\DBE=WCF^90".

在自8DE'和团CDF中，

ZBED=ZCFD,

01NDBE=NDCF,

BD=CD,

00eDfl?ElCDF(AAS).

0DE=DF.

(2)过点D作回CDG=G)BDE,交AN于点G.

25顾答图

在回BDE和EICOG屮,

NEBD=ZGCD,

0]BD=CD,

ZBDE=ZCDG,

团回8。曲CDG(ASA)

aDE=DG,BE=CG.

EB8DC=120°,EIEDF=60°,

0(3SDE+0CDF=6O".

H0FDG=EICDG+0CDF=6OO.

^SEDF=^GDF.

在O£DF和EIGDF中，

DE=DG,

<4EDF=NGDF,

DF=DF,

回E1ED甩EIGOF(SAS).

団EF=FG.

0EF=FC+CG=FC+BE.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.(20200陕西西安市0•七年级期末)(2020•锦州模拟)问题情境：已知，在等边蜘BC中，0B4C

与朋CB的角平分线交于点。，点M、N分别在直线AC,A8上，且团MON=60。，猜想CM、

MN、AN三者之间的数量关系.

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题;

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1,M、N分别在边AC,AB上时，探索C/W、MMAN三者之间的数

量关系，并证明；

（2）如图2,M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应

字母，探索C/W、MN、AN三者之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）CM=AN+MN,详见解析：（2）CM=MN-AN,详见解析

【分析】

（1）在AC上截取CD=AN,连接。D,证明团C。。西4N。，根据全等三角形的性质得到。。

=0N,SCOD=^\AON,证明ISDMOEEWM。，得至ljDM=MN,结合图形证明结论；

（2）在AC延长线上截取CD=4V,连接。D,仿照（1）的方法解答.

【详解】

解：（1）CM=AN+MN,

理山如下：在AC上截取CD=4V,连接。D,

图1

能W8C为等边三角形，064CH^ACB的角平分线交于点O,

团团。厶。=团。可=30°,

团。厶=0C,

在团CD。和M/VO中，

0C=0A

<ZOCD=ZOAN,

CD=AN

^CDOWANO(SAS)

出OD=ON,NCOD=MON,

团团MOA/=60°,

酿COD+附。M=60°,

回附OC=120。，

团团DOM=60°,

在团0Mo和团A/M。中，

OD=ON

</DOM=ZNOM,

OM=OM

团团DMO团回A/M。，

团。M=MM

0CM=CDWM=AN+MN；

(2)补全图形如图2所示:

D,

图2

CM=MN-AN,

理由如下：在AC延长线上截取CD=4V,连接OD,

在田8。和SANO中，

CD=AN

<NOC0=NQAN=15O°,

OC=OA

^CDOSEANO(SAS)

HOD=ON,0COD=a4O/V,

0EID0M=EIN0M,

在回。M。和回NM。中，

OD=ON

<ZDOM=ZNOM,

OM=OM

EBD/WO00A//WO(SAS)

回MN=DM,

^CM=DM-CD=MN-AN.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形

的判定定理.

6.（2019全国九年级专题练习）如图所示，在AA6C中，NA=/B=30°,ZMCN=60°,

2MCN的两边交AB边于E,尸两点，将ZMCN绕C点旋转

（1）画出A5CF绕点C顺时针旋转120°后的\ACK；

（2）在（1）中，若AE2+EF2=BF2,求证：BF="CF；

（3）在（2）的条件下，若AC=JT+1,直接写出EF的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事

【解析】

【分析】

（1）旋转后CB与CA直合，作回KCA=EIFCB,截取KC=FC即可；