2023年新高考数学大一轮复习 求曲线的轨迹方程(原卷版)

专题37求曲线的轨迹方程

【考点预测】

曲线的方程和方程的曲线

在直角坐标系中，如果是某曲线c（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程

/（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.事实上，曲线可以看作一个点集C,以一

个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集产，上述定义中oC=E

［条件（2）o尸包C

【方法技巧与总结】

直接法求动点的轨迹方程

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

（1）建系：建立适当的坐标系

（2）设点：设轨迹上的任一点尸（x,y）

（3）列式：列出有限制关系的几何等式

（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的

方程式化简

（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）.简

记为：建设现代化，补充说明.

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线.

二.定义法求动点的轨迹方程

回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点尸和满足焦点标志的定点连起来判

断.熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为尸的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等

等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨

迹方程.

三.相关点法求动点的轨迹方程

如果动点P的运动是由另外某一点尸，的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知

曲线方程），则可以设出P（x,y）,用（无4）表示出相关点户的坐标，然后把p的坐标代入已知曲线方程，

即可得到动点尸的轨迹方程.

四.交轨法求动点的轨迹方程

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出

交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数.

五.参数方程法求动点的轨迹方程

动点”(x,y)的运动主要是由于某个参数0的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的

[x=

坐标，即，再消参.

[y=g(。)

六.点差法求动点的轨迹方程

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点4和%),3(%,%)

的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得占+X,,%+%，再-%2，%%等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)

的坐标满足2苫=玉+%，2y=%+为且直线钻的斜率为上;，由此可求得弦的中点的轨迹方程.

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：定义法

题型三：相关点法

题型四：交轨法

题型五：参数法

题型六：点差法

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

题型十：利用韦达定理求轨迹方程

【典例例题】

题型一：直接法

例1.(2022.全国•高三专题练习)己知点尸是椭圆三+汇=1上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为

64

则线段PM的中点N(x,y)的轨迹方程为.

【方法技巧与总结】

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需

把这些关系“翻译”成含九,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,

也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法.

例2.(2022•河南河南•模拟预测(理))己知平面上的动点P到点0(0,0)和A(2,O)的距离之比为占，则点尸

2

到x轴的距离最大值为.

例3.（2022•全国•高三课时练习）己知点尸（x,y）到定点M的距离比它到x轴的距离大g.

（1）求点P的轨迹C的方程;

例4.（2022・湖南•模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点耳（-2,0）,耳（2,0）,且曲线G上的任意一点P都

满足|以讣|「耳|=5.求曲线Cj的轨迹方程并画出草图；

例5.（2022・湖南湘潭•高三开学考试）已知48两点的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,直线AP,8P的交点为P,

且它们的斜率之积+求点P的轨迹E的方程；

题型二：定义法

例6.（2022•全国•高三专题练习）已知定点A（1,1）和直线乙：x+y-2=0,那么到定点A和到定直线L距离

相等的点的轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线

【方法技巧与总结】

若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程

中的待定系数，故称待定系数法.

例7.（2022・全国•高三专题练习）已知圆尸：（X-2）2+/=1,动圆尸与圆P外切，且与定直线x=-3相切，

设动点尸的轨迹为E.求E的方程；

例8.（2022•江西南昌•三模（理））己知两条直线4：2x-3y+2=0,l2：3x-2y+3=0,有一动圆（圆心

和半径都在变动）与乙，4都相交，并且4,4被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆

心的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.直线

例9.（2022•上海市大同中学高三开学考试）已知定点P（TO）和定圆Q：/+；/=以，动圆M和圆。外切，

且经过点P,求圆心M的轨迹方程

例10.（2022・全国•高三专题练习）设动圆〃与>轴相切且与圆C:Y+y2-2x=。相外切，则动圆圆心用的轨

迹方程为.

例11.（2022.黑龙江.哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆C］：f+（y+3）2=9和圆c?：/+5一3）2=1,

动圆M同时与圆C1及圆C?外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为.

例12.（2022.全国•高三专题练习（理））设圆尤2+y2+2x—i5=0的圆心为A,直线/过点3（1,0）且与x轴不

重合，/交圆A于CD两点，过8作AC的平行线交AD于点E.证明|E4|+|E@为定值，并写出点E的轨迹

方程；

例13.（2022・全国•高三专题练习）己知尸是圆A:（x-iy+y2=i6上的动点，M是线段AP上一点，3（-L。）,

且1PMi=求点”的轨迹C的方程

例14.（2022•河南郑州•高三阶段练习（理））如图，已知圆月的方程为（无+1）2+产=?,圆工的方程为

O

（^-1）2+/=1,若动圆/与圆月内切与圆居外切.

O

求动圆圆心M的轨迹C的方程;

例15.（2022•山东潍坊•模拟预测）已知圆M与圆耳：（*+2=+;/=1外切，同时与圆B：（尤-2日+产=49

内切.

说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；

例16.设圆V+y2+2尤-15=0的圆心为A,直线/过点8（1,0）且与x轴不重合，/交圆A于C,。两点,

过3作AC的平行线交相＞于点E,求点E的轨迹方程.

题型三：相关点法

例17.（2022•全国•高三课时练习）设48分别是直线y=2x和y=-2x上的动点，且满足|AB|=4,则AB的

中点M的轨迹方程为（）

22

A.%2+—=1B.y2+—=]

1616

22

C.犬-匕=1D.=1

16-16

【方法技巧与总结】

有些问题中，所求轨迹上点加（无,旧的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点河'（无',力相关联的，

这时要通过建立这两点之间关系，并用表示x',y',再x',y'将代入已知曲线方程，即得关系式.

例18.（2022.全国•高三课时练习）已知.ABC的顶点3（-3,0）,C（l,0）,顶点A在抛物线y=炉上运动，则

ABC的重心G的轨迹方程为.

例19.（2022•全国•高三课时练习）当点P在圆/+9=1上变动时，它与定点。（3,0）的连线尸。的中点的轨

迹方程是（）

A.x2+y2+6x+5=0B.x2+-6x+8=0

C.%?+y2—3%+2=0D.炉+_|_3%+2=0

例20.（2022•全国•高三课时练习）己知A、8分别是直线y=*x和y=上的两个动点，线段的

长为2vL尸是A8的中点.求动点P的轨迹C的方程.

题型四：交轨法

例21.（2022・四川凉山•高三期末（理））设椭圆£+4=1的上、下顶点分别为A、B,直线丁=%与椭圆交

48

于两点M、N,则直线AM与直线BN的交点厂一定在下列哪种曲线上（）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆

【方法技巧与总结】

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出

交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数.

22

例22.（多选题）（2022.江苏.南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：—+^=1（a>2）的离心率为

a2

显,过点尸（1,1）的直线与椭圆C交于A,8两点，且满足=动点。满足=则下列

3--

结论正确的是（）

A.a=3

B.动点。的轨迹方程为2x+3y-6=0

C.线段。。（。为坐标原点）长度的最小值为迤

13

D.线段（。为坐标原点）长度的最小值为5叵

13

例23.（2022•北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形及中，A'A=8,AB=6,把边分

成〃等份，在*3的延长线上，以笈5的九分之一为单位长度连续取点.过边48上各分点和点A作直线，过

3Z延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为尸，如图建立平面直角坐标系，则点尸满足的

方程是.

例24.（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知4、4为椭圆C：/+1=1的

左右顶点，直线x=x0与c交于AB两点，直线A1A和直线48交于点P.求点尸的轨迹方程.

例25.（2022・河南•新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数>的图像C是以x轴与y

X

轴为渐近线的等轴双曲线.

（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

（2）设A］、4为双曲线C的两个顶点，点〃（x。,人）、N（%,Xo）是双曲线C上不同的两个动点.求直线AM与

AN交点的轨迹E的方程；

例26.（2022•全国•高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，F（l,0）,过直线/：x=4左侧且

不在x轴上的动点尸，作PH_U于点H,NRP尸的角平分线交无轴于点M,S.\PH\=2\MF\,记动点尸的轨

迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）已知曲线C与x轴正半轴交于点A,过点S（-4,0）的直线4交C于A,8两点，AS=ABS,点T满足AT=久TB,

其中几<1,证明：5B=2NTSO.

例27.（2022•全国•模拟预测（文））设抛物线C：/=8y,过点（0,1）的直线/与C交于A,B两点,分别过

点A,8作抛物线的切线，两切线相交于点P,求点P的轨迹方程;

22

例28.(2022・湖南•长郡中学模拟预测)已知双曲线C：,方=1(〃>0/>0)的离心率为2,月,F?为双

曲线C的左、右焦点，4(2,3)是双曲线C上的一个点.

⑴求双曲线C的方程；

(2)若过点3(4,0)且不与渐近线平行的直线/(斜率不为0)与双曲线C的两个交点分别为N,记双曲线

C在点M,N处的切线分别为乙，4,点尸为直线6与直线4的交点，试求点尸的轨迹方程(注：若双曲线

22

的方程为「-2=1,则该双曲线在点(%,%)处的切线方程为誓-萼=1)

abab

例29.(2022・全国•高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/(0,c)(c>0)到直线/：x-y-2=0的

距离为还.

2

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点尸(%,%)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA,尸3,其中A,8为切点，求直线AB

的方程，并证明直线A3过定点。；

(3)过(2)中的点。的直线加交抛物线C于A,8两点,过点A,3分别作抛物线C的切线4，求乙，4

交点M满足的轨迹方程.

22

例30.(2022・上海•高三专题练习)双曲线三-2=1的实轴为,点尸是双曲线上的一个动点，引

ab

4。与4。的交点为Q,求点。的轨迹方程.

例31.(2022・全国•高三课时练习)已知点尸(-2,2)、。(0,2)以及直线/:y=x,设长为正的线段A8在直线

/上移动(如图所示)，求直线出和QB的交点〃的轨迹方程.

题型五：参数法

例32.（2022・新疆•皮山县高级中学高三期末（文））已知A（2cosO,4sin。），B（2sinO,TcosO）,当时,

线段A8的中点轨迹方程为（）

A-TR21

2828

c-f4=iD-T4=I

【方法技巧与总结】

有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该

动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标（x,y）中的苍y分别随

另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法.

例33.（2022・全国•高三专题练习（理））己知曲线c：y=6_2x+2和直线I：产区（原0）,若C与/有两

个交点A和8,求线段A8中点的轨迹方程.

例34.（2022•江西景德镇•高三期末（理））已知两条动直线/1：y=丁A与/2：丁=几（4。0，4为参数）的交

点为P.求点尸的轨迹c的方程；

例35.（2022•北京市第五十七中学高三期中）P是圆/+产=4上的动点，P点在X轴上的射影是。，点M

满足Z)P=2£>M.

（1）求动点M的轨迹C的方程；

⑵过作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；

（3）过点N（3,0）的直线/与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以0408为邻边的平行四边形功

的顶点E的轨迹方程.

例36.（2022•全国•高三专题练习）已知直线I］：>=公尤和/2：y=次与抛物线W=2p无（0>0）分别相交于A,

5两点（异于原点。）与直线/：y=2x+p分别相交于P,。两点，且K・左2=-2.

求线段A3的中点M的轨迹方程；

例37.（2022•江苏倜市高级中学高三阶段练习）已知直线/：&+七=1,。€0匹与坐标轴的交点分别

smacos"I2）

为A,B,则线段A8的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（）

*兀八兀「兀c"

A.-B.—C.-D.—

24816

例38.（2022.全国•高三课时练习）已知曲线6：尸+4=1（。>6>。）所围成的封闭图形的面积为4百，曲线

。的内切圆的半径为2叵，记C?是以曲线Cj与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

3

（1）求椭圆Cz的标准方程；

（2）设AB是过椭圆C?中心的任意弦，/是线段A8的垂直平分线，M是/上异于椭圆中心的点，|“。|=川。4|

（。为坐标原点，2^0）,当点A在椭圆C?上运动时，求点M的轨迹方程.

题型六：点差法

f1

例39.（2022・全国•高三专题练习）椭圆上+/=1,则该椭圆所有斜率为;的弦的中点的轨迹方程为

42

【方法技巧与总结】

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法.

例40.（2022・全国•高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线/-V=1所得弦的中点的轨迹方程是

22

例41.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆亍+.=1的弦A8所在直线过点E（U）,求弦A8中点尸的轨

迹方程.

例42.（2022•上海市行知中学高三开学考试）已知曲线「上一动点尸到两定点耳（0,-2）,8（0,2）的距离之

和为4应，过点。（T,。）的直线L与曲线「相交于点4（%,%）,s（x2,y2）.

⑴求曲线「的方程；

（2）动弦A3满足：AM=MB，求点”的轨迹方程；

例43.（2022•全国•高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0,且两顶点间的距离为6,求该

22

双曲线方程.（2）一组平行直线y=2x+b与椭圆土+乙=1相交，求弦的中点的轨迹方程.

129

例44.（2022・上海•高三专题练习）已知椭圆?+?=：!,”（冷必），双（马,为）是椭圆上的两个不同的点.

（1）若点A（L1）满足MA=A2V，求直线MN的方程;

（2）若"（％,%）,N值,%）的坐标满足玉电+2乂%=0，动点尸满足OP=OM+2ON（其中。为坐标原点）,

求动点尸的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹

例45.（2022・全国•高三专题练习）在正方体A3。-A耳CQ中，E为4。的中点，尸为底面A8C。上一动

点，且跖与底面ABCD所成的角为60。.若该正方体外接球的表面积为12兀，则动点F的轨迹长度为（）.

A.述兀B.苴兀C.友兀D.拽兀

9333

【方法技巧与总结】

利用坐标法解决.

例46.（2022•全国•高三专题练习）如图，点A是平面a外一定点，过A作平面a的斜线/,斜线/与平面a所

成角为50。.若点尸在平面a内运动，并使直线AP与/所成角为35。,则动点尸的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线的一支

例47.（2022•北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体ABC。-A4GA中，P为底面A5CD上的动

点，且PEL4c于E,且上4=PE,则点P的轨迹是（）

A.线段B.圆弧

C.抛物线的一部分D.以上答案都不对

例48.（多选题）（2022・广东・大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体A3。-4与G2

中，。为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（）.

A.线段C。中点为E,则直线OE与平面A8CA所成角的正弦值为

B.在线段AB上取靠近B点的三等分点「则直线O尸与直线G2不共面.

C.在平面ABCD上存在一动点尸，满足|河+忸尸|=2,则尸点轨迹为一椭圆.

D.在平面GRAB上存在一动点。，点。到点0的距离和点。到直线AB的距离相等，则点。的轨迹为抛

物线，其准线到焦点的距离为行.

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹

例49.（2022・河南开封•高三阶段练习（文））已知i为虚数单位，且z0=£，复数z满足|z-z0|=l,则复

数z对应点的轨迹方程为（）

A.（X-1）2+（J+1）2=4B.（X-1）2+（3；+1）2=4

C.（尤+]J+（y+l）2=]D.（尤_iy+（y_l）2=]

【方法技巧与总结】

（1）利用坐标法解决.

（2）利用复数几何意义

例50.（多选题）（2022•重庆一中高一期末）若复数z在复平面对应的点为Z,则下来说法正确的有（）

A.若|z|=3,则Z在复平面内的轨迹为圆

B.若|z+4|+|z-4|=8,则Z在复平面内的轨迹为椭圆

C.不可能存在复数z同时满足|z|=3和|z+4|+|z-4|=10

D.若|z|=3,则|z+4|+|z-4|的取值范围为[8,10]

例51.（2022.上海市徐汇中学高三期末）如果复数z满足|z+l+3i|+|z-2-i|=6,则复数z对应的点的轨迹

是（）

A.直线B.椭圆C.线段D.圆

例52.（2022.全国•高一课时练习）已知复数z满足|z『-2|z|-3=0,则复数z对应的点的轨迹是.

例53.（2022•江西赣州•高三期末（文））设复数z=（l+cos6）+i-sin。（i为虚数单位），则复数z在复平面内

对应的点（x,y）的轨迹方程为.

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

例54.（2022.全国•高三课时练习圮知4（2,1）,B（2,-l）,O为坐标原点，动点尸（x,y）满足OP=mOA+nOB，

其中机,〃eR,且则动点尸的轨迹方程是（）

2

B.----Fy2=1

4

D.——丁2=1

4

【方法技巧与总结】

（1）利用坐标法解决.

（2）利用向量几何意义

例55.（2022•安徽八中学模拟预测（理））己知向量b是单位向量，若。4=0,且

c-3a+c-4b=5,则卜+。|的取值范围是.

例56.（2022•全国•高三课时练习）设过点尸（x,y）的直线分别与无轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两

点，点。与点P关于y轴对称，。为坐标原点.若8尸=2PA，S.OQAB=1,则点P的轨迹方程是.

例57.（2022・陕西师大附中高一期中）已知向量0,b，c，满足忖=4,a与b的夹角为1c.（c-o）=-3,

贝小一c|的最/J、值为（）

3

A.2^3+2B.^3——C.y/3+1D.^/3—1

例58.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆的标准方程为三+二=1.

42

⑴设动点尸满足：OP^M+ON＞其中M,N是椭圆上的点，直线■与ON的斜率之积为问：是

否存在两个定点不入，使得|P司+|%］为定值？若存在，求用，鸟的坐标；若不存在，说明理由.

（2）设动点P满足：OP=OM+2ON,其中N是椭圆上的点，直线与ON的斜率之积为问：是

否存在点尸，使得点夕到尸的距离与到直线％=2西的距离之比为定值？若存在，求产的坐标；若不存在,

说明理由.

例59.（2022・重庆八中高三阶段练习）抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,P在抛物线C上，。是坐标原

点，当尸尸与x轴垂直时，△OEP的面积为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若A,8都在抛物线C上，且。4.。8=-4,过坐标原点。作直线AB的垂线，垂足是G,求动点G的轨

迹方程.

例60.（2022•全国•高三专题练习）己知平面上一定点C（2,0）和直线/：x=8,尸为该平面上一动点，作PQ

U,垂足为。，且（尸C+尸。）=0.求动点尸的轨迹方程；

题型十：利用韦达定理求轨迹方程

例61.（2022・全国•高三课时练习）设椭圆E的方程为f+丁=1,斜率为1的动直线/交椭圆E于A,8两

点，以线段AB的中点C为圆心，|至|为直径作圆，圆心C的轨迹方程为.

【方法技巧与总结】

联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.

例62.（2022•全国•高三专题练习）设不同的两点A,B在椭圆C:Y+2y2=3上运动，以线段AB为直径的

圆过坐标原点。，过。作〃为垂足.求点M的轨迹方程.

例63.（2022•浙江.杭州市富阳区场口中学高三期末）己知椭圆C的离心率为玄，其焦点是双曲线Y-亡=1

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的顶点.

（1）写出椭圆C的方程；

⑵直线/：>=云+机与椭圆C有唯一的公共点跖过点M作直线/的垂线分别交x轴、y轴于人龙,0）,B（0,y）

两点，当点M运动时，求点P（x,y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

例64.（2022・广东•高三阶段练习）已知椭圆E:，+，=1（。＞6＞。）的离心率是孝，其左、右顶点分别是A、

B,且|AB|=4.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点M、N是椭圆E上异于A、8的不同两点，设点P是以AAf为直径的圆J和以AN为直径的圆。2

的另一个交点，记线段AP的中点为Q,若七”-心7V=-1,求动点。的轨迹方程.

例65.（2022・全国•高三专题练习）已知三角形A2C的三个顶点均在椭圆4/+5y2=80上，且点A是椭圆短

轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形A8C的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；

（2）若角A为90°,垂直于。，试求点D的轨迹方程.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z,Z所对应的复数z满足|z-3b|z-i|,则动点

Z的轨迹为（）

A.直线B,线段C.两条射线D.圆

2.（2022・全国•高三专题练习）正三角形048的边长为1,动点C满足OC=WA+,且万+9+筋=1,

则点C的轨迹是（）

A.线段B.直线C.射线D.圆

TT

3.（2022.全国•高三专题练习）四边形ABCD为梯形，且AB=2DC,|OC|=|D4|=2,=点尸是四

边形48。。内及其边界上的点.若（4P-。严《尸8+瓦1）=-4,则点尸的轨迹的长度是（）

A.EB.2A/3C.4万D.16万

4.（2022・全国•高三专题练习）已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则z的轨迹为（）

A.线段B.直线

C.椭圆D.椭圆的一部分

5.（2022•河南安阳•高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边

形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线x-y=o,y=0的距离之

和为2的点尸的轨迹为曲线「，则曲线r围成的图形面积为（）

A.8A/2B.672C.472D.272

6.（2022•河南•郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（）

A.若动点尸与定点4（-4,0）、8（4,0）连线抬、尸8的斜率之积为定值：，则动点P的轨迹为双曲线的一部

分.

B.设机，〃eR,常数a>0,定义运算“*"：（利一式，若x»0,则动点网不«^）的轨

迹是抛物线的一部分.

C.已知两圆A:（x+l）2+;/=l、圆3：（x-iy+y2=25,动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心

M的轨迹是椭圆.

D.已知A（7,0）,B（-7,0）,C（2,-12）,椭圆过A,8两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的

轨迹为双曲线.

7.（2022・全国•高三专题练习）已知正方体A8C。-ABCQ的棱长为2,反尸分别是棱AA】、A.的中点，点产

为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点,若直线口尸与平面无公共点，则点尸的轨迹长度为（）

A.2B.>/5C.76D.2亚

8.（2022•安徽・合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛

场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪

飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪

飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧向组成，如图所示.假设圆弧QM所在圆的方程为

C:（x+25）2+（y-2）2=162,若某运动员在起跳点M以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后

的飞行轨迹是一个对称轴在>轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）

A.y2=-32(x-l)B.y=-x2-3

-64

C.x2=-32(y-l)D.x2=-36y+4

二、多选题

9.（2022•福建省福州第一中学三模）已知曲线C是平面内到定点厂（0,1）和定直线/：y=-1的距离之和等于4

的点的轨迹，若尸（4,九）在曲线C上，则下列结论正确的是（）

A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于y轴对称

C.-2用K2D.l^iJlPF|4

10.（2022•全国•高三专题练习）已知抛物线C：/=2px（P＞0）的焦点厂与圆片:^+丁一2尤=0的圆心重合，

直线,与C交于A®,%）、3（%,%）两点，且满足：0408=0（其中。为坐标原点且A、8均不与。重合），

贝1（）

A.石N=16,%%=T6B.直线/恒过定点（4,0）

C.A、8中点轨迹方程：/=2x-4D.AO3面积的最小值为16

2

11.（2022・福建•模拟预测）己知双曲线C:d一匕=1的左、右焦点分别为斗鸟，点P在双曲线C的右支上，

4

若NF\PF?=e,△2久乙的面积为S,则下列选项正确的是（）

A.若8=60,贝!JS=4\/3

B.若5=4,贝！］|尸鸟|=2』

C.若耳为锐角三角形，则Se（4,4"）

D.若△尸用工的重心为G,随着点P的运动，点G的轨迹方程为9炉-亨=1、＞£|

12.（2022•全国•高三专题练习）已知A、3两点的坐标分别是（-1刀），（1,0）,直线AP、3尸相交于点P,且

两直线的斜率之积为加，则下列结论正确的是（）

A.当〃?=-!时，点P的轨迹圆（除去与x轴的交点）

B.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）

C.当0＜加＜1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线

D.当〃*1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）

三、填空题

13.（2022•浙江•高三开学考试）已知双曲线f-丁=1与直线/:丁二区+机依力土口有唯一的公共点人，过点A

且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于双飞,。）（（。,%）两点，当点A运动时，点。（如%）的轨迹方程是

14.（2022•江西・上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点A（6,0）,直线/”=竽，动点尸满足到点A

的距离与到直线/的距离之比为走；