2023-2024学年重庆市高二下期第一次教学检测数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年重庆市高二下期第一次教学检测数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若数列满足，则的值为（）A．1 B．C． D．【正确答案】D【详解】因为an令n=1，可得2a2−1=1令n=2，可得2a3−4=1故选：D.2.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.0<f'2<f'3<f3−f2 B.【正确答案】B

【分析】此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，另外还考查学生的读图能力，要善于从图中获取信息．

由题意已知函数f(x)的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．

解：由函数f(x)的图象可知：

当x≥0时，f(x)单调递增，且当x=0时，f(0)>0，

∴f'(2)，f'(3)，f(3)−f(2)>0，

而x=3（即点B）处切线的倾斜角比x=2（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，

∴f'(2)>f'(3)，

又因为f(3)−f(2)3−2∴由图可知f'(3)<f(3)−f(2)<f'(2)故选：B3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1CA.24 B.23 C.【正确答案】B

【分析】

本题考查异面直线所称的角，属于基础题．

由题意建立空间直角坐标系，由向量法求解即可．

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)，

所以AE=(−1,1,2)，BD1=(−2,−2,2)，

所以cos<AE，4.若函数，则等于（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【详解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x-4，∴f′（-1）＝-6,又，∴故选C．本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键．5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（）A B.C. D.【正确答案】B【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.【详解】∵，∴，∵函数既存在极大值，又存在极小值，∴导函数有两个不相等的变号零点，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是，故选：B．6.下列三个图中的多边形均为正多边形，A(B)是正多边形的顶点，椭圆过A(B)且均以图中的F1，F2为焦点，设图①，②，③中的椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则

(

)A.e1>e2>e3 B.【正确答案】B

【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查了正多边形中的边角关系，是中档题．

由已知图形把A(B)的坐标用含有c的代数式表示，把A(B)的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件分别求出离心率后比较得答案．

解：由图①知，a=2c，∴e1=ca=12；

由图②知，点B(c,2c)在椭圆x2a2+y2b2=1上，

∴c2a2+4c2b2=1，则c2a2+4c2a2−c2=1，整理得：c4−6a7.已知a=e2ln3，b=eA．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【正确答案】C【解题思路】函数fx=ex−1ln【解答过程】把a，b，c变形得a=e3−1ln3，所以构造函数fx=ex−1ln令gx=lnx−1所以gx在区间1,+∞上单调递增，因为所以f'x>0所以函数fx=e所以fe<f3故选：C.8.若x∈0,+∞,x2A．e B．2 C．1 D．e【正确答案】D【解题思路】先确定x=0时的情况，在当x>0时，参变分离可得a≤ex−x2【解答过程】当x=0时，1≤e当x>0时，a≤ex−令fx=e因为x>0时，ex所以当0<x<1时，f'x<0，fx单调递减，当x>1时，故fx所以a≤e−2，即实数a的最大值为证明当x>0时，ex令gx=ex−x−1，则gx在0,+∞上单调递增，所以gx故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列求导运算正确的是(

)A.(ln7)'=17

B.[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x【正确答案】BC

【分析】

本题考查导数的运算，属基础题．

熟记求导公式，依次判断各个选项即可．

解：(ln7)'=0，故A错误；

[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正确；

(x2ex)'=2x−10.函数，则下列说法正确的是（）A．在处有最小值B．是的一个极值点C．在上单调递增D．当时，方程有两异根【正确答案】AC

11.如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形P3，P4，⋯，Pn，⋯，记纸板Pn的周长为LA.L3=74π+12 B.【正确答案】ABD

【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，数列的递推关系，属于较难题．

根据题意可知，图形Pn中被剪去的最小的半圆的半径为(

解：根据图形生成的规律可知，

L1=π+2，L2=π+π2+1=3π2+1，L3=π+π2+π4+12=7π4+12，故A正确；

S1=π2，S2=π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在点处切线的方程为___________.【正确答案】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为，，故切线方程为，即.故13.已知函数f（x）＝在上是减函数，则实数a的取值区间是___【正确答案】【分析】转化为导函数小于等于0恒成立即可.【详解】函数在上是减函数，在上恒成立，，即，解得，实数的取值范围是，故答案为.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为______.【正确答案】【分析】设，则，，根据双曲线的定义得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率.【详解】依题意设，则，，又，则，所以，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，即，所以，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)设曲线fx=ax2ex在点1,f1处的切线方程为y=3(1)求a，b的值；(2)求fx在区间−3,3（1）由fx=a依题可得：f'1=又f1=3所以a=3，b=0.（2）由（1）知fx=3令f'x=0，解得x=0或2，令f令f'x<0，解得x<0所以fx在−∞,0上单调递减，在0,2又f−3=27e−3=27e故fx在区间−3,3上的最大值为max最小值为minf16.已知数列前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【小问1详解】∵，当时，，∴，当时，，①，②①-②得即，∵，∴，∴，∴是以首项为2，公比为2的等比数列，则，∴；【小问2详解】由上可知：，所以，，∴，∴.17.(17分)如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是的中点．(1)证明：OD∥平面；(2)若，且，求平面与平面所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)65【详解】（1）连接A1B交AB1于点E，连接∵O，E分别是AB，AB1的中点，D为∴OE//∴四边形OEC1D∵OD⊄平面AC1B1，C1E⊂平面（2）连接OC，∵∠BAA∴△BAA∴A1∵A1O⊥BC，且∴A1O⊥平面∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O为原点，OA，OA1，OC所在直线分别为x，y，设AB=2，则A1,0,0，A10,3,0由AC=A1则AC1=−2,3设平面A1AC∴AC1⋅令x=3∴m=设平面AC1B∴AC1⋅令a=3，∴n设平面A1AC1与平面则cosθ=即平面A1AC1与平面18．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当P在椭圆上顶点时，的面积是。（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由（1）依题意可得，设，由余弦定理可知：，所以，当P在椭圆上顶点时的面积是，同时，联立和解得，，，所以椭圆方程为.（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，所以，，原点O到直线1的距离为d，此时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，原点O到直线1的距离为d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圆C的方程是所以当时，存在定圆C始终与直线l相切，其方程是.19.(17分)已知函数．（1）讨论的单调性：（2）当时，若方程有两个不等实根，证明：．（1）函数的定义域为，时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；时，令得，当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．当时，当时，，所以在上单调递增．当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．