专题复习《概率与统计初步》

专题复习《概率与统计初步》contents目录概率论基本概念离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布多维随机变量及其分布大数定律与中心极限定理统计初步知识点回顾01概率论基本概念在一定条件下，并不总是出现，但是有可能出现，也有可能不出现的现象称为随机事件。随机事件定义样本空间事件的关系与运算随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间。包括事件的包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。030201随机事件与样本空间概率定义01概率是度量随机事件发生可能性的一个数值。概率的性质02非负性、规范性、可列可加性等。古典概型与几何概型03古典概型是具有有限个样本点且每个样本点发生的可能性相同的概率模型；几何概型是样本点无限多，但具有某种几何结构，可以用几何度量来刻画的概率模型。概率定义及性质在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率。条件概率定义用于计算多个事件同时发生的概率。乘法定理如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，那么称事件A与事件B是相互独立的。独立性条件概率与独立性如果事件组$B_1,B_2,ldots,B_n$是样本空间$Omega$的一个划分，那么对于任何事件A，有全概率公式成立。全概率公式在全概率公式的基础上，当已知事件A发生时，求某个$B_i$发生的概率，即逆概率问题，此时需要使用贝叶斯公式进行计算。贝叶斯公式在统计学和决策论中占有重要地位，可以用于参数估计、假设检验、分类问题等。贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式02离散型随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。根据随机变量可能取的值的个数分为离散型随机变量和非离散型随机变量。其中，离散型随机变量指只取有限个或可列个值的随机变量。随机变量概念及分类随机变量的分类随机变量的定义分布律的定义对于一个离散型随机变量X，其所有可能取的值x1,x2,...与取这些值的概率P(X=x1),P(X=x2),...构成的表格或公式称为X的分布律。分布律的性质非负性，即P(X=xi)≥0，i=1,2,...；规范性，即所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。离散型随机变量分布律二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0,1,...,n,且对每一个k(0≤k≤n)。0-1分布随机变量X只取0和1两个值，且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p，0<p<1。泊松分布一种离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。常见离散型随机变量分布设X是一个随机变量，y=g(x)是实数域上的函数。如果对于任意实数y，都有{ω|g(X(ω))=y}是随机事件，则称Y=g(X)是随机变量X的函数，或随机变量。随机变量函数的定义如果已知随机变量X的分布，那么可以通过一定的方法求出随机变量函数Y=g(X)的分布。具体方法包括公式法、图表法和卷积法等。随机变量函数的分布随机变量函数分布03连续型随机变量及其分布

连续型随机变量概念及性质连续型随机变量的定义在一定区间内能取任意实数值的随机变量。连续型随机变量的性质取值具有连续性，不可数；概率用概率密度函数表示。与离散型随机变量的区别取值范围、概率计算方式等方面的不同。常见连续型随机变量分布在给定区间内，随机变量取任何值的概率都相等。描述某事件发生所需时间的概率分布，常用于可靠性工程等领域。描述连续型随机变量最常见的一种分布，具有对称性、集中性等特点。如伽马分布、贝塔分布等，各具特点和应用场景。均匀分布指数分布正态分布其他分布03常见的随机变量函数分布如线性变换、指数变换等，需掌握其变换规律和概率密度函数的求法。01随机变量函数的定义由随机变量通过某种函数关系得到的新的随机变量。02随机变量函数的分布根据原随机变量的分布和函数关系，推导新随机变量的分布。随机变量函数分布04多维随机变量及其分布联合分布函数对于二维随机变量$(X,Y)$，其联合分布函数$F(x,y)$描述了随机点$(X,Y)$落在以$(x,y)$为顶点的左下方区域的概率。联合概率密度若二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$可微，则其联合概率密度$f(x,y)$为$F(x,y)$的混合偏导数。几种重要的二维随机变量分布二维均匀分布、二维正态分布等。二维随机变量联合分布123二维随机变量$(X,Y)$的分量$X$和$Y$各自的分布称为边缘分布。边缘分布在给定$Y=y$的条件下，随机变量$X$的条件分布描述了在该条件下$X$的取值规律。条件分布在给定$Y=y$的条件下，随机变量$X$的条件概率密度$f_{X|Y}(x|y)$描述了在该条件下$X$取值的概率密度。条件概率密度边缘分布与条件分布独立性判断若二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度$f(x,y)$可表示为两个边缘概率密度的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则称$X$与$Y$相互独立。相关系数计算相关系数$ρ_{XY}$用于描述二维随机变量$X$和$Y$之间的线性相关程度，其计算公式为$ρ_{XY}=frac{Cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$，其中$Cov(X,Y)$为$X$和$Y$的协方差，$D(X)$和$D(Y)$分别为$X$和$Y$的方差。独立性判断及相关系数计算多维随机变量函数分布对于多维随机变量$(X_1,X_2,...,X_n)$的函数$Z=g(X_1,X_2,...,X_n)$，其分布可以通过求解多维随机变量的联合概率密度函数和函数关系式得到。卷积公式对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，其和$Z=X+Y$的概率密度函数可以通过卷积公式求解，即$f_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$。多维随机变量函数的数字特征多维随机变量函数的数学期望、方差等数字特征可以通过相应的公式进行计算。多维随机变量函数的分布05大数定律与中心极限定理大数定律是指在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，即这个事件发生的频率趋于一个确定的常数，而大量实验中频率的偏离是随机的且呈现出某种稳定性。大数定律概念大数定律在保险、金融、抽样调查等领域有广泛应用。例如，在保险行业中，通过大数定律可以预测某一风险事件发生的概率，从而制定合理的保险费率。大数定律应用大数定律概念及应用中心极限定理内容中心极限定理是指在一定条件下，大量相互独立且同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。即无论随机变量的原始分布是什么，只要满足独立同分布的条件，当随机变量的个数足够多时，其和的分布就近似于正态分布。中心极限定理意义中心极限定理是概率论和数理统计中的基本定理之一，它为统计推断提供了重要的理论基础。在实际应用中，许多随机现象都可以看作大量相互独立的随机因素的综合影响，因此中心极限定理在统计学、经济学、社会学等领域有广泛应用。中心极限定理内容及意义在赌博游戏中，如掷骰子、转盘等，每次游戏的结果可以看作是相互独立的随机事件。根据大数定律和中心极限定理，可以预测在长期的游戏过程中，赌博的期望收益趋于一个稳定的值，而短期内的波动是随机的。因此，赌博游戏通常对玩家不利。在质量控制过程中，通常需要抽样检测产品的合格率。根据大数定律和中心极限定理，可以预测在大量抽样的情况下，样本的合格率趋近于总体的合格率，并且样本合格率的分布近似于正态分布。这有助于制定合理的质量控制标准和抽样方案。在金融投资领域，股票价格、收益率等经济指标的变化可以看作是大量相互独立的随机因素的综合影响。根据大数定律和中心极限定理，可以预测在长期的投资过程中，投资收益率趋于一个稳定的值，并且投资组合的风险可以通过分散投资来降低。这有助于投资者制定合理的投资策略和风险管理方案。在赌博中的应用在质量控制中的应用在金融投资中的应用在实际问题中应用举例06统计初步知识点回顾数据收集明确调查目的，确定调查对象和单位，选择合适的调查方式和方法，如问卷调查、访谈、观察等。数据整理对收集到的数据进行审核、筛选、分类、编码等操作，以便进行后续的分析和处理。数据图表展示利用图表等方式将数据可视化，更直观地展示数据的特征和规律。数据收集与整理方法通过计算平均数、中位数、众数等指标，了解数据的集中趋势和一般水平。集中趋势分析通过计算方差、标准差、极差等指标，了解数据的离散程度和波动范围。离散程度分析通过绘制频数分布表、直方图等方式，了解数据的分布形态和特征。分布形态分析描述性统计分析技巧参数估计利用样本数据对总体参数进行估计，包括点估计和区间估计两种方法。假设检验通过对样本数据的分析，对总体参数或分布形态等提出假设并进行检验。抽样分布了解抽样分布的概念和性质，如样本均值、样本比例等的抽