山东省新高考联合质量测评2023届高三年级下册3月联考数学 含解析

山东新高考联合质量测评高三3月联考试题

数学试卷

考试用时120分钟，满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

M=—2<x<l)N-(x|2%+leM].、

1.已知集合1I>,'IJ,n则z()

A.MjNB.N口M

C.McN=0D.MuN=(-3,3]

【答案】B

【解析】

【分析】利用条件求出N=(x|-|<xW()卜再利用集合的基本关系与运算即可得到结果.

【详解】因为M={x|-2<xWl},又2x+leM,

3

所以—2v2x+l〈l,得到一一<xW0,

2

所以N={x|-g<xV0,报NjM,故A错误，B正确;

而McN=Nr0,M_N=〃，（—3,3],故CD错误.

故选：B.

2.已知复数z满足(l-i)(i—z)=3+i,则三()

A.l+3iB.l-3iC.-1-iD.-1+i

【答案】D

【解析】

【分析】先根据复数的四则运算求z,再结合共物复数的概念分析运算.

.3+i,(3+i)(l+i).2+4i,.

【详解]由题意可得：z=i-~；—=1-〉。;=1—=-1-1,

l-i+2

所以z=—l+i.

故选：D.

3.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温

运算

n(AB)

/、P(AB)n(Q)n(AB)357

V)P(A)〃(A)"(A)6513

〃(C)

7

故在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为一.

13

故选：C.

7T

6.已知等腰直角三角形ABC中，A=一,M,N分别是边A6，BC的中点，若

2

BC=sAN+tCM其中s,f为实数,则s+/=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析运算.

ULUUUUUUDUUUIIUUH]UUUUULTUUITUIIBI1UUUUUU

【详解】由题意可得：BC^AC-AB,AN^-AB+-AC,CM^AM-AC^-AB-AC,

222

若6C=sAN+/CM，则

uiunuun(iuiBiiuiiu\/1uniuuni\(iiAuun(iAuum

AC-AB=s\-AB+-ACyt\-AB-AC\=\-s+-t\AB^\-s-t\ACy

可得's+!f=-l,故S+7=-2.

22

故选：D.

TT

7.如图，直三棱柱ABC-A4G中，=pAC=Ad=1,8C=2,点〃是8c的中点，点

产是线段48上一动点，点。在平面上移动，则尸，。两点之间距离的最小值为()

A君

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可证：A5,平面AMG，可得P，。两点之间距离的最小值为d，利用等体积法求",

即可得结果.

【详解】连接AC交AG于点。，连接OM,

分别为AC，8C的中点，贝IJQM48,

且OMu平面4WG，48«平面4"6，

AA}B夕平面AA/G，

则点P到平面AMG的距离相等，设为"，则p,。两点之间距离的最小值为d，

即点A到平面AMC}的距离为d，

VAC的中点。在AC1上，则点c到平面的距离为d,

AMC{

由题意可得为AC=CM=C}M=1,AG=A"=MC|=夜，

由匕♦-AMG=匕1-"加,则!xdx'x=1xlx」xlx1'解得d=,

322323

故P,。两点之间距离的最小值为d=上.

3

故选:A.

8.已知a=e003—1，h=lnl.O3,c=tanO.O3,其中e=2.71828为自然对数的底数，则。，b,c

的大小关系是（）

A.oa>bB.a>c>b

C.b>c>aD,a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】构造“，c的结构特征，构造/(x)=e'-l-tanx,0<x<：,求导后得到其单调性，得到

a>c,再构造〃(x)=ln(l+x)-x,0<》<5和m(x)=x-tanx,XG］。,?，求导得到其单调性,

得到如1.03<0.03<tan0.03,即手<c,从而得到

【详解】«-c=e°03-l-tan0.03.

人“、X.evcosx-cosx-sinx八兀

/(x)=ex-l-tanx=---------------------------,0<x<-,

八)cosx4

令g(x)=e"cosx-cosx-sinx,则/(x)=(e'-1)(cosx-sinx),

当0<x<E时，g'(x)>0,所以g(x)在上单调递增，

又g(。)=e°cos0-cos0-sin0=1-1=0,所以g(x)>0,

又cosx>0,所以/(x)>0在0,；上恒成立,

003003

所以/(0.03)=e-1-tan0.03>0,即e-1>tan0,03，即。>c,

八兀

令Zi(x)=ln(l+x)-x,0<x<一，

2

所以“(%)=

1+x1+x

7T

因为。所以〃(x)=W<0,所以A(x)在0,3上单调递减,

\2)

所以〃(x)<〃(0)=0,即ln(l+x)<x在(og卜亘成立,

所以In(1+0.03)=In1.03<0.03,

令加(x)=x—tanx,

所以加(x)=l———

cosX

因为冬，所以加(x)=l-----<0,

I27cos'x

故机(x)=x-tanx在xe[0,5)上单调递减，

所以〃z(x)</%(0)=0,即xctanx在xw[o，Tj恒成立，

当x=0.03时，0.03<tan0.03,

故In1.03<0.03<tan0.03，即)<c,

综上，a>c>h

故选：B

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设随机变量g的分布列如下：

12320222023

aa

P«!2。32Q22“2023

则下列说法正确的是()

2

A.当｛q｝为等差数列时，4+%侬=示而

2022

B.数列｛《,｝的通项公式可能为4=2523〃(〃旬

C.当数列｛4｝满足4=£(〃=1,2,,2022)时，生。23=9

2

D.当数列｛4｝满足P代<k)=kak仕=1,2,,2023)时,0202s=击

【答案】AC

【解析】

2023

【分析】根据题意可得Z“2023=1,4,e[0,1],〃=1,2,…,2023.对A：结合等数数列的性质分析运算；对

n=l

B：利用裂项相消法分析运算；对C：根据等比数列求和分析运算；对D：取攵=2023,分析运算即可.

【详解】由题意可得：a,+a2+---+a2023=l,且a,,目0』,〃=1,2,…,2023,

对A：当｛«„｝为等差数列时，贝ij4+q+…+&era=2。到"；+鱼)=],

22

a+a

可得4卜生023—2023'成,十/022-i2023~?(p3，A正确；

20222022(1一.)，满足见w[°，1]，〃=1，2,…,2023,

对B：若凡=”8/斗、=的»

2023〃(〃+1)2023\

2022(11111>2022<1、1011,

贝11卬+4+.一+。2023-++•,,+—1—wl,

?2320232024J202312024J1012

2022

故数列｛4｝的通项公式不可能为4,=2023/i(n+l),B错联；

对C：当数列｛a/满足4=g(〃=1,2,..,2022)时，满足a“且0,1],〃=1,2,…,2022,

则1114一⑸1

、」a]+a2+・・・+〃2023=5+/+・・・+^r+a2O23+々2023=1-22022+。2023=1

G

可得。2023=)2022[03]，C正确；

2

对D：当数列｛an｝满足?(J<k)=kak(k=1,2,,2023)时，则P(J<2O23)=2O232%O23=1，

可得“2023=上3，口错误;

202320232

故选：AC.

10.已知圆锥顶点为S,高为1,底面圆。的直径长为20.若。为底面圆周上不同于A5的任意

一点，则下列说法中正确的是（）

A.圆锥SO的侧面积为60兀

3

B.4c面积的最大值为一

2

C.圆锥SO的外接球的表面积为9兀

D.若AC=8C,E为线段AC上的动点，则SE+8E的最小值为g+40

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对

C：根据题意可得圆链SO的外接球即为△S43的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可

得结果；对D：将平面ABC与平面S4C展开为一个平面，当S,E,B三点共线时，SE+BE取到最小

值，结合余弦定理分析运算.

【详解】对A：由题意可知：OA=OB=五,SO=1,SA=SB=SC7so2+OB'=百，

故圆锥SO的侧面积为兀X&X&=J^I，A错误;

11o

对B：SAC面积S=-SASC-sinZASC=—x^/3x73xsinZASC="s^n^SC,

SAC2

一八zxcnSA2-^-SB2-AB23+3-81八

在△SAB中，cosZASB=--------------------=产—尸=—<0,故N/458钝角,

2SASB2xV3xV33

由题意可得：0<NASC<NAS3,

兀33

故当NASC=一时，S4c面积的最大值为一sin/ASC=—,B正确;

222

=Vl-cos2ASAB=^-

对C：由选项B可得：cosZASB=--,NS45为钝角，可得sin/SAB

3

由题意可得：圆锥SO的外接球半径即为ASAB的外接圆半径，设其半径为R,

AB272

r、2R33

则sinZASB-2^,即R=_

2

3

故圆锥SO的外接球的表面积为47rx9兀，C正确;

对D：将平面ABC与平面的C展开为一个平面，如图所示,

当三点共线时，SE+BE取到最小值,

,JI

此时AC=BC=2,ZACB=-

2

+0x-..-nAC~+SC~—AS~4+3—3>/3/n./人-u4匕四身

在二SAC,cosZACS=---------------------=---------T=——>0,则NACS为锐角,

2ACSC2x2x63

则sinNACS=J1-cos?/ACS=旦，

3

在△SBC,则cosNSCB=cos(ZSCA+ZACB)cos[Z.SCA+—-sinZACS=

I2)3

由余弦定理可得SB2=SC2+BC2-2SC-BC-cosNSCB=3+4—2x百x2x=7+4&,

则SB=g+40，故SE+BE的最小值为77+472，D正确•

故选：BCD.

k(x-P

y2222

由*\2J可得，Fx-p(k+2)x+-kp=0,

4

y2=2px

p伏2+2)

x}+x2

12

^2=~P

uunimm]

=x,x22

OA'OB2y1y2=­p+kX'~2X2~2

一半0.泞与攵无关,

=；/+k2x]x2-

4224

3tunuuuritiruuir333

同理。COO=—己〃2,故04-OB+0C-0O=—二“2=—二，即QA-OB+OC-OD=——

4222

故D正确；

故选：ACD;

(、fev(x<0)

12.已知函数3,2,〉二，其中e是自然对数的底数，记

4x—6x+1(x20)

M尤)=[/⑺了-/(x)+a,g(x)=/(/(x))-3,则()

A.g(x)有唯一零点

B.方程/(x)=x有两个不相等的根

C.当〃(x)有且只有3个零点时，ae[-2,0)

D.a=0时,从x)有4个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】先对/(x)=41-6/+1(x20)求导，判断出函数的单调性，画出了(X)的简图，对于选项A,

通过令/(x)=r,从而将函数g(x)=/(/(x))-3的零点转化成/(x)=f,./'⑺=3的根来求解，利用图

像可得出结果；对于选项B,通过构造两个函数，利用函数图像的交点来解决，从而判断出选项B的正

误；选项C,通过令F(X)=M,从而得到加2—根+。=0，〃(x)有且只有3个零点时，方程

加2一〃2+a=0有两等根根0，且加0G(0,1),或两不等根仍，加2，-1<g<0,加2>1,从而求出。的范

围；对于选项D,直接求出"X)的值，再利用/(*)的图像即可判断结果.

【详解】因为/(%)=4尤3-6X2+1(%>0),

所以/'(X)=12/-12x=12x(x-l)(x>0),

所以xe(0,l)时，/'(x)<0,xe(l,+oo)时，，f'(x)>()

x(x<0)

所以/(x)=<e:、<的图像如下图，

4x-6x+1(x>0)

选项A,因为g(x)=/(/(x))—3,令/(x)=f,由g(x)=0,得到/«)=3,

由图像知，存在唯一的f0＞l,使得了⑺=3,所以/(无)=4＞1,

由f(x)的图像知，存在唯一%,使/(%)=",

即g(x)=/(/(x))-3只有唯一零点,所以选项A正确；

选项B,令g(x)=x,如图，易知8(%)=》与尸/(幻有两个交点，所以方程"》)=%有两个不相等的

根，所以选项B正确；

选项C因为〃(x)=[/(x)]-/(x)+a,令/(x)=/n,由/i(x)=0,

得到〃，-〃z+a=0,

当力(可有且只有3个零点时，由/(x)的图像知,

方程〃，-m+a=0有两等根机o，且/e(0,1),或两不等根班，/〃2，T＜叫＜0,"%＞1，或

m,=1(舍弃，不满足韦达定理),

1

A=l-4tz>0a<—

4

/(0)<011、

所以八=1-4。=0或，:n即a或a<0所以。=一或一2＜。＜0,

/(-I)>044

-2<a

,/(1)<0

a<0

当。=‘时，，”=■!■,满足条件，所以选项c错误；

42

选项D,当a=0时，由力(x)=0,得到f(x)=0或/(x)=l,由/(x)的图像知，当/(x)=0时，有2个

解，当f(x)=l时，有2个解，所以选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知]工一3)(〃eN+，3W〃416)的展开式中含有常数项，则”的一个可能取值是.

【答案】4、8、12、16(任选一个为答案)

【解析】

【分析】根据二项式定理展开上述式子，找到满足题意的关于〃的取值规律，即可求出答案.

详解】根据二项式定理展开可得尸"=(_1)仁：产4「，

因为展开式中含有常数项，所以4r=0=〃=4r,

由此可得当〃为4的倍数时，即可满足题意，又因3W〃W16,故〃可取4、8、12、16.

故答案为：4、8、12、16(任选一个为答案)

14.已知点A(—1,1),设动直线x+〃y=0和动直线nr—y—4"+2=0(〃eR)交于点p,则|弘|的取值

范围是.

【答案】[3-6,3+6]

【解析】

【分析】由两动直线解析式可知其互相垂直，且均过定点，则交点P轨迹为圆，继而可知1PAi的取值范围.

【详解】如图所示，由条件可知两动直线工+盯，=(),nx->-4〃+2=0(〃eR)分别过原点。和E

(4,2),且两直线互相垂直.

所以动点P的轨迹为以。石为直径的圆上，OE=2加,设圆心为。，则。(2,1)

显然当A、P、£>三点共线时取得最值，故即PAe13-6,3+6]

故答案为：[3-6,3+6]

15.过双曲线Y—y2=l的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD,其中A8在双曲线的左支上，

AC在*轴上方，则用的最小值为,当的倾斜角为土时，四边形A耳心。的面积为

7K

【答案】①.1②.276

【解析】

【分析】根据题意设CO:x=my+行，联立方程结合题意可求得04加2<1.空1：根据题意分析利用韦

达定理可得|A£HCg|=1+7口，结合不等式分析运算；空2：根据点到直线的距离结合韦达定理运

算求解.

【详解】由双曲线四一k=1可得.=匕=],C=&2+F=夜,则片（_逝,0）,6（0,0）,

设直线C£）:x=my+及,C（X，y）,£）（%,%），

联立方程"I',消去X得：（〃，—l）y2+2j^〃2y+l=0,

X-y=1\

则△=（2加m）-4（m2-1）x1=4（〃/+1）>0,%+%=一"，"；,%%=^~~"，

由题意可得X%=」~7<0，解得04m2<1，

m~-I

空1：根据对称性可知：|A用=|。可，

则|必卜|用=|陷.必|=（府刈•（Vi^?lM=（i+叫

【答案】a>—或。<—

ee

【解析】

【分析】利用特殊值法求/(1)=1,/(—1)=1，利用奇偶函数概念研究了(力的奇偶性，再利用单调性

化简不等式，参变分离、构造新函数法，再利用导数的性质进行求解即可.

【详解】令王=々=1，有/(1)=/(1)+/(1)_1，得/(1)=L

令占=々=一1，得/(1)=2/(—1)—1,则=

令玉=x(xe。)，x2=-1,W/(-x)=/(x)+/(-l)-l,得=

又函数/(x)定义域。为(e,O)U(O,+x)关于原点对称，所以/(X)是偶函数，

因为/(x)在(。,0)上单调递减，所以/(x)在(0,+8)上单调递增.

不等式/(以)—/(lnx)>/⑴T可化为/(ar)>/(lnx),

则有/(网)>/(|lnx|),

因为函数/(x)在(0,+巧上单调递增，所以网>|lnx|,

又x>l,所以同x>lnx,即|4>生土，

设6(x)=W(x>l),则同〉人(%)2，

因为"(司=匕詈，故当xe(l,e)时,h'(x)>0,/i(x)单调递增,

当xw(e,+8)时，/z,(x)<0,单调递减，

所以7z(x)«Me)=L所以同>^，所以或

故答案为：a>一或。<—.

ee

【点睛】关键点点睛：先判断出函数的奇偶性，进而判断函数的单调性，通过构造新函数利用导数的性

质进行求解是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知多面体ABCDEV中，四边形CDEE是边长为4的正方形，四边形A8CD是直角梯形，

ZADC=NDAB=90°,BE=3AB=6,AD=4.

(1)求证：平面ADF_L平面BCE；

(2)求直线A尸与平面6CF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)叵

15

【解析】

【分析】(1)先证明出ABIAE，由勾股逆定理得到AOLDE，证明出AOL平面CQE,从而AD

-LCE,证明出CE，平面ADE及面面垂直；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.

【小问1详解】

因为四边形CDEF是边长为4的正方形，

所以CELOR,ED工DC,

因为四边形ABC。是直角梯形，ZADC=ZDAB=90°,

所以AOLCD，ABLAD,

因为AZ)ED=D,A。,EOu平面ADE，

所以CD_L平面ADE,

因为AEu平面ADE，

所以CD_LAE,

因为AB//CD,所以A61AE,

因为B£=3A3=6,所以45=2，

由勾股定理得，AETBEJAB。=136-4=4万

因为AD=OE=4,所以AZ^+DE?=.2,由勾股定理逆定理得ADLDE,

因为ADLCO，DEcCD=D，。28匚平面。。七，

所以AO,平面COE，

因为CEu平面CDE,所以AOLCE,

因为AZ）c£>E=£>，4。,£>/（=平面4。/，

所以CE，平面ADR，

因为CEu平面BCE,

所以平面ADEJ_平面BCE；

【小问2详解】

由（1）知，ZM,£>C,£>E两两垂直，故以。为坐标原点，D4,£>C,OE所在直线分别为X，XZ轴，建立空

间直角坐标系，

A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,4,0),F(0,4,4),

m-BC=(x,y,z>(-4,2,0)=-4x+2y=0

设平面5cF的法向量为加=（x,y,z）,贝卜

m-BF=(x,4,2,4)=—4x+2y+4z=0

解得z=0,令x=l,则>=2,故〃2=(1,2,0),

设直线AF与平面BCF所成角的大小为6,

|(-4,4,4)-(1,2,0)|

716+16+16x71+4-15'

故直线AF与平面BCP所成角的正弦值为巫

15

18.为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起

至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区兔首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首

道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客

至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周

岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50

周岁以上）分类统计得到如下不完整的2x2列联表：

不满意满意总计

50周岁及以下55

50周岁以上15

总计100

(1)根据统计数据完成以上2x2列联表，并根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为对全省实

施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？

(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，

若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.

①求X的分布列和数学期望；

②求—

参考公式及数据：力2=^——：(adjbc)——其中〃=a+8+c+d.

(a+0)(c+d)(a+c)(0+4)

a=P（/22人）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)补全的2x2列联表见解析；有关；

(2)①分布列见解析；E(X)=2.7；②0.271

【解析】

【分析】(1)由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，

即可补全2x2列联表，再根据公式计算72=12.76,即可判断；

(2)①由题意可知X8(3,().9),根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据

P(|X—1区1)=尸3=0)+尸(*=1)+尸(*=2)=1-尸(*=3)即可计算.

【小问1详解】

由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的2x2列

联表如下：

不满意满意总计

50周岁及以下5560

50周岁以上152540

总计2080100

则益潦萨*76>1。.828.

所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.

【小问2详解】

①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,

则X8(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3,

尸(X=0)=C；X0.F=0.001,P(X=1)=C；X0.9X0.『=0.027,

P(X=2)=C；x0.92x0.1=0.243,P(X=3)=C；x0.93=0.729,

所以X的分布列如下:

X0123

p0.0010.0270.2430.729

因为X5(3,0.9),所以数学期望£(X)=3xO.9=2.7.

②刊X-1归1)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)=1-P(X=3)=1-0.729=0.271.

19.已知UWC的内角的对边分别为“，b,c,£=sing+^cosB且

bsinA+<3cosA

(1)求/C的大小;

(2)若/C的平分线交A3于点且C0=26,求。+2b的取值范围.

【答案】S)y

(2)14亚+6,+oo)

【解析】

【分析1(1)利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换整理得sin2A-^=sin26-2兀，再根据角

6

A,8的范围分析运算;

22

(2)根据三角形的面积关系整理得一+：=1,结合基本不等式求范围.

ab

【小问1详解】

...q=sin8+勺8,由正弦定理可得包W=sinB+fcos8,

bsinA+J3cosAsinBsinA+J3cosA

则sin?A+\/3sinAcosA=sin2B+V3sinBcosB，

1-cos2A6.c人l-cos2BG.

可得---------+—sin2A=-----------+—sinIB，

2222

整理得sin（2A—=sin（28—,

TT7T7rliJT7T7T

注意到0<43<兀，且AwB,则—二V2A—二,23——<—,且2A—二。23—二,

666666

可得（2A-｛|+（2B一｛|=兀或（24一｛|+[28_野=3兀，

解得+8或4+8=型>兀（舍去），

33

7T

故C=7l-（A+5）=3

【小问2详解】

7T

若/C的平分线交A5于点。，则/A8=N5CO=一,

6

•=SMCD+S4BCD'则

-xACBCsinZACB=-xAC-CD-sinZACD+-xBC-CDsin/BCD,

222

即工=—/?x2V3x—+—<7x25/3x—,整理得2+2=i,

222222ab

则a+2/?=(a+2Z?)[2+1)=竺+宁+6N2^Z^+6=4上+6,

当且仅当?=年，即。=后=2(&+1)时，等号成立，

故。+2)的取值范围为[40+6,+8).

20.在如图所示的平面四边形ABCD中，△A5O的面积是△C8D面积的两倍，又数列｛。/满足

4=2,当〃22时，BD=(a,,.,+2"-')BA+(«„-2")BC,记包啜.

（1）求数列｛勿｝的通项公式;

1115

⑵求证：层卡区卡<—

*瓦4

【答案】⑴r=2〃-1

（2）证明见详解

【解析】

n

an—\+2-'=Q-

【分析】（1）根据题意分析可得BE=LBA+23c结合三点共线可得可得

33

bn-bn_.=2,〃22,结合等差数列分析运算;

(2)根据题意结合裂项相消法分析运算.

【小问1详解】

如图所示，过A作垂足为M,过C作CNJ.BD,垂足为N,连接AC,交BD于点

E，

由题意可得：SABOMZSCBD，则4W=2OV，

AKAAA

且.AME-CNE,则一=——=2,

CECN

可得：8E=8A+AE=8A+-AC=8A+-(8C-BA)=-8A+-8C,

33、>33

uunuur丸uiruun/.uir.uum

nlz

££0三点共线，则BD=ABE=-BA+—BC=[an_l+2-)朋+(%—2〃)3C,

an-i+2"-'=Q-

可得彳2/，则4一2"=2(q1+22),心2,

整理得：2■—编=2,〃22,即“一勿_1=2,〃22

故数列｛4｝是以首项告=1，公差为2的等差数列，

则2=1+2(〃-1)=2〃—1.

11111(11

当晨2时，可得而<-------—-X-7------r—-----------------

(2n-l)--l4nyn—\j4\n-ln

则与+!+L+!=1+U」+LU-W<2.

b-片b；t4(223n-\n)44/i4

1115

综上所述：记+至++—<—

b；,4-

21.已知曲线£：1+q=1,直线/:y=x+?及与曲线E交于＞轴右侧不同的两点AB.

(1)求机的取值范围；

(2)已知点P的坐标为(2,1),试问：△神的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方

程；若不是，请说明理由.

【答案】(1)(-3,-73)

(2)△APB的内心恒在一条定直线上，该直线为x=2

【解析】

【分析】(1)联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解;

(2)根据(1)中韦达定理证明勺+&2=0,即可得结果.

【小问1详解】

设4(和%),3(孙必)，

y=x+m

联立方程,fyi,消去y得：3x2+4m¥+2m2-6=0»

----F--=1

63

A=(4m)2-4x3x(2/-6)>0

4

由题意可得<%+%2=一§机>0，解得—3<—G，

故加的取值范围为卜3,-6).

【小问2详解】

内心恒在一条定直线上，该直线为x=2,

[2

V—+-=l,即点尸(2,1)在椭圆上,

63

若直线/：y=x+m过点(2,-1),则2+加=-1,解得机=-3史卜3,-6)，

即直线/：y=x+m不过点(2,-1),故直线的斜率存在,

/42,-6

由(1)可得：A(%,y，，^(七,%)，%+/=-§机，玉工2=­-~

.y.-1,y—1

设直线AP,BP的斜率分别为勺,也,则占=山二弓&=十9三

•X]ZX)乙

k+k=)[TIy2T()11)(/2)+(%一。(内2)

玉_2%2_2(尤]_2乂龙2—2)

(X)+m-l)(x2.2)+(%2+加-1)(玉一2)2x1x2+(/n-3)(x1+x2)-4(m-l)

(%-2)(々-2)(元]-2)(/-2)

4根2-12-4/?:2+12加一12根+12