沪教版七年级数学下册同步练习13.5 平行线的性质（分层练习）（原卷版+解析）

13.5平行线的性质（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于（）A．40° B．130° C．50° D．120°2．（2022春·上海·七年级开学考试）下列说法，正确的是（）A．两点之间，直线最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两直线平行，同旁内角相等D．对顶角相等3．（2022春·上海·七年级期中）如图，由可以得到（

）A． B．C． D．4．（2022春·上海松江·七年级校考期中）下列说法正确的是（

）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短5．（2022春·上海·七年级专题练习）两直线被第三直线所截，则（

）A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上说法都不对6．（2023春·七年级单元测试）如图，下列说理正确的是（

）A．由，得，理由是同位角相等，两直线平行B．由，得，理由是同位角相等，两直线平行C．由，得，理由是两直线平行，内错角相等D．由，得，理由是同位角相等，两直线平行7．（2023春·七年级单元测试）如图，ABEGDC，ACEF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有（）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个二、填空题8．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是___．9．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，AD∥BC，AC平分∠DAB，∠B=70°，则∠ACB=______度10．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=57°，则∠2的度数为__________．11．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于___度．12．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线经过点且，，则__________度．13．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，，，则______________．14．（2023春·七年级单元测试）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度．15．（2023春·七年级单元测试）如图，，，则=___________．16．（2023春·七年级单元测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，则________．17．（2023春·七年级单元测试）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．18．（2023春·七年级单元测试）如图：，AD＝BC＝2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为_____．19．（2023春·七年级单元测试）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为_____°．20．（2023春·七年级单元测试）如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是______．三、解答题21．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，已知∠EDB+∠B=180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB的理由解：因为∠EDB+∠B=180°（

）所以∥（

）所以∠1=∠3

（

）因为=（已知）所以∠2=∠3

（等量代换）所以∥（

）所以∠FGB=∠CDB

（

）因为GF⊥AB（已知）所以∠FGB=90°（

）所以∠CDB=90°（

）所以CD⊥AB

（垂直的意义）22．（2022春·上海·七年级上海市文来中学校考期中）如图：已知，，试说明的理由．23．（2022春·上海·七年级期末）填写理由或步骤如图，已知ADBE，∠A＝∠E因为ADBE．所以∠A+＝180°．因为∠A＝∠E（已知）所以+＝180°．所以DEAC．所以∠1＝．24．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知，如图，．求证：证明：如图，作延长线，过点作．因为（已作）所以（

）（

）因为（

）所以（

）．25．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB∥CD，∠ABE=120°，∠C=28°，求∠E的度数．26．（2023春·七年级单元测试）如图：．求证：．（写出括号里面的理由）27．（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°，请补充完成∠CGD＝∠CAB的推理过程．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．∴∠ADC＝∠EFC．28．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：过点C作FG∥AB因为FG∥AB，AB∥DE（已知）所以FG∥DE（）所以∠B＝∠（）∠CDE+∠DCF＝180°（）又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知）所以∠＝80°（等量代换）∠DCF＝40°（等式性质）

所以∠BCD＝．【能力提升】一、单选题1．（2023春·七年级单元测试）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐2．（2022春·上海·七年级专题练习）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是（）①互为邻补角的两个角的平分线；②互为对顶角的两个角的平分线；③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题3．（2023春·七年级单元测试）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是__．4．（2023春·七年级单元测试）如图，，则、、之间的数量关系是_______．5．（2023春·七年级单元测试）沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．6．（2023春·七年级单元测试）如图，若ABCDEF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是_____．7．（2022春·七年级单元测试）如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．8．（2022春·上海·七年级专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为_____．9．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．三、解答题10．（2023春·七年级单元测试）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由．解：∵AB∥E（已知）∴∠+∠＝．∵CB平分∠ABF（已知）∴∠1＝∠ABF同理，∠4＝∠BEF∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝．又∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2同理，∠3＝∠4∴∠1+∠4＝∠2+∠3∴∠2+∠3＝90°（等量代换）即∠BCF＝90°∴BC⊥CF．11．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，，．求证：．12．（2023春·七年级单元测试）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为点G，点D，点C分别落在点M，点N的位置上，若，求和的度数．13．（2023春·七年级单元测试）（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现请把下面的证明过程补充完整：证明：过点作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代换）．（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．14．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）(1)求∠CBD的度数．(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．15．（2022春·上海·七年级专题练习）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探(1)如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为______，∠EMC的度数为______．类比再探(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．16．（2023春·七年级单元测试）探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】17．（2022春·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．(1)如图，平分，若，求的度数．(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．18．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．19．（2022春·上海·七年级期中）已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为（直接写出答案）．13.5平行线的性质（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于（）A．40° B．130° C．50° D．120°【答案】C【分析】先假设a∥b，由平行线的性质即可得出∠2的值．【详解】解：假设a∥b，∴∠1=∠2，∵∠1=50°，∴∠2=50°．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，即同位角相等，两直线平行．2．（2022春·上海·七年级开学考试）下列说法，正确的是（）A．两点之间，直线最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两直线平行，同旁内角相等D．对顶角相等【答案】D【分析】本题根据线段的性质、平行线的性质和对顶角的性质进行判定即可．【详解】解：A、两点之间，线段最短，故此项错误，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此项错误，不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，错误，故此项错误，不符合题意；D、对顶角相等，此项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查线段的性质、平行线的性质、对顶角的性质，熟练掌握性质和概念是解决本题的关键．3．（2022春·上海·七年级期中）如图，由可以得到（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质即可得正确答案．【详解】∵∴故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，若两条直线被第三条直线所截，则有同位角相等、内错角相等或同旁内角互补．4．（2022春·上海松江·七年级校考期中）下列说法正确的是（

）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】D【分析】根据对顶角、平行线和垂线的性质逐项判断即可．【详解】解：A.如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意；B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项错误，不符合题意；C.如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等，选项错误，不符合题意；D.联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了对顶角、平行线、垂线的性质，解题关键是熟记相关性质，准确进行判断．5．（2022春·上海·七年级专题练习）两直线被第三直线所截，则（

）A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．以上说法都不对【答案】D【分析】当两条互相平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，根据题意，两直线不平行，所以A、B、C三项均不正确．【详解】解：∵两条被截的直线不平行，∴截得的同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，故选D．6．（2023春·七年级单元测试）如图，下列说理正确的是（

）A．由，得，理由是同位角相等，两直线平行B．由，得，理由是同位角相等，两直线平行C．由，得，理由是两直线平行，内错角相等D．由，得，理由是同位角相等，两直线平行【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定判断即可．【详解】解：由，得，理由是两直线平行，同位角相等；故A选项错误；由，得，理由是内错角相等，两直线平行，故B选项错误；由，得，理由是两直线平行，内错角相等，故C选项正确；由，得不到，故D选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定．7．（2023春·七年级单元测试）如图，ABEGDC，ACEF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有（）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】根据平行线的性质即两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等得到∠1的等角，由对顶角相等可得∠1的等角，利用等量代换也可得到∠1的等角，进而可得答案．【详解】解：∵，∴∠1＝∠BAC．∵，∴∠1＝∠ACD．∵，∴∠1＝∠FEH，∠FEH＝∠EFD．∴∠1＝∠EFD．∵对顶角相等，∴∠1＝∠GHC．∴与∠1相等的角有：∠BAC，∠ACD，∠FEH，∠EFD，∠GHC．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等．准确找出与∠1相等的同位角，内错角和对顶角是解题的关键．二、填空题8．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，ADBC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是___．【答案】3【分析】根据平行可得：与高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三角形之间的关系即可得．【详解】解：∵，∴与高相等，∴，又∵，∴，故答案为：3．【点睛】题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行线之间的距离相等是解题关键．9．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，AD∥BC，AC平分∠DAB，∠B=70°，则∠ACB=______度【答案】55【分析】先利用AD∥BC，可知∠B+∠BAD=180°，∠ACB=∠DAC，而∠B=70°，那么可求∠BAD，又AC是∠BAD的角平分线，于是可求∠DAC，即可求∠ACB．【详解】∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠ACB=∠DAC，又∵∠B=70°，∴∠BAD=110°，又∵AC是∠BAD的角平分线，∴∠BAC=∠DAC=55°，∴∠ACB=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义．关键是利用两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD．10．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=57°，则∠2的度数为__________．【答案】33°##33度【分析】由AB∥CD，∠1=57°，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得∠BDC的度数，又由AD⊥BD，即可求得答案．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠BDC=180°，∵∠1=57°，∴∠BDC=180°-∠1=123°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠2=∠BDC-∠ADB=33°．故答案为：33°．【点睛】此题考查了平行线的性质以及垂线的定义．注意掌握两直线平行，同旁内角互补的应用是解此题的关键．11．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于___度．【答案】70或110##110或70【分析】先根据平行线的性质，求得∠AFE的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠AFD的度数．【详解】解：如图，直线AB和DE相交于点F，∵BC∥DE，∠ABC=70°，∴∠AFE=∠ABC=70°，∠AFD=180°-∠AFE=110°，∴直线AB、DE的夹角是70°或110°．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．12．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线经过点且，，则__________度．【答案】60【分析】由，根据内错角相等，两直线平行，得，再根据两直线平行，同位角相等，得，从而可得到答案．【详解】解：，，，故答案为：60．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．13．（2023春·七年级单元测试）如图，，平分，，，则______________．【答案】##25度【分析】先根据平行线的性质得到的度数，，再根据角平分线的定义得到的度数，再结合垂直的定义得到的度数，根据平角的定义即可求解．【详解】解：∵，平分，，∴，∴．∵，∴．∴，∴．故答案为：##25度．【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，是中学阶段的常规题．14．（2023春·七年级单元测试）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度．【答案】135【分析】过点E作，根据题意得出，，，根据平行线的性质，得出，求出，最后根据平行线的性质求出即可．【详解】解：过点E作，如图所示：根据题意可知，，，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：135．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．15．（2023春·七年级单元测试）如图，，，则=___________．【答案】##70度【分析】根据平行线的性质得出，再根据角的和差关系即可求解．【详解】∵，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．16．（2023春·七年级单元测试）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、位置，的延长线与相交于点，若，则________．【答案】##度【分析】先根据平行线的性质得，，再根据折叠的性质得，则，所以．【详解】解：∵，∴，，∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，∴，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．17．（2023春·七年级单元测试）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．【答案】100【分析】过点作的平行线，由平行线的判定与性质即可求解．【详解】解：过点作，则，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线．18．（2023春·七年级单元测试）如图：，AD＝BC＝2CE，△DCE的面积为4，则四边形ABCD的面积为_____．【答案】16【分析】过D作DF⊥BC于F，根据△DCE的面积为4求出CE×DF＝8，求出四边形ABCD的面积，再代入求出答案即可．【详解】解：过D作DF⊥BC于F，∵△DCE的面积为4，∴，∴CE×DF＝8，∵，AD＝BC＝2CE，∴四边形ABCD的面积S＝＝×（2CE＋2CE）×DF＝2CE×DF＝2×8＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积和梯形的面积等知识点，能求出四边形ABCD的面积＝2CE×DF是解此题的关键．19．（2023春·七年级单元测试）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为_____°．【答案】50【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案为：50【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．20．（2023春·七年级单元测试）如图，，，且三角形的面积为9，则点到的距离是______．【答案】3【分析】先利用三角形ABC的面积，求出其BC边上的高AE=3，再利用平行线间距离处处相等，得到C到AD的距离为3．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E，∵△ABC的面积为9，BC=6，∴BC•AE=9，∴AE=3，过C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∴CF=AE=3，∴点C到AD的距离是3，故答案为3．【点睛】本题考查了三角形的面积，点到线段的距离的概念，利用平行间距离处处相等是解决本题的关键．三、解答题21．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，已知∠EDB+∠B=180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB的理由解：因为∠EDB+∠B=180°（

）所以∥（

）所以∠1=∠3

（

）因为=（已知）所以∠2=∠3

（等量代换）所以∥（

）所以∠FGB=∠CDB

（

）因为GF⊥AB（已知）所以∠FGB=90°（

）所以∠CDB=90°（

）所以CD⊥AB

（垂直的意义）【答案】已知；DE∥BC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2；FG∥CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的意义；等量代换【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【详解】解：因为∠EDB+∠B=180°（已知）所以DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）所以∠1=∠3

（两直线平行，内错角相等）因为=（已知）所以∠2=∠3

（等量代换）所以FG∥CD（同位角相等，两直线平行）所以∠FGB=∠CDB

（两直线平行，同位角相等）因为GF⊥AB（已知）所以∠FGB=90°（垂直的意义）所以∠CDB=90°（等量代换）所以CD⊥AB

（垂直的意义）【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．22．（2022春·上海·七年级上海市文来中学校考期中）如图：已知，，试说明的理由．【答案】过程见详解【分析】充分利用两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等，同位角相等两直线平行和内错相等两线直平行，即可得证．【详解】证明∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴AB//EF，∴∠3=∠5，∵∠3=∠B，∴∠5=∠B，∴DE//BC，∴∠7=∠C．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．23．（2022春·上海·七年级期末）填写理由或步骤如图，已知ADBE，∠A＝∠E因为ADBE．所以∠A+＝180°．因为∠A＝∠E（已知）所以+＝180°．所以DEAC．所以∠1＝．【答案】（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）【分析】由已知的AD与BE平行，得到一对同旁内角互补，然后根据已知的两角相等，等量代换得到另一对同旁内角互补，根据同旁内角互补，两直线平行推出DE与AC平行，然后再根据两直线平行，内错角相等即可得证．【详解】解：如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，因为AD//BE（已知）所以∠A+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠A＝∠E（已知）所以∠ABE+∠E＝180°（等量代换）所以DE//AC（同旁内角互补，两直线平行）所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）故答案为：（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）。【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．24．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知，如图，．求证：证明：如图，作延长线，过点作．因为（已作）所以（

）（

）因为（

）所以（

）．【答案】；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；平角的意义；等量代换．【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平角的意义得出，然后根据等量代换即可得证．【详解】证明：如图，作延长线，过点作因为（已作）所以（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，内错角相等）因为（平角的意义）所以（等量代换）即所求证的故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；平角的意义；等量代换．【点睛】本题考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．25．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB∥CD，∠ABE=120°，∠C=28°，求∠E的度数．【答案】∠E=88°．【分析】如图（见解析），过点E作，先根据平行线的性质求出和的度数，再根据角的和差求解即可．【详解】如图，过点E作．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差，通过作辅助线，利用到平行线的性质是解题关键．26．（2023春·七年级单元测试）如图：．求证：．（写出括号里面的理由）【答案】见解析【分析】通过DC∥OA，得到∠C=∠COA，进而得到∠COA=∠DOB，再通过AB∥OD得到∠B=∠DOB，等量代换得到．【详解】∵DC∥OA（已知），∴∠C=∠COA（两直线平行，内错角相等），∵∠COA=∠2+∠BOC，∵∠1=∠2（已知），∴∠COA=∠1+∠BOC（等量代换），∴∠COA=∠DOB（等量代换），∵AB∥OD（已知），∴∠B=∠DOB（两直线平行，内错角相等），∴∠B=∠C（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，熟记性质是解题的关键．27．（2023春·七年级单元测试）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°，请补充完成∠CGD＝∠CAB的推理过程．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．∴∠ADC＝∠EFC．【答案】见解析【分析】根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD＝∠CAB即可．【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°，∴∠ADC＝∠EFC，∴AD∥EF，∴∠3+∠2＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3，∴DG∥AB，∴∠CGD＝∠CAB．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．28．（2023春·七年级单元测试）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：过点C作FG∥AB因为FG∥AB，AB∥DE（已知）所以FG∥DE（）所以∠B＝∠（）∠CDE+∠DCF＝180°（）又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知）所以∠＝80°（等量代换）∠DCF＝40°（等式性质）

所以∠BCD＝．【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：过点C作FG∥AB，因为FG∥AB，AB∥DE，（已知）所以FG∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等）∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知）所以∠BCF＝80°，（等量代换）∠DCF＝40°，（等式性质）所以∠BCD＝40°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．【点睛】本题利用了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2023春·七年级单元测试）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．（2022春·上海·七年级专题练习）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是（）①互为邻补角的两个角的平分线；②互为对顶角的两个角的平分线；③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据平行线的性质，线段垂直定义、对顶角定义分别进行分析即可．【详解】解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故①正确；②互为对顶角的两个角的平分线在同一直线上，故②不正确；③若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故③正确；④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行，故④不正确．一定能得到结论为“互相垂直”的个数有2个．故选：C．【点睛】此题主要考查了垂线、对顶角、邻补角的性质，关键是掌握握垂线定义．二、填空题3．（2023春·七年级单元测试）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是__．【答案】20°、20°或55°、125°【分析】根据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小．【详解】解：∵两个角的两边互相平行，∴这两个角相等或互补，设一个角为x°，则另一个角为（3x﹣40）°，当这两个角相等时，则有x＝3x﹣40，解得x＝20，此时这两个角分别为20°、20°；当这两个角互补时，则有x+3x﹣40＝180，解得x＝55，此时这两个角为55°、125°；故答案为：20°、20°或55°、125°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两个角的两边互相平行则这两个角相等或互补是解题的关键．4．（2023春·七年级单元测试）如图，，则、、之间的数量关系是_______．【答案】【分析】过点、点分别作，，借助平行线的性质定理可求解．【详解】如图，过点、点分别作，，则：，，，∵，∴，∴∵，∴，即：，∴，即：．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质定理，解题关键是添加辅助线转化角度进行求解．5．（2023春·七年级单元测试）沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启______秒时，两灯的光束互相垂直．【答案】或或【分析】设开启秒后，两灯的光束互相垂直，分，时，灯光返回，第一次与垂直和时，灯光返回，第二次与垂直，三种情况讨论求解即可．【详解】解：灯P照射一次，需要秒，灯Q照射一次，需要秒，设开启秒后，两灯的光束互相垂直；①当时，两灯光垂直于点，过作，如图，∵，∴，∴，，∴，解得：；②当时，灯光返回，第一次与垂直，过作，如图，∵，∴，∴，，∴，解得：；③当时，灯光返回，第二次与垂直，过作，如图，∵，∴，∴，，∴，解得：；综上：开启秒或秒或秒时，两灯的光束互相垂直．【点睛】本题考查平行线的判定和性质的应用．通过添加辅助线，构造平行线，利用平行线的性质，进行求解，是解题的关键．注意分类讨论．6．（2023春·七年级单元测试）如图，若ABCDEF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是_____．【答案】∠x+∠z＝∠y【分析】依据AB∥CD∥EF可得出∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，进而得到∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，据此可得∠x+∠z＝∠y．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，∴∠x+∠z＝∠y．故答案为：∠x+∠z＝∠y．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．7．（2022春·七年级单元测试）如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2=____________．【答案】72°##72度【分析】先根据平行线的判定定理得到ab，然后再利用平行线的性质即可解答．【详解】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°，∴∠3+∠4＝180°，∴ab，∴∠2＝∠1＝72°．故答案为：72°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8．（2022春·上海·七年级专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为_____．【答案】30或120【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【详解】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DEBC时，延长AC交MN于点P，①DE在MN上方时，∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴APDF，∴∠FDM＝∠MPA，∵MNGH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DEBC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴APDF，∴∠FDP＝∠MPA，∵MNGH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），（2）当BCDF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DFBC，AC⊥BC，∴AIDF，∴∠FDN+∠MIA＝90°，∵MNGH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，∵DFBC，AC⊥BC，DE⊥DF，∴ACDE，∴∠AIM＝∠MDE，∵MNGH，∴∠MIA＝∠HAC，∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合题意，舍去），综上，所有满足条件的t的值为30或120．故答案为：30或120．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论．9．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．【答案】

【分析】过点P1、作直线MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行线的性质可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后过点P2作直线GH∥AB，同理可得，以此类推：，，，，即可求解．【详解】解：如图，过点P1、作直线MN∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；过点P2作直线GH∥AB，∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴，，同理：，以此类推：，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律是解题的关键．三、解答题10．（2023春·七年级单元测试）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由．解：∵AB∥E（已知）∴∠+∠＝．∵CB平分∠ABF（已知）∴∠1＝∠ABF同理，∠4＝∠BEF∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝．又∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2同理，∠3＝∠4∴∠1+∠4＝∠2+∠3∴∠2+∠3＝90°（等量代换）即∠BCF＝90°∴BC⊥CF．【答案】ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义．【分析】根据平行线的性质得到∠ABF+∠BFE=180°．由角平分线的定义得到∠1=∠ABF，∠4=∠BEF，根据平行线的性质得到∠1=∠2，同理，∠3=∠4，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】解：∵AB∥EF（已知）∴∠ABF+∠BFE＝180°．∵CB平分∠ABF（已知）∴∠1＝∠ABF同理，∠4＝∠BEF∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝90°．又∵AB∥CD（已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），同理，∠3＝∠4∴∠1+∠4＝∠2+∠3（等式的性质），∴∠2+∠3＝90°（等量代换）即∠BCF＝90°∴BC⊥CF（垂直的定义）．故答案为：ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握各性质定理是解题的关键．11．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，，．求证：．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠BAE，进而得出∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF，即∠BAE＝∠CAD，进而得出，即可得出AD∥BE．【详解】证明：∵，∴（两直线平行，同位角相等）．∵，∴，∴（等量代换）．∵，∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质．12．（2023春·七年级单元测试）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为点G，点D，点C分别落在点M，点N的位置上，若，求和的度数．【答案】，．【分析】首先根据折叠的性质和平行线的性质求的度数，然后根据平角的定义求出的度数，最后根据平行线的性质求出的度数．【详解】解：∵四边形延折叠得到四边形，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．综上，．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图．13．（2023春·七年级单元测试）（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现请把下面的证明过程补充完整：证明：过点作，∴（______）．∵（已知），．∴（______）．∴．∵（______）．∴．（等量代换）．（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）见解析（3）见解析【分析】（1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点作，过作，过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】（1）证明：过点作，∴（_两直线平行，内错角相等_____）．∵（已知），．∴（__平行于同一条直线的两条直线互相平行____）．∴．∵（______）．∴．（等量代换）（2）证明：∵过做∴∵∴∴∴∴∵∴(3)解：理由如下：过点作，过作，过作∴，，，∴，，∴，，，∴【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．14．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）(1)求∠CBD的度数．(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．【答案】(1)60°(2)不变，∠APB：∠ADB＝2：1(3)∠ABC＝30°【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．(1)∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；(2)不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；(3)∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，∴∠ABC+∠DBN＝60°，∴∠ABC＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行④a∥b，b∥c⇒a∥c．15．（2022春·上海·七年级专题练习）问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．问题初探(1)如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为______，∠EMC的度数为______．类比再探(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．【答案】(1)30°，60°(2)∠EMC+∠CAF＝90°，理由见解析(3)∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由见解析【分析】（1）根据直角三角板中的两个锐角互余即可求解；（2）过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，根据平行线的性质可得∠EMC＝∠HCM，进而根据∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB即可求解；（3）过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，根据平行线的性质可得∠BMD＝∠KBM，进而根据∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC即可求解．（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案为：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：证明：如图，过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：证明：如图，过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．【点睛】本题考查了直角三角板中角度计算，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．16．（2023春·七年级单元测试）探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝度．(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】【答案】(1)360°(2)540(3)【分析】（1）过作//直线，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）过作//直线，//直线，则AC//BD//直线，根据平行线的性质即可得到结论；（3）根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）解：过A作AB//直线，则AB//直线，，；（2）解：过作AC//直线，BD//直线，则AC//BD//直线，，，故答案为：540；（3）解：由（1），（2）知，当形成个折时，所有角与、的总和，当形成个折时，所有角与、的总和，当形成个折时，所有角与、的总和，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．（2022春·上海杨浦·七年级校考期中）已知：直线分别