高三人教A版数学一轮复习练习第二章函数导数及其应用第14节（理）

第二章第14节（理）[基础训练组]1．(导学号14577245)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤1，,1，1＜x≤2，))则定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx等于()A.eq\f(8,3) B．2C.eq\f(4,3) D.eq\f(1,3)解析：C[eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)x2dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)1dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋x|eq\o\al(2,1)＝eq\f(4,3)，故选C.]2．(导学号14577246)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)f(－x)dx的值等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,6)解析：A[f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，得m＝2，a＝1，所以f(x)＝x2＋x，所以f(－x)＝x2－x，所以eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)f(－x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(x2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))|eq\o\al(2,1)＝eq\f(5,6)，故选A.]3．(导学号14577247)如果1N的力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6A．0.18J B．0.26JC．0.12J D．0.28J解析：A[由物理知识F＝kx知，1＝0.01k，∴k＝100N/m，则W＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0.06,0)100xdx＝50x2|eq\o\al(0.06,0)＝0.18(J)．故选A.]4．(导学号14577248)如图，由函数f(x)＝ex－e的图象，直线x＝2及x轴所围成的阴影部分面积等于()A．e2－2e－1 B．e2－2eC.eq\f(e2－e,2) D．e2－2e＋1解析：B[由已知得S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)f(x)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)(ex－e)dx＝(ex－ex)|eq\o\al(2,1)＝(e2－2e)－(e－e)＝e2－2e.故选B.]5．(导学号14577249)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)＝5－t＋eq\f(55,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是()A．55ln10m B．55lnC．(12＋55ln7)m D．(12＋55ln6)m解析：B[令5－t＋eq\f(55,1＋t)＝0，注意到t>0，得t＝10，即经过的时间为10s；行驶的距离s＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(10,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－t＋\f(55,t＋1)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5t－\f(1,2)t2＋55lnt＋1))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))eq\o\al(10,0)＝55ln11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m．]6．(导学号14577250)(2018·临汾市质检)若m>1，则f(m)＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(m,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))dx的最小值为________.解析：f(m)＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(m,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,))eq\o\al(m,1)＝m＋eq\f(4,m)－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．答案：－17．(导学号14577251)在同一坐标系中作出曲线xy＝1和直线y＝x以及直线y＝3的图象如图所示，曲线xy＝1与直线y＝x和y＝3所围成的平面图形的面积为________.答案：4－ln38．(导学号14577252)(2018·柳州市、钦州市一模)已知a＝eq\f(1,π)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,－2)eq\r(4－x2)dx，则在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(a,\r(x))))10的展开式中，所有项的系数和为____________.解析：a＝eq\f(1,π)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,－2)eq\r(4－x2)dx＝eq\f(1,π)·eq\f(1,2)π·4＝2，令x＝1，可得在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(a,\r(x))))10的展开式中，所有项的系数和为310.答案：3109．(导学号14577253)求下列定积分．(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2＋\f(1,x)))dx;(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－π)(cosx＋ex)dx.解：(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2＋\f(1,x)))dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)xdx－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)x2dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,1)eq\f(1,x)dx＝eq\f(x2,2)|eq\o\al(2,1)－eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＋lnx|eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－eq\f(7,3)＋ln2＝ln2－eq\f(5,6).(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－π)(cosx＋ex)dx＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－π)cosxdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(0,－π)exdx＝sinx|eq\o\al(0,－π)＋ex|eq\o\al(0,－π)＝1－eq\f(1,eπ).10．(导学号14577254)已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．解：∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝2x))可得交点A(2,4)．∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(2x－x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,3)x3))|eq\o\al(2,0)＝4－eq\f(8,3)＝eq\f(4,3).[能力提升组]11．(导学号14577255)(2018·泸州市二诊)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x3(x＞0)和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)12．(导学号14577256)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：A[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝t2，,x＞0，))得x＝t.故S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(t,0)(t2－x2)dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,t)(x2－t2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2x－\f(1,3)x3))|eq\o\al(t,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－t2x))|eq\o\al(1,t)＝eq\f(4,3)t3－t2＋eq\f(1,3)，令S′＝4t2－2t＝0，因为0＜t＜1，所以t＝eq\f(1,2)，易知当t＝eq\f(1,2)时，Smin＝eq\f(1,4).故选A.]13．(导学号14577257)函数y＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(x,0)(sint＋costsint)dt的最大值是________.解析：y＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(x,0)(sint＋costsint)dt＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(x,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint＋\f(1,2)sin2t))dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cost－\f(1,4)cos2t))|eq\o\al(x,0)＝－cosx－eq\f(1,4)cos2x＋eq\f(5,4)＝－cosx－eq\f(1,4)(2cos2x－1)＋eq\f(5,4)＝－eq\f(1,2)cos2x－cosx＋eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)(cosx＋1)2＋2≤2，当cosx＝－1时取等号．答案：214．(导学号14577258)如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝eq\r(4x－8)的切线l.(1)求切线l的方程；(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝eq\r(4x－8)所围成的封闭图形的面积S.解：(1)由f(x)＝eq\r(4x－8)，∴f′(x)＝eq\f(1,\r(x－2))