人教B版新课标高中数学第四册电子课本教材

目录

第H-一章立体几何初步53

11.I空间几何体55

11.1.1空间几何体与斜二测画法55

11.1.2构成空间几何体的基本元素60

11.1.3多面体与棱柱66

第九重解三角形I

11.1.4梭傩与梭台72

9.1正弦定理与余弦定理311.K5旋转体77

9.1-1正弦定理311.1.6祖瞄原理与几何体的体积83

9.1.2余弦定理8112平面的基本事实与推论92

9.2正弦定理与余弦定理的应用1311.3空间中的平行关系97

9.3数学探究活动：11.3.1平行直线与异面直线97

得到不可达两点之间的距离1711.3.2直线与平面平行101

本章小结1911.3.3平面与平面平行105

11.4空间中的垂直关系112

11.4.1直线与平面垂直112

第十章领数23

11.4.2平面与平面垂直118

10.1夏数及其几何意义25本章小结126

10.1.1复数的概念25

10.1.2复数的几何意义29

10.2宜数的运算33

10.2.1复数的加法与减法33

10.2.2复数的乘法与除法36

本书拓展阅读目录

10.3复数的三角形式及其运算43

本章小结50秦九部的“三斜求视术”/II

利川复数产生分形图/40

四元数简介/47

我国古代数学中球的体枳公式/87

H求目录

本章导语

我们在初中学过解克加

三角形的有关知识：在直角

三角形中.除直角外共有5

个无末.叩3条边和2个就

向.由直.角三角形中的已知

元素.求出其余未知元素的

过程.就是解亢病三角形.

不过，因为不是所有的

三角形都是五角三南形.所

以如果■仅仅会解克角三南形.

那么解决一般三角形问题可

他就会非常麻烦.

例如.如图1所示.台

图I

风的破坏力非常大.实际生

活中.了解与预测台风影响的时间具有重要的芯义.

如图2所示.在某海浜城市八附近的海面出现台风

活动•据监测.目前台风中心位于城市人的东偏南60°

方向、距城市A300km的海面点尸处.并以20km/h

的速度向西儡北30°方向移动.已知该台风劭响的范围

是以台风中心为圆心的圆形区域，半拦为1004km.

加何求得城市.4受到台风影响的时间？

类:似上述的问题.利用基拿我们要学习的解一般三角形的知识就

可以方便地解决.

在初中我•（门已经学过怎样得到不可达两点之间的距离，利用本幸

第九章的内容可以解决更加梵杂的问题.

解三角形

9.1正弦定理与余弦定理

本章导语

我们在初中学过解五角

三角形的有关知识：在直角

三角形中.除直角外共有5iE弘i定珥!

个元素.即3条边和2个锐.

用.由JL角三角形中的已知

元京.求出其■余未知元京的

情境与问题

过程.就是解五南三南形.

不过.因为不是所有的在现代生活中.得益于科技的发展•距离的测量能

借助红外涮距仪、激先测距仪等工具直接完成.不过.

三角形都是直角三角形.所

以*来仅仅会解直角三角形.在这些工具没有出现以前r・你知道人们是怎样间按荻得

那么解决一版三用形问题可两点间距离的吗？

能就会祚常麻场.如四9-1-1所示.若想知道河对岸的一点八与岸边

一点之间的距离.而且已经测量出了的长，也想

例如.如图1所示.台3/3C

图1

风的破坏力非常大.实陆生办法得到了N八BC与Z.ACB的大小，你能借助这3

活中.了解与预测台风影响的时间具有重要妁意义.个羹.求出AB的长吗？

如图2所示,在某海浜城市A附近的海面出现台风

活动.据监涮.目前台风中心位于城市八的东偏南60°为了方便起见.本书中，将△入3c3个内用A.B.C所对的边分别记

方向、距城.市A300km的海面点尸处.并以20km/h为a.b.c,在这样的约定下.情境中的问题可以转化为：已知a・B.

的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风海响的范围C.如何求c?类似的同题可以通过构造直角三角形来解决.更一般地.可

利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解.

是以台风中心为圆心的圃形区地,半拦为10073km.

如何求•得城市4受到台风影响眄时间？

类似上述的问题•利用本拿我们臭学习的解一般三角形的知识就

可以方便地解决.

在初中我们已经学过怎样得到不可达两.热之间的距离.利用率幸

的内容可以斛决更加梵奈的问题.

如图9-1-2所示.在△?1«（、中.过点人作BC边上的高AD.在

RtZ\AJDC中.山正弦的定义可知

AD—AsinC.

9.1正弦定理与余弦定好3

因此所求三角形的面积为CQ巳知△ABC中•a―2•上・A-30°・求价这个三角影.8

A

O因为“A=n,所以

sun人>%in13

可以看出.上述求三角形面枳的方法在c为锐..426X】ps

...6smA2v3

sanB«—，----------x----------$.

角时都成3:间当c为钝角时。如图9-1-3所示.a22

仍设△ABC的I3C边上的高为AD.则可知由于0・VBVl«0：所以H-ll或B=O

AO一btiin^y\CD—4>xin(n-C)=fl.当B-60•时.忖

因此仍右S=：4〃sinC，当C为直角时・由C—180--A-B-180*—30,—60'-90*.

此时△ARC足直角三角形.且r为斜边.从Iftj有

sin900=1可知上述面积公式仍成立.

<4-(273)2i,

一般地.若记4A正•的面积为S・则

当H―120•时.有

S—^u6sinC—2acs*n--2s*n人

C=180'—A—B=180*—30*—120*=30*.

.w—ri2SsinCsinBsinA__此时AAHC是等M?三角形.从而由等角对等边可知

由此可知-7—=--------=―;—=---------，又因为sinA>0,sinli>0.

abecbar・a-2.

sinC7>0.因此可得极事例2的解答可知.图A1-4中的调足例2的条件.事实

abc上.这与我们初中所学的SSA不施作为三珀形全等的利定定理一致.

而ZWL而七•

这就是正弦定理：在一个三角形中.各边的长和它所对角的正弦的比

相等.

已知△ABC中,B—75°・C-60°•。=10.求<•.

£3由巳知可得

A=180°—B—C=180*—75*—600=45*.

由正弦定理可知一"云=一^・所以一m巳知△vABC中・b=36,CH6・8=120:求A・C及三角形的

sinAsinC国矶

_asinC_lOsin600___

C-sinAsin45"一

利用例1的解法即可求解出前述情境中的问题.而且.例】也可通过构

造宜角•二角形求解.请读者自行尝试.并总结两种解法各自的优缺点.与:■孝

b3V62

另外.由例】可知.在一个三角形中.如果巳知两个角耳一条边.就可以

!l：'<IS-.所以或

求出这个三角形的另外一个角・然后由正弦定理可求出该Tf自形其他的两条边.

*JC—45*84.

因此.确定r•个三角形的两个角与一条边之后.这个三角形就唯一确定「.事

A-180e—B-C-W-120*-45*-15*.

实上。这与我们初中所学的三角形全等的判定定理AAS(或ASA)致.

习惯上，我们把T角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.巳知三

•*»nI：>=«*»n<60-45)=fX-=-----彳X丁=---z-------•

角形的若干元索求其他元案一般称为解三角形.CLCi4

CD即求角胫中*M的元株・FH.

4第九点的.角形«.I正镇定JV4余秋定JY5

所以三角形的面枳为探索与研究，

y1,.A'.仄〜…收一通27-973

S=2*csm^=2X376X6X-j-=-g-.

在正技定班中,没，,：A—4研究常薮"与△八BC外接回的半

当C=135°时.

径的关系.(提示：先考虑直角三角形.)

A=1800—B—C-180**—120*—135°——75°,

不合题意，应舍去.

例3中的C=135°不可能成立.也可从〃>c.B=120°以及“大边对大