等腰三角形中的动态问题（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题05等腰三角形中的动态问题

O等腰三角形存在性

❷等腰中的全等三角形

规律性探讨

【典例解析】

【例1-1］（2020.安徽省泗县月考）如图，NAO8=120。，OP平分NAo8,且。P=1.若点例，N分别在

OA,OBh,且APMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）

C3个D.无数个

【答案】D

【解析】解：如图，在。4、OB上分别截取OE=OP,OF=OP,作∕MPN=6（Γ.

•：OP平分/A08,

，/EOP=N尸。尸=60°,

,/OP=OE=OF,

：AOPE,△OPF是等边三角形，

二EP=OP,NEPgNOEP=NPON=NMPN=60。,

：.NEPM=NoPN,

:APEM*APON

：.PM=PN,

∖∙NMPN=60°,

，ZXPNM是等边三角形，

只要NMPN=60。，APMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个.

故答案为：D.

【例1-2】(2020.贵州六盘水期末)如图，在，ABC中，AB=AC=3,NB=NC=5()，点D在边BC

上运动(点。不与点3,C重合)，连接A。，作NADE=5()，OE交边AC于点E.

(1)当ZBoA=IoO时，ZEDC=,ZDEC=

(2)当。C等于多少时，^ABD^4DCE,请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，Az)E的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出NBZM的度数；若不可

以，请说明理由.

【答案】(1)30,100；(2)(3)见解析.

【解析】解：(1)在ABAD中，

；NB=50。,/804=100。，

NEOC=30°,ZDEC=IOO0.

(2)当C£>=3时，XABD迫ADCE,理由如下：

'：AB=CD=?,,NB=50。，ZADE=50o

LNB=NADE

'：ZADB+NADE+ZEDC=180o,ZDEC+ZC+ZEDC=180°

二ZADB=ZDEC

又ZB=NC

.∖∕∖ABD^∕∖DCE

(3)可以，理由如下：

•；ZB=ZC=50o,

.,.ZBACSO0

①当AD=DE时，NzME=NOE4=65。，

.*.NBAD=/54C-NOAE=15。

.∙.N8OA=II5°

②当AD=AE时，NAED=ZADE=50o

：.ZDAE=180o-ZAED-ZADE=SOo

又：ZBAC=SOo

：.ZDAE=ZBAE

点。与点B重合，不合题意.

③当AE=DE时，ZDAE=ZADE=50o

：./BAgNBAC-∕OAE=30°

.,.ZfiDA=IOOo.

综上所述，当/5Q4的度数为115。或100。时，△/!£>£是等腰三角形.

【变式1-1］（2019•霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2,2）,若点尸在X轴或y轴上，且AAP。是等腰三角

形，这样的点P共有（）个

A.6B.7C.8D.9

【答案】C.

【解析】解：分两种情况进行讨论，

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当OA是腰时，以点。为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧,

和坐标轴出现2个交点；

满足条件的点P共有8个，

故答案为：C.

【变式1-2](2020.山西初二月考)综合与探究：

在AABC中，A3=AC=BC=3cm.点P从点A出发以ICnVS的速度沿线段AB向点B运动.

S时，APBC是直角三角形.

(2)如图2,若另一动点。从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P,Q都以ICmzS的速度同时

出发，设运动时间为f(s),求当f为何值时，APBQ是直角三角形.

(3)如图3,若另一动点。从点C出发，沿射线BC方向运动，连接P。交AC点。，且动点P,Q都以

1cm/s的速度同时出发.

①设运动时间为f(s),那么当，为何值时，AOCQ是等腰三角形？

②如图4,连接PC.请你猜想：在点P,Q的运动过程中，ΔPC。和AQCO的面积之间的数量关系为

3

【答案】(1)一；(2)(3)见解析.

2

【解析】解：(1)当△P8C是直角三角形时，则/8PC=90。,

VZβ=60o,

3

,BP=AP=-Ctn,

2

二，

2

3

故答案为：不；

2

(2)①当NBPQ=90°时，BP=BQ,

即3√=-r,解得：t=2

2

②当NBQP=90。时，BP=2BQ,

即3√=2f,解得：Z=I

故当片1或2s时，APBQ是直角三角形;

(3)φVZDCβ=120°

・・・当AOCQ是等腰三角形，CD=CQf

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30o

∙/NA=60。

，ZAPD=90o

：.AD=IAP

3√=2∕,解得：Z=I

②PCD=SxQCDy

过点产作PELAC于E,过点。作QG_LAC于点G,

JZCGQ=ZAEP=90o

∖,AB=AC=BC

：.ZA=ZACB=ZQCG=60o

Λ∆EΛP^∆GCρ

：.PE=QG

・・・APCD与^QCD同底等高

=

故SΔPCbS△QCD-

【例2】(2020•江苏江阴月考)如图，在AABC中，AB=AC=∖0cm;3C=6cm,点。为48的中点.

(1)如果点P在线段BC上以lo%∕s的速度由点8向点。运动，同时，点。在线段CA上由点C向点A运

动.

①若点Q的运动速度与点尸的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与ACQP是否全等,请说明理由；

②若点。的运动速度与点P的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使48P拉与ACQP全

等？

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿^ABC三边运

动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在AABC的那一条边上相遇.

【答案】(1)①△BPO与△CQ尸全等，②点。的运动速度是ICm∕s.(2)经过30秒后点P与点。第一次

在AABC的边BC匕相遇.

【解析】解：(1)①4BPD与4CQP全等,

；点P的运动速度是ICmIS,点、Q的运动速度是∖cm∕s,

，运动1秒时，BP=CQ=Icm,

*/BG=6cm,

：・CP=5cmf

VAB=IO,D为AB的中点,

.*.BD=5,

：,BD=CPf

*：AB=AC,

：.ZB=ZC1

.∖∕∖BPD^∕∖CQP.

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ,

若ABPD看△CQP全等,只能BP=CP=3a”，BD=CQ=5cm,

此时，点P运动3cm,需3秒，而点。运动5cm,

，点Q的运动速度是gcm∕s∙

(2)设经过f秒时，P、Q第一次相遇，

TP的速度是1厘米/秒，。的速度是g厘米/秒，

5

•∙10÷10+Γ=—1

39

解得：r=30,

此时点Q的路程=3Oχg=5O（厘米），

V50<2×26,

・•・此时点。在BC上，

・・・经过30秒后点P与点Q第一次在^ABC的边BC上相遇.

【例3・1】（2019•武汉市期中）如图,已知：NMCW=30。，点4、A2、A3、…在射线ON上，点9、&、B3....

在射线OM上，△AlSlA2、△A2B2A3>ΔA383A4、…均为等边三角形，若OA1=I，则4在坳小。的边长为（）

【答案】。

【解析】解：如图,

N

••,△43N2是等边三角形，

o

ΛΛ∣Bι=A2β∣,Z3=Z4=Z12=60,

ΛZ2=I20o,

・.•NMoN=30。，

ΛZl=l80o-120o-30o=30o,

XVZ3=60o,

ΛZ5=180o-60o-30o=90o,

VZMO∕V=Zl=30o,

.*.OAι=A]B↑=∖,

.AaBi=I>

V∆Λ2B2A3ʌ△A3B3Λ4是等边三角形,

ΛZlI=Z10=60o,Z13=60°,

•：Z4=Z12=60°,

.∖A↑B↑∕/A2B2//B↑A2∕∕B2Λ3f

ΛZl=Z6=Z7=30o,Z5=Z8=90o,

ΛA2B2=2B∣A2,θ3A3=2B2A3,

∙*∙A383=48l/12=4,

A4B4=8B1A2=8,

A5B5=16B1A2=16,

Λ,

AAi+］的边长为2∙,

JAA9B9Ai0的边长为29/=28=256.

故答案为D

【例3-2】（2020•浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1,周长记为P的正三角形纸板，沿图①的底边

剪去一块边长为!的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其

边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的!）后，得图③、④，…，记第〃（n≥3）块纸板的周长为P“，则

2

P"-P"-ι等于…（）

【答案】A

【解析】解：P∣=l+1+1=3,

,15

P2—1+H—=—>

22

,,111

P3=1+1+-X3=-,

44

1123

P4=l+l+-×2+-×3=一，

488

11511

・・尸3一尸2=一--------

42422

23Illl

P4-P3=^8^^48^2y

1

-,.Pn-P1=—7

ll2n^'

故答案为：A.

【变式3-1］（2020.山东牡丹期末）如图，已知NMON=30。，点A，A2,4,在射线ON上，点用，

B2,B3,在射线OM上，A4,5∕2,AA2&B,,Δ4与以，均为等边三角形.若。4=1,则M为Bg

的边长为（）

A.64B.128C.132D.256

【答案】B

【解析】解:∙.∙AA出山2是等边三角形,

,

..A↑Bt=A↑B2,ZA∣B∣B2=ZA∣B2O=6O°

VNo=30。

/A2A由2=90°

二/。=NoAlBI=30°

.∙.OB∖=A∖B∖=A∖B->=∖

n

同理可得：A）BJ=4,A4B4=8,A,,Bn=2-'

/.AA8BsB9的边长为2-128.

故答案为：B.

【变式3-2］（2019•贵州印江月考）如图,已知AB=AB,Ag=AtA2,Λ282=∙A2B,,ΛsB,=A1B4

若NA=70。，则N4τ4纥T的度数为（）

B

【答案】c

【解析】解：；AB=A1B,ZA=70°

，N4A∣8=NA=70°

•；

ΛlBl=AtA2

∙"∙NAlA28∣=NAlβ∣A2

∙.∙ZΛ4∣B=ZΛ∣A2B∣+ZA∣BIA2

170°

•.ΛA∖AiB∖=一z≤AA1B=-----=35°

22

170°

同理可得：/A2A3&=-∕LA∖A2B∖———=17.5°

22

170。CC

ZAAB=-ZAAjB==8.75°

34323223

70°

∙∙∙4A纥T=券

故答案为C.

【习题精练】

1.（2020•山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，NAoX=40。，点尸在X轴上，若△POA

是等腰三角形，则满足条件的点尸共有个.

【答案】4.

【解析】解：WOA=OP,AO=AP,尸O=∕¾三种情况:

①以。为圆心，OA长为半径画弧，于X轴有2个交点尸2、P”

②以A为圆心，OA长为半径画弧，与X轴有2个交点。、Pi,

点。与OA不能构成三角形，P符合条件，

③作线段OA的垂直平分线，交X轴有1个交点尸4,

P4A=P4O,

综上所述：符合条件的点共有4个，

故答案为：4

2.（2019•浙江宁波模考）如图，NAOB=I0。，点尸在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交。4于

点6（点尸I与点。不重合），连接PR;再以点耳为圆心，OP为半径画弧，交OB于点鸟（点鸟与点P

不重合）,连接46；再以点鸟为圆心，OP为半径画弧,交OA于点A（点鸟与点<不重合）,连接P£；……

按照上面的要求一直画下去，得到点心，若之后就不能再画出符合要求点E用了，则〃=.

【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角NAOB=I0。；

由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20。，第三个等腰三角形的底角30。，同理可得第"个

等腰三角形的底角度数为IOn,

因为等腰三角形的底角小于90。，1O∕7<9O,即“<9.

故答案为8.

3.（2020.河北保定一模）如图，ZAOB=K）。，点P在08上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交于

点4（点6与点。不重合），连接PG再以点6为圆心，OP为半径画弧，交。B于点鸟（点鸟与点P

不重合）,连接片鸟；再以点8为圆心，OP为半径画弧,交Q4于点居（点鸟与点Pl不重合）,连接66；

按照上面的要求一直画下去，就会得到QP=Pl==£鸟，则

(1)ZP2P3P4=

（2）与线段OP长度相等的线段一共有条（不含OP）

【答案】100,9.

【解析】解：（1）山题意可知，PO=AP,H=叫…,

则NPOe=N。6尸，ZPiPP2=^PtP2P,

∙.∙NAoB=I0。，

oo

ΛZPiPB=20°,ZP2PiA=3,0,ZP3P1B=40,NAAA=50。，ZP5P4B=60°,...,

oooo

：.ZP2P^P4=180-40-40=100,

故答案为：100；

（2）根据题意，10"<90,解得〃<9.

为整数，故”=8.

VZP5PiB=60°,PFLPF6,

.∙.△匕鸟”为等边三角形，

•∙.与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP）,

故答案为：9.

4.（2020.福建连城期中）如图，在A4BC中，NC=90°,AC=5C=4cm,点Z）是斜边AB的中点.点

E从点5出发以Iem/s的速度向点C运动，点/同时从点。出发以一定的速度沿射线C4方向运动，规定

当点E到终点C时停止运动.设运动的时间为X秒，连接。E、DF.

(2)当x=l且点产运动的速度也是ICm/s时，求证：DE=DF;

(3)若动点/以3cm/s的速度沿射线C4方向运动，在点E、点/运动过程中，如果存在某个时间x,

使得ΔADF的面积是ABDE面积的两倍，请你求出时间X的值.

4

【答案】(I)8；(2)见解析；(3)M或4.

【解析】解：(I)∖∙S^ΛBC=-×AC×BC

2

∙*∙sʌABC—-×4×4=8

2

故答案为：8

XVNACB=90。

・•・ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45o

：.CD=BD

依题意得：BE=CF

BE=CF

在ACD尸与ABDE中，(∕3=NOCA

BD=CD

,ACD%ABDE(SAS)

.'.DE=DF

(3)过点。作£)MJ_BC丁点Λ/,DNLAC于点、N,

'：AD=BD,NA=N8=45°,NAND=NOM8=90°

：.AADN妾∕∖BDM(AAS)

JDN=DM

当SAA"F=2SABnE-

11

二-×AF×DN^2×-×BE×DM

22

.*.∣4-3A∙∣=2X

4

..x∣=4,Xi=—

5

4

综上所述：X=M或4.

5.(2020.广东佛山月考)如图，在等边ΔABC中，AB=AC=JBC=Io厘米，DC=4厘米，如果点M以

3厘米/的速度运动.

（1）如果点M在线段CB上由点。向点3运动.点N在线段84上由8点向A点运动，它们同时出发,

若点N的运动速度与点M的运动速度相等：

①经过2秒后，ABMN和ACOM是否全等？请说明理由.

②当两点的运动时间为多少秒时，ABMN刚好是一个直角三角形？

（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点8出发，点M以原来的运动速度从点C同

时出发，都顺时针沿ΔA8C三边运动，经过25秒时点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是

__________厘米/秒.（直接写出答案）

【答案】见解析.

【解析】解：（1）①△BMNQACDM.

理由如下：N、M速度相等，片2

：.CM=BN=6,BM=4

：.BN=CM

'：CD=4

.'.BM=CD

'：ZB=ZC=60o

：ABMNdCDM

②设运动时间为/秒，△BMN是直角三角形有两种情况：

当∕MWB=90。时，

NBNM=3Q°,BN=IBM

：.3t=2（10-3f）

解得：t=2^0-

当N8MW=90°时，同理，BM=IBN,

即10-3r=2×3z,解得：t=-

9

二当U型或12秒时，ABMN是直角三角形；

99

（2）分两种情况，

①若点M运动速度快，则3x25-10=25YN,解得½V=2.6;

②若点N运动速度快，则3x25+20=25Kv,解得Pv=3.8.

6.（2018・湖北广水期中）（阅读）

如图1,等边AABC中，P是AC边上一点，。是CB延长线上一点，若AP=BQ.则过P作PF〃8C交AB

于尸，可证AAPF是等边三角形，再证APQF丝。QB可得。是FB的中点.请写出证明过程.

（运用）

如图2,AABC是边长为6的等边三角形，尸是AC边上一动点，由A向C运动（与A,C不重合），Q是

CB延长线上一动点，与点尸同时以相同的速度由8向CB延长线方向运动（。不与B重合），过P作PELAB

于E,连接PQ交A8于D

（1）当/8。。=30。时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段EO的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段EO的长；如果发生改变，请说

明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：【阅读】

「△ABC是等边三角形，

.∙.ZABC=ZΛCB=60o,

∖"PF//BC,

.∙.ZAFP=NAPF=NABC=NACB=60°,

：.AP=PF,

∖'AP=BQ,

：.PF=BQ,

'：PF//BQ,

,NFPD=ZDQB,ZPFD=ZQBD,

.♦.△PFDWAQBD；

JDF=DB.

【运用】（1）

∙.∙∕∖A8C是边长为6的等边三角形，

・・・NAe8=60。，

VZBeD=30o,

ΛZβPC=90o,

设AP=X9则PC=6-x9QB=X9

：.QC=QB+BC=6+xt

;在放AQCP中，NBQD=30。，

.*.PC=-QCf即6-X=L(6+x),解得x=2,

22

：.AP=2；

(2)过。作QGLA&交直线A3于点G,连接。E,PG,

又TPiLLAB于E,

・・・NPGQ=NAEP=90。，

・・•点P、。速度相同，

：.AP=BQ1

・・・Z∖A8C是等边三角形，

JZA=ZABC=ZGBQ=60°1

在aAPE和ABQG中，

YZAEP=ZBGβ=90o,

・・・/APE=/BQG,

：./XAPE^/XBQG(ΛAS),

：.AE=BG,PE=QG且PE〃QG,

四边形PEQG是平行四边形，

：.DE=-EG,

2

,.∙EB+AE=βE+BG=AB,

：.DE=-AB,

2

又∙.∙等边AABC的边长为6,

.∖DE=3,

故运动过程中线段ED的长始终为3.

7.(2020.乐清市月考)如图所示，AABC中，AB=AC=BC=IO厘米，M、N分别从点A、点B同时出发,

沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B

点时，M、N同时停止运动.设运动时间为f秒.

(I)M、N同时运动秒后，ΛΛN两点重合？

(2)当0Vf<5时，ΛΛN同时运动儿秒后，可得等边三角形AAMN?

(3)M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰AAMN,如果存在，请求出此时〃、N运动

的时间，如果不存在请说明理由.

【解析】解：(1)M、N同时运动10秒后，点M、N重合;

故答案为10;

(2)如图，

根据题意得:AM=t,BN=2t,K!]AN=lO-2t,

.*./=10-2t解得/=—；

f3

・•・当0V/V5时，M、N同时运动W秒后，可得等边三角形AAMM

3

（3）M、N在8C边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，理由如下:

由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在。处.

如图，

：.AN=AM

：.NAMN=/ANM

：./AMC=/ANB

YAB=BC=AC

・・・4ACB是等边三角形

ΛZC=Zθ

在4ACM和^ABN中

9

JAC=AB,ZC=ZB1NAMC=NANB

，∕∖ACM^ΛABN

：.CM=BN

设运动时间为y秒时，aAMN是等腰三角形

：.CM=y-10,∕VB=30-2y

Λ>,-10=30-2y,解得y=~

40

・・・当运动时间为∙y秒时，M,N在BC上使AAMN为等腰三角形.

8.（2020.南京月考）在AbC中，ZBAC>90o,AB的垂直平分线交BC于M,交A3于E,AC的

垂直平分线交BC于N,交Ae于尸.

C

、、一/

B^~E∖A

(1)若AB=AC,ZBAC=I20°,求证BM=MTV=NC；

(2)由(1)可知AAMN是_____三角形；

(3)去掉(1)中的“NfiAC=120。”的条件，其他不变，判断一AAW的形状，并证明你的结论;

(4)当DB与NC满足怎样的数量关系时，_A"N是等腰三角形？直接写出所有可能的情况.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)连接AM,AN,

VAB=AC,/BAC=120°

ΛZB=ZC=30o

"AB的垂直平分线交BC于M,AC的垂直平分线交BC于N,

：.BM=AM,CN=AN,

NC=NCAN=30。，N8=/8AM=30。，

ΛZAMN=60o,ZANM=60o

.∙.NMAN=60°

.♦.△AMN是等边三角形

JAM=AN=MN

IBM=MN=CN

(2)等边；

(3)等腰三角形，理由如下：

"JAB=AC,

ΛZBɪZG

,：AH的垂直平分线交BC于M,AC的垂直平分线交BC于N,

：.BM=AM,CN=AN,

：.ZC=ZCAN,NB=NBAM,

J∕AMN=24B,NANM=2/C

'：NB=NC

/./AMN=NANM,

：.AM=AN

...△AMN是等腰三角形

(4)NAMN=2NB,ZANM=2ZC,ZMA7√=180o-2ZB-2ZC,

①当AM=4V时∖ZB=ZC;

②当MN=AN时，得2N8+NC=9O。；

③当MN=AM时，得/B+2NC=90o.

9.(2020•长沙月考)点P是边长为3CT«的等边AABC的边AB上的动点，点P从点A出发.沿线段AB向点

B运动.

m1图2

(1)如图1,若另一动点。从点3出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P,Q都以IC〃而的速度同时出

发，设运动时问为f(s),连换AQ、CP交于点M,

①当f为何值时，APBQ是直角三角形?

②在P,。运动的过程中，NCMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

(2)如图2,若另一动点。从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点。，如果动点P,。都

以Icm/s的速度同时出发，设运动时间为f(s),连接PC,

①当/为何值时，AQCQ是等腰三角形？

②在点P,。的运动过程中，请探究△尸CO和AQCD的面积之间的数量关系.

【答案】(I)①片1或2；②不发生变化，ZCΛ∕(2=60o;(2)①片1；②面积相等

【解析】解：(1)①当APBQ是直角三角形时，ZB=60o,BP=3-t,BQ=t

ZPQB=90o,llt⅛BP=IBQ

根据题意,得3√=2f

解得Ql

②当N8Pβ=90。时，此时8(2=2BP

根据题意，得X2(3Y)

解得：t=2

当片1或2时，APBQ是直角三角形；

②不发生变化，ZCM0=6Oo

AP=BQ

在^ABQ与ACAPψ,<ZAPQ=ZCAP

AB=CA

.∖^ABQ^ΛCAP

：.ZBAQ^ZACP

：.ZMAC+ZMCA=ZMAC+ZBAQ=NcAF=60。

∙.,ZCMQ=ZMAC+ZMCA

：./CMQ=/CAP=60。

故不发生变化，NCMQ=60。；

(2)①YNOCQ≈120。，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ

二ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30a

,:NA=60°

,NAPD=90°

：.AD=IAP,即A£>=2/

,.,AC=AD+CD

Λ2z+r=3

解得Ul

故答案为厂1时，△OCQ是等腰三角形；

过P作尸E_LA£>于E,过Q作QG_LA。于G,则PEQG

：.ZG=ZAEP

易证△EAPWXGCQ

：.PE=QG

Λ∆PCD和4QCO同底等高

，△PCD和^QCD面积相等

故答案为4PCO和4QCZ)面积相等.

10.(2020•广东惠来期末)如图，在等边AABC中，AB^6cm,动点P从点A出发以lcw∕s的速度沿A8匀

速运动.动点。同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点尸到达点B时，点P、Q

同时停止运动.设运动时间为f(s).过点P作PEL4C于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平

行四边形CQFE.

(1)当f为何值时，PQ为直角三角形；

(2)是否存在某一时刻f,使点F在NABC的平分线上？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由；

(3)求。E的长.

【答案】(1)2；(2)存在，r=3；(3)3cm

【解析】解：(1)；ZVlBC是等边三角形，

,ZB=60o,

,当BQ=2BP时，ZBPQ^90o,

.∙.6+f=2(6-Z),

.∙.f=2,

.∙.f=2时，ABPQ是直角三角形.

(2)存在.理由：连接8/交AC于M.

ΛBF±ΛC,AM=CM^3cm,

•：EF//BQi

：.NEFM=NFBC=—NABC=30。,

2

AEF=2EM,

∙*∙Z=2∙(3-—r),

2

解得尸3.

(3)过。作PK〃8C交AC于K.

・・・是等边三角形，

,NB=NA=60。，

9

：PK//BCi

：.NAPK=NB=60。,

NA=NAPK=NAKP=60。，

•••△APK是等边三角形，

：.PA=PK1

•・・PELAK,

：.AE=EK.

YAP=CQ=PK,ZPKD=ZDCQfZPDK=ZQDC,

:.APKD二AQCD,

：.DK=DCy

：・DE=EK+DK=L(AK+CK)=-AC=3cm.

22

11.(2019•哈尔滨市月考)如图，A(6,0),5(0,4),点8关于X轴的对称点为。点，点。在X轴的负半轴

上，△A3。的面积是30.

(1)求点。坐标；

(2)若动点P从点8出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为f秒，4APC的面

积为S,求S与/的关系式.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)由题意知，-ADBO=30,

2

ΛAD≈15,OD=9,

二点。坐标为(-9,0)；

(2)：点2(0,4)关于X轴的对称点为C点，

；.点C坐标(0,∙4),

二当0<z≤8时，S=-3t+24,

当介8时，S=3r-24

12.(2020•湖北襄州期末)已知等边AABC的边长为4cm,点P,。分别是直线AB,Be上的动点.

(1)如图1,当点P从顶点A沿AB向8点运动，点。同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为

IcMs,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为f秒，连接4。，PQ.

①当r=2时，求NAQP的度数.

②当/为何值时^PBQ是直角三角形?

(2)如图2,当点P在8A的延长线上，。在BC上，若PQ=PC,请判断AP,C。和AC之间的数量关系，

并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)①根据题意得AP=PB=8Q=C0=2,

・・・ZVlBC是等边三角形，

：.AQA.BC,/5=60。，

・・・NAQB=90。，△BPQ是等边三角形，

o

：.Z