2024年高考数学一轮复习讲练测：基本不等式及其应用（讲义）

第04讲基本不等式及其应用

目录

考点要求考题统计考情分析

（1）了解基本不等式的推导高考对基本不等式的考查比较稳定，考

过程.查内容、频率、题型难度均变化不大，

2022年H卷第12题，5分

（2）会用基本不等式解决简应适当关注利用基本不等式大小判断、

2021年乙卷第8题，5分

单的最值问题.求最值和求取值范围的问题.

2020年天津卷第14题，5分

（3）理解基本不等式在实际

问题中的应用.

基本不等式I：ca.beR,5）'laA2+bA2^2ab.

当且仅当a=b时取等号

基本不等式及其应用基本不等式基本不等式2：若a,bWR+,则a+b?2/ab,

K当且仅当a=b时取等号•

―夯基•必备基础知识梳理

1、基本不等式

如果。>0方>0,那么疯4史史，当且仅当〃=人时，等号成立.其中，色也叫作。方的算术平均

22

数，而叫作a"的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,bcR,则储+〃22时,当且仅当。=人时取等号；

基本不等式2：若则"叱（^a+b>2y[ab）,当且仅当a=b时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积

为定值，"三相等''指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）a*2>0（aeR）,yfa>0（a>0）,|a|>0（ae/?）.

（2）基本不等式：如果a,6wR+,则竺^2疝（当且仅当“a=b”时取"=”）.

2

特例：a>0,a+—>2;—+—>2（a,A同号）.

aha

（3）其他变形:

①/+从2"肛（沟通两和〃与两平方和合+层的不等关系式）

2

,，,2

②"4七也（沟通两积油与两平方和“2+加的不等关系式）

2

③"4（誓）（沟通两积面与两和a+人的不等关系式）

④重要不等式串：114疯4型4/孚^,力€正）即

ab

调和平均值4几何平均值4算数平均值4平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知x,yeR-.

（1）如果x+y=S（定值），则孙工（昼）=^-（当且仅当“x=y”时取即“和为定值，积有最

大值

（2）如果孙=尸（定值），则x+yN2而=2万（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最

小值”.

3、常见求最值模型

模型一：mx+—>2\/mn（m>0,n>0）,当且仅当x=J]时等号成立；

模型二：/nr+-"-=tn（x一。）++ma>2\[nm+ma（/n>0,n>0）,当且仅当x-a=J二时等号成立；

x-ax-avm

模型三：———=--X-《一―（a>0,c>0）,当且仅当x=J时等号成立；

ax'+bx+cax+b+£_2y/ac+b\a

X

骷刖rm/、tnx（n-nvc）1,mx+n-mxx2/几、w口/口虫及as

模型四：x（n-nvc）=---------<—•（----------）=——（AW>O,72>O,O<X<一）,当且仅当工=——时等

mm24mm2m

号成立.

・提升・必考题型归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验

证.

例1.（2023•辽宁•校联考二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图

所示图形，在等腰宜角三角形ABC中，点。为斜边A8的中点，点D为斜边A8上异于顶点的一个动点,

设AO=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

B.<yjab(a>0,fe>0)

a+h

D.a2+b2>2\lab(a>0,Z?>0)

【解析］由图知：OC=gAB=W^,OO=|O8_Bq=g^_6=/

在阳△08中，CD=Jg+OA=,

所以OCWOD,即等4JZ|E(a>o,/,>o),

故选：C

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知x,y都是正数，且x*y,则下列选项不恒成立的是（）

A.^>7^B.—+—>2

2yx

C.^-<4xyD.母+白>2

x+yxy

【答案】D

【解析】x，），都是正数，

由基本不等式，中之而，2+二*2,答,这三个不等式都是当且仅当x=>时等号成

2xyx+y2gxy

立，而题中x*y,因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

孙+_Lz2中当且仅当邛=1时取等号，如x=:,y=2即可取等号，D中不等式不恒成立.

xy2

故选：D.

例3.（2023•江苏•高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知心工0,求7+2的最小值；解答过程：-+->2.|13=2;

baba\ba

X2+5i

②求函数>=的最小值;解答过程:可化得+4+>2.

Jf+4VX2+4

③设m,求），…名的最小值；解答过程：…+击之2倍,

2把x=2代入2、户得最小值为4.

当且仅当，=口即42时等号成立,

Vx-\

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当灿<0,:与幺均为负值,

ba

当且仅当即。=8<0时等号成立，故①的用法有误，故①错误：

ba

对②：y=>Jx2+4+,1>2,

+4

当且仅当>/?喜即7?百=i时取等号，

但5/7有22,则等号取不到，故②的用法有误；

22

对③：x>1,X—1>0,y=XH--------=x—\H-------F122>/2+1,

x-}x-1

当且仅当x-l=夜，即x=0+l时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：A.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

例4.（2023•河北•高三学业考试）若x,yeR.,且x+2y=3,则孙的最大值为

【答案】J9

O

【解析】由题知，X,jeR+,且x+2y=3

因为x+2y22yjx-2y,

所以32:2y/x.2y,

9

所以9±8孙，即肛42，

O

当且仅当x=2y,即x=：3,y=:3时，取等号，

24

9

故答案为:8-

例5.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）若。，b>0,且必=a+b+3,则访的最小

值是.

【答案】9

【解析】因为4+匕=帅-322界（当且仅当a=b时，等号成立），

所以（而『-2疝-320,

所以（窥-3）（而+1）40,所以疝23,所以“6*9,

所以曲的最小值为9.

故答案为：9

例6.（2023•天津南开•统考一模）已知实数a>0,b>0,a+匕=1,则2。+2”的最小值为.

【答案】20

【解析】Va>0,b>0,a+b=l,

2"+2h>2,2"x2b=2\l2"+h=20，当且仅当2"=2"即a=。=g时取等号.

故答案为：2VL

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

例7.（2023•全国•高三专题练习）若x>-2,则f（x）=x+£的最小值为.

【答案】0

【解析】由x>-2,得％+2>0,工>0,

x+2

所以/（》）=》+—=x+2+——-2>2./（x+2）x--2=0,

x+2x+2vx+1

当且仅当x+2=-^即尸-1时等号成立.

故答案为：0

4

例8.（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,则2x+h一7的最小值为.

【答案】3

44I4-1

【解析】2x+-----=2x+l+——-l>2J（2x+l）-------1=3,当且仅当2x+1=2,即》=一时，等号成立.

2x+\2x+lV'2x+l2

故答案为：3.

例9.（2023•全国•高三专题练习）若x>l,则^—二三的最小值为

X—1

【答案】2石+4/4+26

【解析】由x>l,则x-l>0.

因为x?+2x+2=（x-1）-+4（x-1）+5,

所以<^2;+2=（4-]）+告+4之2/（4-1）告+4=2君+4,

当且仅当x-l=J,即x=«+l时等号成立，

x-1

故『+2”+2的最小值为2石+4.

x-1

故答案为：26+4.

例10.（2023•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式d+法+c20的>1）的解

1+2"4c

集为R,则的最小值为_________.

b-1

【答案】8

【解析】因为不等式V+fex+c20（/?>1）的解集为R,则生，

4

因为Z?>1,所以〃一1>0,

…+4]-小小—Dx±+4=8.

b-\b-\b-\b-1Vb-\

4

当且仅当人一1=「，即力=3时，取到等号.

h-\

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解

题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11.（2023•全国•高三专题练习）已知正实数a,人满足次>+2a—2=0,则4a+b的最小值是（）

A.2B.40-2C.4A/3-2D.6

【答案】B

2

【解析】由。匕+2a—2=0,得。=7~~>

b+2

所以44+6=』-+6=」-+（6+2）-2..21」-.（6+2）-2=4&-2,

b+2Z?+2Nb+2

当且仅当。=士，士=6+2,即°=业,8=20-2取等号.

b+2b+22

故选：B.

例12.（2023•全国•高三专题练习）若x,ye/?+,（x-y）2=（xy）3,则』+’的最小值为___________.

xy

【答案】2

【解析】

因为（x-y>=（个了且x,ywR+,则两边同除以（盯了，得《一%=个，

y%

又因为（—I—）"=（----）~+4—=xy+4—>2xy-4—=4,当且仅"jxy=4,即x=2+y=2—时

xyyxxyxy\xyxy

等号成立，所以工+工24=2.

xy

故答案为：2

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,y>0,满足丁+2孙-2=0,则2x+y的最小值是.

【答案】底.

【解析】由d+2孙一2=0,得y==XG（0,V2）

所以2x+y=2x+，一二=—+—>2-/—•—=2-.—=\[6.

x22xV2xV2

当且仅当学=1即》=如时等号成立，

2x3

所以2x+y的最小值是逐.

故答案为：乐.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的

分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

例14.（2023•浙江省江山中学高三期中）设a>0,b>0,若a、/-g必=1,则石〃2一M的最大值为（）

A.3+GB.2杷C.1+百D.2+-J3

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

设c=6a-b,则-ab=a（后a-b）=ac,

条件a2+b2—y/3ah=\<^>a2+c2-y/3ac=1,

所以6ac+\=a2+c2>2ac，即〃cW2+6.

故选：D.

法二：（三角换元）由条件3-3切2+1从=1,

a----b=cos0e」。=cosO+Gsin。

故可设，j，即《

b=2sin。

—=sin0

12

cosO+Gsin。〉。54

由于々>0,b>0,故,,解得0<。<—

2sin0>06

o=cosO+V5sin。小八5万、

所以，〈,（0<6><—）,

b=2sin06

所以尻-加百+2sin2”2+"当且仅当”刊取等号.

故选：D.

14//-4-A

例15.（2023•天津南开•一模）若a>0,&>0,c>0,a+b+c=2贝ij--+——的最小值为

fa+bc

【答案】2+20

【解析】由题意，a>0,力>0,c>0,a+b+c=2得：a+b=2-c,

设2—。=加,。=几（m>0,〃>0）,则%+〃=2,

“4a+b42-c421421

a+bc2-cc2-ccmn

m+n42、.-2〃m3I2ntnrr

=-------x（/—+-）-1=3+—+——1>2+2--------=2+2J2,

2mntnn\mn

当且仅当苏=2/,即〃2=4-2应,"=°=20-2时取得等号，

故」7+土也的最小值为2+2&,

a+bc

故答案为：2+20

例16.（2023・全国•高三专题练习）已知a>0,b>0,a+2&=1,则丁二-+—^7取至ij最小值为.

3。+4力a+3b

【答案】土逑.

34+〃=1~~5

【解析】令。+2匕=4（3a+4Z?）+〃（a+3））=（3；l+〃）a+（4；l+3〃）b,.*.{=>{,

44+3〃=22

111112312(a+3。)3a+4b

----------1------=--(--~~—+——)-[-(3^+4/?)+-(6f+3/?)]=-+-[-+———J

3a+4ba+3b3a+4ba+3b55553a+4ba+3。

a+2b=1

、32l2(a+3b)3a+4b3+2夜

2—I-J----------=-----当且仅当｛2(a+3b)3a+劭时,等号成立,

55V3a-I-4ba+3b5

3。+4ha+3h

即「二+」五的最小值是火工也.

题型六：T”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程

中要特别注意等价变形.

1、根据条件，凑出“1”,利用乘T”法.

2、注意验证取得条件.

例17.（2023•安徽蚌埠•统考二模）若直线2+/=1（“>0,。>0）过点（2,3）,则为+6的最小值为

【答案】7+4用班+7

(解析】•••直线H=1(4>0,6>0)过点(2,3),

一+w.

ab

23=7+”■+”之7+42.芈=7+46，当且仅当〃=Jia,即a=2+,匕=26+3

2a+b=(2a+b>)—+—

ababNab

时取等号.

.•.2a+b的最小值为7+46.

故答案为：7+4g.

4-2Z?1

例的⑵23.河北•高三校联考阶段练习）已知"。,八。,〃+2人3,则丁+记的最小值为一

7

【答案】y

【解析】a>0,b>0,a+2b=3,

4-2/?14+111YQ।1(2b。I47

--------十一------十一1f+-—+—\(a+2h]=l+-\2+——+——>1+—=

a2ba2b[a2bp73^a2b)33

当且仅当“=2/4时取等号，则丁+五的最小值啊.

7

故答案为：—

例以心如湖南衡阳嘀三校考期初已知刊一乜且弱+1神高+占的最小值为.

【答案】1

［解析］因为3x+y=7,所以3x_l+y_2=4,

即予宁，

因为x>,，J>2,所以在二1>0,上二^>0,

344

I1,11、/31y—2、

3x-ly-231y-244

1y-23x-11、1Jy-23x-\

=—4-------------1------------1—之—F2/-----------x-----------

44(31)4(y—2)42］J4(3x-l)4(y-2)

v—23x—1

当且仅当W即x=l,y=4时取等号.

4(3x-1)4(y-2)

所以击+£的最小值为「

故答案为：1

41

例20.（2023•山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数凡人满足-—=1,

a+bb+\

则。%的最小值为.

【答案】8

41

【解析】因为帝+笄

41

所以。+2。=।

a+bb+1

4（Z?+1）a+b，4e+1）a+b

=4+1-1+-------+------->4+2J----------------=8，

a+hh+\Va+bb+1

当且仅当4（"+D=空2,即。=4力=2时，取等号，

a+bb+\

所以“+%的最小值为8.

故答案为：8.

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进

行求解.

例21.（2023・全国•高三专题练习）已知正实数〃也c,a+b=3,则竽cic十43c+二3的最小值为_______________

babc+l

【答案】246-2/-2+2指

【解析】由正实数a,b,a+h=3,可得3=妇比，

3

2

ai+(a+b)

所以ac3c3,a3.333

----11=CX(1)H=CX1

babc+lbabc+1ab--------c+1

^a1+2ab+b234a+b2、3

=CX--------------------1------=ex(1------F—)H--------

3abc+13b3a3c+1

而箝,22像？=：,当且仅当当，即“="=：时取等号,

3b3a\3b3a3ba33

,zac3c3、，42、3〜八3.

故石+益+77T“(g+777T=2(c+i)+77r2

>276-2

当且仅当2（c+D=W时，即。邛-1时取等号，

故答案为：2瓜-2

例22.（2023•全国•高三专题练习）已知“，6为正实数，且勿+。=1,则2+三的最小值为______

a2b

【答案】6

【解析】由已知条件得，-+—=^^+—=f—+—^+4>2./—+4=6,

a2ba2b\a2bJ\a2b

当且仅当殳=詈，即a=],b时取等号.

a2b55

故答案为：6.

例23.（2023•天津红桥•高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知x>0,y>0,则r当斤+#二的最大值

x+4yx+y

是.

【答案】述

3

2xyxy21

=---------H---------X

【解析】f+4)22+y2X4yXV,设f=_(f>0),

x一十---十一V

yxyx

2

t3砂+2r)3(r+7)

所以原式=刍+」T=一

41t+i+??r/+5*+4,2+5+g'

1+—t+-

令〃=，+—«>0),/.u>2>/2.

3»_3＜3_3_2x/2

所以原式=/T广力二及+：一n_亍-

u2V24

(函数丫="+上在[2播,+8)上单调递增)

U

故答案为：—

3

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.

例24.(2023•全国•高三专题练习)利用基本不等式证明：已知”,",c都是正数，求证：

(Q+/?)(h+c)(c+〃)28aZ?c

【解析】都是正数，.•.。+匕2疝＞0(当且仅当。=方时取等号)；"c之2痴＞0(当且仅当人二c

时取等号)；C+O22而＞0(当且仅当c=”时取等号)；

/.(«4-/?)(/?+c)(c+«)＞2\[ah-2\fbc-2\fca=Sahc(当且仅当a=Z?=c时取等号)，

即(a+b)(6+c)(c+〃)28abe.

例25.(2023•河南•高三校联考阶段练习)已知羽y,z为正数，证明:

⑴若盯z=2,则工+工+工4厂+；+/一；

xyz2

(2)若2x+y+2z=9,则f+产+z229.

【解析】(1)因为xyz=2,所以2=*42之

x2

同理可得?手，、手

222/+z2X2+z2I，111^x2+y2+z2

所以士+±+2«+故—+_+—<---------

xyz22xyz2

当且仅当X=y=z时等号成立.

(2)x2+y2+z2=^(22+l2+22)(x2+y2+z2)>^(2x+y+2z)2,

因为2x+y+2z=9,所以X2+V+Z2N9,当且仅当x=2y=z时等号成立.

例26.(2023•四川广安•高三校考开学考试)已知函数/(x)=|2x+l|+k+〃?|,若〃x)43的解集为.

(1)求实数加，”的值；

12

(2)已知。力均为正数,且满足丁+:+2机=0,求证：16/+〃*8.

2ab

【解析】(1)因为〃x)43的解集为5,1],所以〃1)43,即3+11+加区3,所以11+训40,

又|1+)%E。，所以1+〃?=0,即机=-1.

所以/(x)=|2x+l|+|x—1|,

当xv—时，f(x)=-2x—1—x+1=—3x<3x>—1,则一l«x<—,

22

当一时，f(x)=2x+l-x+l=x+2<3,^--<x<\,

22

当了>1时，/(x)=2x+l+x-l=3x<3,得xWl,不成立，

综上所述：/(x)<3的解集为[-1,1],

因为的解集为[%1].所以〃=T.

1?

(2)由(1)知，m=—1,所以---1=2(6/>0,Z?>0),

2ab

所以2=」一+222、」-2=3,当且仅当。=!，〃=2时，等号成立，

2ab72ab箍2

所以必21,

所以16a?+422加前=8"之8，当且仅当。=；,。=2时，等号成立・

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2、注意定义域，验证取得条件.

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

例27.(2023•全国•高三专题练习)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生

态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的

化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之

间的函数关系可近似的表示为'=；/-200%+80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为

100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位

不亏损？

【解析】(1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为2=L+酬电-20022、区画^-200=200；

x2xV2x

当且仅当：》=吧？，即x=400时等号成立，

2x

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

(2)不获利，设该单位每个月获利为S元，则

S=1OOx-y=1OOx一f_200x+8OOOO)=-^x2+300x-80000=-1(x-3OO)2-35000,

因为xe[400,600],贝ijSw[—80000,TOOOO],

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴4000()元才能不亏损.

例28.(2023•贵州安顺•高一统考期末)某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可

利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本Ax)(元)与月处

理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为/(X)=；X2-200X+80000.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？

【解析】(1)该单位每月的月处理成本：

f(x)=-x2-200x+80000='(x-200)2+60000,

22

因100MXV600,函数F(x)在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增,

从而得当x=200时,函数/(X)取得最小值，即外幻相=/(200)=60000.

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.

(2)由题意可知：/(x)=x2-200x+80000(100<x<600),

每吨二氧化碳的平均处理成本为：ZW=^+™o_2OO>2KSOOOO_2OO=2OO

x2xV2x

当且仅当;=陋"，即x=400时，等号成立.

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元.

例29.(2023•湖北孝感•高一统考开学考试)截至2022年12月1211,全国新型冠状病毒的感染人数突破

44200000人•疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段•已知这种新药在

注射停止后的血药含量(单位：mg/L)随着时间f(单位：h).的变化用指数模型c(f)=c。e-”描述，

假定某药物的消除速率常数&=。/(单位：h1)，刚注射这种新药后的初始血药含量c°=2000mg/L,且这

种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药,

求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？(精确到0.01,参考数据：ln2g0.693,ln3v1.099)

（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米（a>0）,

侧面长为x米，且x不超过8,房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计

房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？

【解析】（1）由题意得,c（-=2000e“",

设该药在病人体内的血药含量变为lOOOmg/L时需要是时间为乙，

由eg）=2000e«*>1000,得e'2,

故-0.1d-ln2,署加6.93h.

，该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h.

（2）由题意，正面长为史3米，故总造价y=400x4x典+2xl50x4x,BRy=768（X）<<+12OO.r,（0<x<8）.

XXX

由基本不等式有旷=殳%+1200x22、/迎咽xl200x,当且仅当幽电=1200》，印>86时取等号.

XVX尤

故当8G48,即aMl,x=86时总价最低；

当8G>8,即时，由对勾函数的性质可得，x=8时总价最低；

综上，当OvaWl时，xuSG时总价最低；当时，x=8时总价最低.

题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

例30.（多选题）（2023•重庆•统考模拟预测）若实数a,b满足/+〃="+1,则（）

A.a-b>-\B.-b<—

a3

C.ab>~—D.ab<—

33

【答案】BC

【解析】a2-\-b2=ab+\.

当必>0时，a2+b2>2ah^>ah+\>2ah^>ab<\,当且仅当a=b=l或a=b=—l时等号成立，得0〈昉Wl,

当ab<0时，a2+b2>-2ab=>ab+l>-labnab>-L当且仅当a=^-,h=-立或〃=一曲,b=—时等号

33333

成立，得-gwabcO,

当4人=0时，由々2+/=。匕+］可得4=0*=±1或b=0,〃=±l

综合可得故C正确，D错误；

a2+b2-lab=1一々。=(a-b)2=1—aZ?=1-(«—Z?)2=ab,

当时，i-（a—〃）2±-_ln（a-/?）24±n一型毡，故A错误，B正确;

33333

故选：BC.

例31.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知。>0,匕>0,且。+5=1,则（）

A.1+b的最小值为4B.的最小值为:

a

C.£的最大值为:D.；人一。的最小值为也一1

【答案】ACD

【解析】，+/?=（，+/?）（〃+、）即时取等号,

=1+1+^+—>2+2=4,当且仅当M=1"=5'

abb=2

则A正确:

即卜;‘时取等号，则B错误;

当且仅当必=1

b=2

当!=」"，即b=2时,]_

则C正确;

b2max4

Cl—1------

当且仅当|2时取等号，则D正确.

b=6

故选A8

例32.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知x>0,y>0,且“+y一肛+3=0,则下列说法正确

的是（）

A.3cAyW12B.x+y>6C.x2+y2>18D.0<—+—<-

xy3

【答案】BC

【解析】对于A：由个一3=%+yN2j^,得孙一当且仅当工=丫时，等号成立-2yfxy-3>0,

解得而23,即个之9,故A不正确；

对于B：由x+y+3=xy4（亨J,得x+y+3W］受j,当且仅当x=y时，等号成立即

（x+y）2-4（x+y）-12N0,解得x+y26,或x+yW-2（舍去），故B正确；

对于C：x2+）,=（x+y）~-2孙,=（x+y）~-2（x+y+3）=（x+y）--2（x+y）-6，

令，=》+丫26,x2+/=r2-2r-6=(r-l)2-7>(6-l)2-7=18,即/+/)18,故C正确；

,.11x+yxy-3.3.11,3211^2,

对于D,-+_=---^=----=1----，令，=孙29,-+-=l-->l--=-即一+一2二，故D不正确,

xyxyxyxyxyt93Txy3

故选：BC.

例33.(多选题)(2023•全国•高三专题练习)设a>0,b>0,a+b=\,则下列结论正确的是()

A.而的最大值为:/+从的最小值为3

41

C.2+；的最小值为9yfa+4h的最小值为"

【答案】ABC

【解析】对于A,因为a>0,Z?>0,a+b=l,

则出,4（空^