备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-4 一文搞定反比例函数7个模型13类题型（原卷版）

专题1-4一文搞定反比例函数7个模型，13类题型知识点梳理 2题型一|k|模型 题型二面积模型 题型三垂直模型 题型四比例端点模型 题型五矩形模型（平行，比例性质） 题型六等线段模型 题型七等角模型 题型八反比例函数中的设而不求法 题型九反比例函数与相似相似三角形结合 题型十反比例函数与一次函数综合 题型十一反比例函数中的探究类问题 题型十二反比例函数与与几何综合 题型十三反比例函数的找规律问题 知识点梳理【模型1】|k|模型结论1：S矩形＝|k|：结论2：S三角形＝|k|【模型2】面积模型（四类）类型一结论：证明：．类型二结论：①AO=BO，AB关于原点对称，②S△ABC=4|k|类型三结论：①ABCD为平行四边形，②S四边形ABCD=4S△AOB类型四结论：S四边形ABOC=k2－k1【模型3】垂直模型结论：证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，则△BCO∽△ODA，∴【模型4】比例端点模型出现比例端点时可以考虑作垂线构造相似或设点坐标来转化结论：证明：过点D作DE⊥x轴，，，【模型5】矩形模型（平行性质和比例性质）一、比例性质如图,A,B是反比例函数y=图象上任意两点，过A、B作x轴、y轴垂线段线段比（共线的线段之比为定值）证明一：∵S矩形OADF＝S矩形OGEC，∴证明二：∵结论：二、平行性质如图1、图2、图3，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，连接AB、CD，则AB∥CD．yyODBxAC图1yODAxBC图2图3OxABDCy下面以图1为例来证明（图2、图3证法类似）：法一：面积法（等积变形）如图，易知S△ACE＝S△ADE，因为两个三角形同底等高，故ED∥CA由平行关系还可以得出其它性质：，(平行线分线段成比例)补充简证简证证明一:由比例性质可知，,,根据相似可知AB∥CD∥GF证明二:∵∴∴，同理可证CD∥GF方法二：连接OA、OB，延长CA、DB交于点EyyODBxEAC则OC＝DE，OD＝CE由k的几何意义可知S△AOC＝S△BOD，，又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD方法三：延长CA、DB交于点EyyODBxEAC设，，则又∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECD∴∠EAB＝∠ECD，∴AB∥CD补充拓展：矩形模型中的翻折如图，矩形OABC顶点A，C分别位于x轴，y轴正半轴，反比例函数在第一象限图象交矩形OABC两边于D，E点，将△BED沿ED翻折，若B点刚好落在x轴上的点F处，则EO=EF【模型六】等线段模型如图1、图2，点A、B是反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象上的任意两点，直线AB交y轴于点C，交x轴于点D，则AC＝BD．xxyBACDO图1xyBACDO图2证明：作AE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F由平行性质可知AB∥EF∴四边形CEFB和四边形AEFD均为平行四边形∴BC＝EF＝AD，∴AC＝BDxyxyBACDOFExyBACDOFE【模型七】等角模型模型一：如图，点A、B是反比例函数图象上的任意两点，直线OB交反比例函数的图象于另一点C，直线AC交x轴于点D，交y轴于点E，直线AB交x轴于点F，交y轴于点G，则∠ADF＝∠AFD，∠AEG＝∠AGE，由此可得AD＝AF，CD＝AE＝AG＝BF，AB＝DE．AABOxCyDFEG证明：作CN∥x轴，AN∥y轴，BM⊥AN于MAABOxCyMNDFEG则∠ADF＝∠ACN，∠AFD＝∠ABM设A（a，EQ\F(k,a)），B（b，EQ\F(k,b)），则C（－b，－EQ\F(k,b)）∴CN＝a＋b，AN＝EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b)，BM＝b－a，AM＝EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b)∴tan∠ACN＝EQ\F(AN,CN)＝EQ\F(EQ\F(k,a)＋EQ\F(k,b),a＋b)＝EQ\F(k,ab)，tan∠ABM＝EQ\F(AM,BM)＝EQ\F(EQ\F(k,a)－EQ\F(k,b),b－a)＝EQ\F(k,ab)∴tan∠ACN＝tan∠ABM，∴∠ACN＝∠ABM∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，∠CEO＝∠FGO∵∠AEG＝∠CEO，∴∠FGO＝∠AEG∴AE＝AG∵AG＝BF，∴AE＝BF，∴AB＝DE∵CD＝AE，∴CD＝AE＝AG＝BF模型二：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于x轴正半轴和y轴正半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠6=∠5=∠2，∴H为DC中点，∴GO∥BC∴∠1=∠6=∠2，进而可知∠3=∠7=∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C点作y轴平行线，交AB于I，构平行四边形EDCI∴EI=DC=AB，即EA=IB，又由基本结论知EA=BF∴IB=BF，∴∠2=∠5=∠1，同理可证∠3=∠4模型三：如图，平行四边形ABCD顶点A，B位于反比例函数在第一象限的图象上，C，D分别位于y轴负半轴和x轴负半轴上，则必然有∠1=∠2，∠3=∠4证明1：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。取AB中点G，连GO并延长交DC于H。由反比例函数图象基本结论知，G也是EF中点。∴∠1=∠5=∠7=∠6，∴H为DC中点，∴GH∥BC∴∠1=∠6=∠2，进而可推∠3=∠4证明2：延长直线AB，分别交y轴、x轴于E，F。过C作x轴垂线，交直线AB于I，构平行四边形DCIF∴FI=DC=AB,又由基本结论知AE=BF,∴BE=BI∴∠1=∠5=∠2，进而可推∠3=∠4题型一|k|模型如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是（

）A．1 B．2 C．4 D．8如图，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，点是轴上的任意一点，连接、，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．82023年辽宁省丹东市中考数学真题如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则．2022年湖南省郴州市中考数学真题如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（

）A．3 B．5 C．6 D．10如图，直线与反比例函数、的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为．2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为．

题型二面积模型两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中，正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．42022年山东省日照市中考数学试卷如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（

）A．3 B．-3 C． D．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是．2023·广西·统考中考真题如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（

）

A．4 B．3 C．2 D．12023年湖北省黄石市中考数学真题如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为；若的面积为，则．

2023年湖南省湘西中考真题如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4江苏省南京市2021年中考数学试卷如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则．题型三垂直模型 已知点A，B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（

）A． B． C． D．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（

）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（

）A．－12 B．－16 C．－6 D．－18如图，已知A是双曲线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B，若，则的值为（）A． B． C． D．2023·福建·统考中考真题如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（）

A． B． C． D．32023·四川达州·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为．

如图，点A是双曲线y＝上的动点，连结AO并延长交双曲线于点B，将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC，点C在双曲线y＝上的运动，则k＝．

如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一个分支于点B，以AB为底作等腰且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动，则．如图，的顶点与坐标原点重合，，，当点在反比例函数的图象上移动时，点坐标满足的函数解析式为．题型四比例端点模型如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y=（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB=4，则双曲线y=的k值为（）A．5 B．4 C．3 D．22022·浙江衢州·统考中考真题如图，在中，边在轴上，边交轴于点．反比例函数的图象恰好经过点，与边交于点．若，，，则=．广东深圳·统考中考真题如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=．如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是．如图，双曲线经过斜边上的点，且满足，与交于点，的面积为，则．如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则．

如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是．如图，Rt△BOC的一条直角边在x轴正半轴上，双曲线过的斜边的中点，与另一直角边相交于点，若的面积是6，则k的值是．（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形的顶点A，C分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交矩形的对角线于点，分别交，于点E，F，连接，．若，，则．

如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于6，则k的值为．题型五矩形模型（平行，比例性质）如图，已知双曲线经过矩形边的中点F，交于点E，且四边形的面积为3，则．2023年黑龙江省绥化市中考数学真题在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为．

2023年浙江省绍兴市中考数学真题如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴正半轴上，OA＝6，OC＝4，点P是BC边上一个动点，过点P的反比例函数y＝EQ\F(k,x)图象与AB边交于点Q，若将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点D恰好落在对角线AC上，则k的值是___________．OOACxyBDPQ如图，直线y＝－3x＋4与双曲线y＝EQ\F(k,x)交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，连接CD，若四边形ACDB的面积为10，则k的值为___________．xxyOABCD如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象分别与边AB、BC交于点E、F，将△BEF沿EF翻折，点B恰好落在x轴上点D处，则△BEF的面积为___________．xxODABCEFy如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有．（仅填代号即可）题型六等线段模型如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，若，则的值为．2023年辽宁省锦州市中考数学真题如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为．

如图，直线y＝2x与双曲线y＝EQ\F(k,x)交于A、B两点，AC⊥AB交双曲线于点C，连接BC，则sin∠ABC的值是___________．OOxyABC如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝EQ\F(3,2)x与双曲线y＝EQ\F(6,x)相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为___________．OOxACPyB如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝EQ\F(k,x)（k＞0）相交于A、B两点，直线y＝EQ\F(1,2)mx＋n经过点B，与双曲线交于另一点C，若△ABC的面积为6，则k的值为___________．yyxOABC如图，直线l与反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象在第二象限交于B，C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB∶BC∶CO＝1∶2∶2，△COD的面积为6，则k的值为_________．yylxODABC如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C（－eq\r(,3)，0），连接BO并延长交反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象于点D，若∠BAD＝120°，△ABD的面积为2eq\r(,3)，则点A的坐标为___________．xxOyDACB湖北随州·统考中考真题如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为．2021·贵州毕节·统考中考真题如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA．已知的面积为12，则k的值为．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为．江苏省宿迁市2021年中考数学真题如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则=．如图，A，B是反比例函数(k≠0)图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE，BE．若S△ABE＝7，则k的值为．题型七等角模型如图，直线y＝kx与反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象交于A、B两点，过点A作AD∥x轴，交y轴于点D，直线BD交反比例函数y＝EQ\F(m,x)的图象于另一点C，则EQ\F(CA,CB)的值为___________．xxyOBCAD如图，直线y＝2x与双曲线y＝eq\f(k,x)交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，连接BC并延长交双曲线于点D，连接AD，则EQ\F(AD,BD)的值为__________．xxyOBACD如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点C、D在反比例函数y＝EQ\F(k,x)的图象上，若AB＝2AD，OA＝2，□ABCD的面积为8，则点D的坐标为___________．xxOByACD湖北武汉·中考真题如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于．如图，在直角坐标系中，平行四边形的顶点、在y轴、x轴上，另两个顶点C、D在第一象限内，且；若反比例函数的图象经过C，D两点，则k的值是．如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的5倍，则．题型八反比例函数中的设而不求法（2023·深圳市一模）如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作轴，轴．若，则S△ABP＝（）A．3.6 B．4.8 C．5.4 D．6湖北武汉·中考真题如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（

）A． B． C．2 D．32022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为．（2022·浙江温州·统考一模）如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为．题型九反比例函数与相似相似三角形结合江苏宿迁·统考中考真题如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为．深圳统考真题如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）上，作RtABC，点D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若BCE的面积为7，则k的值为．徐州·统考真题如图，平面直角坐标系中，为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若，，则k的值为．如图，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），与直线交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝，与y轴分别交于点，与双曲线y＝交于点，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，则k的值为．2023·江苏盐城·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为.

（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为．诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点A1（1，－1），我们从A1点出发构造无穷点列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…构造规则为：若点An（xn，yn）在直线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在双曲线上，且xn＋1＝xn；若点An（xn，yn）在双曲线上，那么下一个点An＋1（xn＋1，yn＋1）就在直线上，且yn＋1＝yn，根据规则，点A3的坐标为．无限进行下去，无限接近的点的坐标．2022·江苏镇江·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．(1)_________，_________；(2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．2023·江苏镇江·统考中考真题如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．

(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．2023·山东泰安·统考中考真题如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．

(1)求反比例函数的表达式；(2)在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；(3)点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．2023·四川成都·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．题型十反比例函数与一次函数综合【题型梳理】1、比大小，2、由交点个数求参数的值或范围，3、一次函数平移后相关问题；4、与几何结合定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如，点为一次函数图象的“阶积点”．若y关于x的一次函数图象的“n阶积点”恰好有3个，则n的值为．（2023·江西吉安·校考三模）如图，一次函数的图象与反比例函数于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数的图象上的点，且于点A

(1)求的面积．(2)若，求k的值．2023·山东淄博·统考中考真题如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．2022·江苏徐州·统考中考真题如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接、，若四边形为正方形．①求、的值；②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

2022·四川绵阳·统考中考真题如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．2022·四川资阳·中考真题如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数的表达式；(2)结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；(3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．2023·黑龙江大庆·统考中考真题一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求的面积；(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．2023·湖北黄冈·统考中考真题如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．题型十一反比例函数中的探究类问题2023·山东济南·统考中考真题综合与实践如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

（1）根据小颖的思路点拨思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．2023·江苏连云港·统考中考真题【问题情境

建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．

【由数想形

新知初探】（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．

【数形结合

深度探究】（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【抽象回归

拓展总结】（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．2022·湖北荆州·统考中考真题小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－101234…y…12410－4－2－1…请根据图象解答：(1)【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）(2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．2021·广东深圳·统考中考真题探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．2023·四川达州·统考中考真题【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：…1346……432.42…

(1)_______，_______；(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；

②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．(3)【拓展】结合（2）中函数图象思路点拨，当时，的解集为________．2023·浙江衢州·统考中考真题视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1

检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2

图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．探究2

当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．素材3

如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3

若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．题型十二反比例函数与与几何综合如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴负半轴上，边与轴交于点，连接，轴，反比例函数的图象经过点，及边上一点，，若，则的值为．

2022·浙江湖州·统考中考真题如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是．2023·山东·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为．

2023·四川内江·统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对