高中数学北师大版练习第一章1-1第1课时集合的概念

第一章预备知识§1集合1．1集合的概念与表示第1课时集合的概念1．漂亮的花可以组成集合．()2．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．()3．元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是相等的．()4．“∈”可以用来表示元素与集合之间或集合与集合之间的关系．()5．因为正整数都是整数，所以N*∈Z.()【解析】1.提示：×.“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．2．提示：×.由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．3．提示：√.集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合．4．提示：×.“∈”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间关系．5．提示：×.“∈”是表示元素与集合之间关系的，所以N*∈Z不正确．·题组一集合与元素的含义1．下列给出的对象中能构成集合的是()A．著名物理家 B．很大的数C．聪明的人 D．小于3的实数【解析】选D.只有选项D有明确的标准，能构成一个集合．2．下列各组对象可以构成集合的是()A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数【解析】选B.A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．3．下列所给对象能构成集合的是()A．高一·4班成绩好的学生B．比较接近2的全体正数C．未来世界的高科技产品D．所有整数【解析】选D.选项A，B，C的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项D的对象具有确定性，能构成集合．·题组二集合中元素的三特征1．若集合M中的元素是△ABC的三边长a，b，c，则△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】选D.集合M中的元素是△ABC的三边长a，b，c，所以由集合元素的互异性可得a≠b，a≠c，b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．2．(多选)由实数x，－x，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)组成的集合中，元素的个数可能为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】选AB.当x>0时，x＝|x|＝eq\r(x2)>0，－eq\r(3,x3)＝－x<0，此时集合共有2个元素；当x＝0时，x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)＝－x＝0，此时集合共有1个元素；当x<0时，－x＝|x|＝eq\r(x2)＝－eq\r(3,x3)>0，x<0，此时集合共有2个元素；综上所述，此集合有1个或2个元素．3．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，x满足的条件是()A．x≠0B．x≠1C．x≠±1D．x≠0且x≠±1【解析】选D.根据集合中元素的互异性，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≠x，,x≠x2，,x2≠1，))解得x≠0且x≠±1.4．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．【解析】因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2<x<a，则满足条件的x的值为3，4，5，所以整数a的值是6.答案：6·题组三元素与集合的关系1．若集合A中的元素满足x－1<eq\r(3)，且x∈R，则下列各式正确的是()A．3∈A，且－3A B．3∈A，且－3∈AC．3A且－3A D．3A，且－3∈A【解析】选D.因为3－1＝2>eq\r(3)，－3－1＝－4<eq\r(3)，所以3A，－3∈A.2．下列说法正确的是()A．N中最小的数是1B．若a为整数且－aN*，则a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素【解析】选C.N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误；当a＝0时，－aN*，且aN*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；x2＋4＝4x的实数解为x＝2，故实数解组成的集合中含有1个元素，D错误．3．已知集合A中的元素x满足x≥2，若aA，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意a不满足不等式x≥2，即a<2.答案：a<24．若集合A由所有形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成，则－6＋2eq\r(2)________A(填写“∈”或“”).【解析】因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2eq\r(2)＝3×(－2)＋eq\r(2)×2是形如3a＋eq\r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2eq\r(2)是集合A中的元素．答案：∈5．给出下列关系：(1)eq\f(1,3)∈R；(2)eq\r(5)∈Q；(3)－3Z；(4)－eq\r(3)N，其中正确的是________．(填序号)【解析】eq\f(1,3)是实数，(1)正确；eq\r(5)是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－eq\r(3)是无理数，(4)正确．答案：(1)(4)易错点一判断集合中元素个数时忽略集合的互异性出错根据集合的特性完成下列填空．(1)2，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，eq\f(1,3)这些数组成的集合有________个元素；(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解组成的集合有________个元素．【解析】(1)因为eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，所以这个集合有3个元素．答案：3(2)方程(x－3)(x＋1)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素．答案：2【易错误区】集合的互异性是指集合中元素各不相同，在写集合中的元素时，易忽略集合的互异性而使得集合中的元素数增多．易错点二求集合中参数值时忽略集合的互异性出错已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝________．【解析】由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1或a＝－eq\f(3,2).当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－eq\f(3,2)时，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，所以a＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)【易错误区】利用集合中元素的互异性求参数的值时，根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验，同时要注意分类讨论思想的应用．一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列几组对象可以构成集合的是()A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．世界著名的科学家D．某单位所有身高在1.7m以上的人【解析】选D.A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．2．(多选题)下列表示正确的是()A．0∈N B．eq\f(2,7)∈ZC．π∈Q D．eq\r(2)∈R【解析】选AD.对于A，0是自然数，所以0∈N，故A正确；对于B，eq\f(2,7)不是整数，所以eq\f(2,7)Z，故B错误；对于C，π是无理数，所以πQ，故C错误；对于D，eq\r(2)是实数，所以eq\r(2)∈R，故D正确．3．以数集A中的四个元素a，b，c，d为边长的四边形可能是()A．平行四边形B．矩形C．菱形 D．梯形【解析】选D.由集合中元素的互异性得：a，b，c，d都不相等，所以以a，b，c，d为边长的四边形可能是梯形．4．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M【解析】选C.由2∈M，知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.5．设集合A含有－2，1两个元素，B含有－1，2两个元素，定义集合A⊙B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A⊙B，则A⊙B中所有元素之积为()A．－8B．－16C．8D．16【解析】选C.因为集合A含有－2，1两个元素，B含有－1，2两个元素，由题意得，集合A⊙B中所有元素是2，－4，－1，它们的积为：2×(－4)×(－1)＝8.6．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集【解析】选A.由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．二、填空题(每小题5分，共20分)7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．【解析】因为1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.答案：k≠±18．(练拓展)式子eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))的所有可能取值组成的集合中的元素和为________．【解析】因为分母中|eq\r(－b)|有意义，所以b<0，当a>0时，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))＝2，当a<0时，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))＝0，所以式子eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＋eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＋eq\f(a2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2)))＋eq\f(\r(－b),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(－b))))的所有可能取值组成的集合中的元素有2，0，所以元素的和为2.答案：2【变式备选】若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．【解析】当a，b同正时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝1＋1＝2.当a，b同负时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2.当a，b异号时，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝0.所以eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)的可能取值所组成的集合中的元素共有3个．答案：39．具有下述性质的x都是集合M中的元素，即x＝a＋eq\r(2)b，其中a，b∈Q，则下列元素：①x＝eq\r(2)；②x＝3＋eq\r(2)π；③x＝eq\f(1,3－2\r(2))；④x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2)).其中是集合M的元素是________(填序号).【解析】对于①，x＝eq\r(2)，a＝0∈Q，b＝1∈Q，满足题意，故①正确；对于②，x＝3＋eq\r(2)π，a＝3∈Q，b＝πQ，不满足题意，故②错误；对于③，x＝eq\f(1,3－2\r(2))＝3＋2eq\r(2)，a＝3∈Q，b＝2∈Q，满足题意，故③正确；对于④，x＝eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\r(2)))2)＝4，a＝4∈Q，b＝0∈Q，满足题意，故④正确．答案：①③④【变式备选】用符号“∈”或“”填空：(1)设集合B是小于eq\r(11)的所有实数的集合，则2eq\r(3)________B，1＋eq\r(2)________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D.【解析】(1)因为2eq\r(3)＝eq\r(12)>eq\r(11)，所以2eq\r(3)B；因为(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2)<3＋2×4＝11，所以1＋eq\r(2)<eq\r(11)，所以1＋eq\r(2)∈B.答案：∈(2)因为n是正整数，所以n2＋1≠3，所以3C；当n＝2时，n2＋1＝5，所以5∈C.答案：∈(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，－1是数，所以－1D；又(－1)2＝1，所以(－1，1)∈D.答案：∈Ｋ10．已知数集A满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)，如果a＝2，则A中的元素有________．【解析】根据题意，由2∈A可知，eq\f(1,1－2)＝－1∈A；由－1∈A可知，eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)∈A；由eq\f(1,2)∈A可知，eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，eq\f(1,2)，2.答案：－1，eq\f(1,2)，2三、解答题11．(10分)由三个数a，eq\f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2021＋b2021的值．【解析】由a，eq\f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))(不满足集合元素的互异性，舍去).所以a2021＋b2021＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2021＋02021＝－1.【变式备选】设A是由满