基本不等式及应用(重点)-2023年高考数学一轮复习考点微新高考

考向04基本不等式及应用

F.「上+空=1「

【2021.全国•高考真题】已知勺，勺是椭圆C：94的两个焦点，点M在C上，则

I叫卜眼叮的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【2022年新高考全国II卷】（多选题）若X,y满足无2+y2-xy=l,则（）

A.x+y<iB.x+y>-2

C.X2+y2<2D.X2+y2>l

，方法技巧）

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成

立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验

证是否符合初始范围.

注意：形如、=》+?（。＞0）的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再

x

利用该函数的单调性求解.

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意

以下几个方面的问题：

（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变

形；

⑵代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;

（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不

等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并

项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.

常用结论

1.几个重要的不等式

（1）>0（aeR）,&NO（a>0）,|tz|>0（«e/?）.

（2）基本不等式：如果则，（当且仅当时取

特例：a>0,a+l>2;^.+—>2同号）.

aba

（3）其他变形:

Gz+z?）2

①。2+枕>--—（沟通两和4+Z?与两平方和。2+&2的不等关系式）

②abW--—（沟通两积ab与两平方和ai+bi的不等关系式）

③"《［”一卜沟通两积与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：丁三丁<腐4勺士W产歹。力eR+）即

a+b

调和平均值4几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

2.均值定理

已知eR+.

c（x+yYS?

（i）如果x+y=s（定值），则何=7-（当且仅当“*=>”时取“="）.即“和为定

值，积有最大值”.

（2）如果孙=「（定值），则》+>»2*=2"（当且仅当“》=>”时取“="）.即积为定值,

和有最小值

3.常见求最值模型

模型一：mx+—>2y/mn(tn>0,n>0),当且仅当式=时等号成立；

模型二：mxH---=m(x-a)+---Fma>2y1mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x-a=J—时

x-ax-aV

等号成立；

模型三：——-——=一'一4——(a>0,c>0),当且仅当x=JI时等号成立；

ax^+hx+c+b+£ac+bVa

x

班刖miz、勿火(〃-,nvc+n-nix.m.八八八"、止口巾也

模型四：x(n-mx)=---------<—•(----------)2=一(7n>0,n>0,0<x<—)，当且仅当

mm24mtn

X=-L时等号成立.

2m

[易

1.基本不等式

如果a>0,b>0,那么痴4空2,当且仅当a=6时，等号成立.其中，空2叫作“方的

22

算术平均数，疑叫作a”的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平

均数.

基本不等式1：若。，*/?,则〃2+6222诏，当且仅当〃=〃时取等号；

基本不等式2：若a,beR+,则"十（44^（flica+Z?>2y[ab）,当且仅当a=Z?时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值

时和或积为定值，“三相等''指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

1.（2022・全国•模拟预测）已知正数a,6满足a+2b=1,贝U或+？拉十1的最小值为

ab

2.（2022.福建龙岩.模拟预测）若正实数a,〃满足1+：=4了+1,则必的最小值为

ab

3.（2022・江苏・南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数。/满足山。+1皿=皿〃+4〃），则昉

的最小值是.

4.（2022・湖南•长郡中学模拟预测）已知为正实数，直线y=+b将圆2）2+（），-1”=1

1?

平分，则上+：的最小值是_________.

ab

1.（2022・广东茂名•二模）已知从=3。2-2（〃，heR）,则13〃-bl的最小值为（）

A.0B.1C.2D.y/2

2.（2022.浙江湖州•模拟预测）已知。〉（）,〃＞（）,定义H（a,b）=max，+22-/,,^+2b卜则H（a,b）

的最小值是（）

A.5B.6C.8D.1

3.（2022,全国•模拟预测（文））若实数x,＞满足2、+4'=2x+2y,则无+2y的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

_14

4.（2022•江西萍乡•三模（文））已知正实数苍丁满足lgx+lgy=2,则—+—的最小值为（）

xy

12-48

A.-B.-C.-D.—

5555

5.（2022.江西•南昌中学三模（文））已知实数〃，b满足3+2=1,且a＞2b,

a+1b+1

则竺士色的最小值为（）.

a-2b

A.1B.2拉C.4D.472

6.（2022・辽宁实验中学模拟预测）已知实数。，匕满足成+log%=1,（0＜。＜1）,则与og。-g

a4人

的最小值为（）

A.0B.-1C.1D.不存在

7.（2022•山东泰安•模拟预测）已知4x4+9叼2+2产=1,则5x2+3y2的最小值是（）

125

A.2B.—C.D.3

72

8.（2022.安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））已知x＞0,y＞0,满足X2+2冷，-1=0,则

3x+2y的最小值是（）

A.B.£C.2百D.272

9.（2022•浙江•镇海中学模拟预测）若正实数x,y满足孙（x+y）=4,则2%+y的最小值为

)

A.3C.2>/3D.3婢

10.（2022•江苏・南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数。，6满足。+。=1,则下列结

论不正确的是（）

14

A.&K有最大值:B.1+：的最小值是8

ab

c•若。>人则D.log6Z+log8的最大值为-2

2

11.（2022・湖北・黄冈中学模拟预测）已知a,b为正实数，直线），=工-。与曲线y=ln（x+与

14

相切，吗+*最小值为（）

A.8B.9C.10D.13

12.（2022.湖南二中学模拟预测）已知正项等比数列｝荫足a=a+2a,若存

n321

I4

在a、a,使得aa=16以，则一+-的最小值为（）

"JnmnImft

A.—B.|6C.—D.—

342

2I

13.（2022•安徽八中学模拟预测（理））已知正数x,y满足——+-——=1,则

x+3y3x+y

x+y的最小值（）

3+2垃3+63+2应口3+a

4488

2117

14.（2022,上海•位育中学模拟预测）已知a>0,b>0,且必=1,则三+5+17r的

3a2b3a+4b

最小值为.

15.（2022.四川.宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知。力为正实数，且L2=i2,

ab

则a+方的最小值为

1.(2022•全国•高考真题(文))已知9，”=10,a=l()“，-ll,A=8，”-9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

2.（2021.全国.高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）

B

A.y=42+2x+4-"向小岛

4

C.y=2*+22-XD.y=\nx+---

Inx

3.（2021・全国•高考真题）已知,，尸是椭圆c：=+21=1的两个焦点，点M在C上

294

则眼叶眼勺的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

4.（多选题）（2022•全国•高考真题）若X,y满足X2+y2-孙=1,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.X2+J2<2D.x2+yi>l

5.（多选题）（2020•海南・高考真题）已知。>0,b>0,且。+〃=1,则（）

A.。2+。22—B.2a-h>

22

C.log6?+log>-2D.y/a+Jb<鼻

6.（2022.全国•高考真题（理））已知aABC中，点。在