电磁场与电磁波课件第二章教材

NanjingUniversityofInformationScience&Technology第二章宏观电磁现象的基本定律

主要内容基本电磁物理量电磁场基本定律麦克斯韦方程组时变电磁场的边界条件

NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.1基本电磁物理量1.电荷密度电量：带电体所带电荷的量值，用q或Q表示，单位是库仑（C）

根据物质的结构理论，带电体所带电量是不连续分布的，它必为电子电量的整数倍。但是，当我们观察一个带电物体的宏观电特性时，所观察到的往往是大量带电微粒的平均效应。因此，可以将带电体内的电荷分布近似视为是连续的，从而采用电荷密度来描述它的电荷分布状况。根据带电体的形状，可以分别采用体电荷密度、面电荷密度和线电荷密度来表示。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology注意：在空间的同一位置只能存在一种电荷分布。（体电荷表面处的电荷不是面电荷，也不可能有面电荷；面电荷边缘处的电荷不是线电荷，也不可能有线电荷。）连续分布在体积内的电荷。分布在一个表面积为的薄层上的电荷。分布在一个长度为的细线上的电荷。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.电场强度电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以

表示。

式中q

为试验电荷的电量，

为电荷q受到的作用力。

带电平行板

几种典型的电场线分布

正电荷

负电荷

NanjingUniversityofInformationScience&Technology3.电极化强度

无极分子有极分子

导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。

有极分子无极分子

Ea

在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中分子电偶极矩的矢量和称为极化强度，以

表示，即式中

为体积

V

中电偶极子的电矩，

V

应理解为物理无限小的体积。

任取闭合曲面S，可以证明，

穿过S的通量应等于S所包围的极化电荷之和的负值，即极化电荷：因极化产生的束缚电荷

NanjingUniversityofInformationScience&Technology实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场

加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生附加电场，而附加电场

与外加电场方向相反，从而导致介质中的电场减弱，进而导致介质极化发生改变。附加电场在极化过程中不断发生变化，一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的附加电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。

极化附加场合成场外加场介质一般情况下（合成电场=外加电场+极化电荷产生的电场，后两者大体上方向相反，所以合成电场比外加电场小

)

NanjingUniversityofInformationScience&Technology实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度

与介质中的合成电场强度

成正比，即式中

e

称为电极化率，它是一个无量纲的正实数。

空间各点电极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。自由空间（真空中）的介电常数线性各向同性的介质中，

与

同方向各向异性的介质中（等离子体），

与不同方向

NanjingUniversityofInformationScience&Technology4.电位移引入新的场矢量

，称为电位移，或者电通量密度，单位是库仑每平方米。对于线性和各向同性的电介质

r

：相对介电常数，不小于1的无量纲常数

称为介质的介电常数。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology几种介质的相对介电常数的近似值介

质介

质空

气1.0石

英3.3油2.3云

母6.0纸1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯

水81石

腊2.1树

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6

r

r5.电流密度电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，记为i或者I电流强度是一个标量，单位是安培。电流的正方向：正电荷运动的方向。恒定电流：电流强度的大小不随时间变化；时变电流：电流强度的大小随时间而变化。体电流：电荷在具有一定截面的体积内运动形成的电流。

体电流密度也称为体电流的面密度。

方向:与该点正电荷的运动方向一致大小:穿过垂直于

的单位面积的电流体电流密度：面电流:电荷集中在一个很薄的表层运动所形成的电流。

体电流表面处的电流不是面电流，也不可能有面电流；面电流边缘处的电荷不是线电流，也不可能有线电流。

线电流：电荷集中在很细的线状物体上运动所形成的电流。空间总电流

大小：等于单位时间内穿过垂直于该电流的单位长度的电量，或等于穿过垂直于该电流的单位长度的电流。方向：与该点正电荷的运动方向一致。

面电流密度:面电流密度也称为面电流的线密度。

体电流分布面电流分布与电流方向垂直的截面。

电流方向与所取截面的法向方向之间的夹角。

与电流方向垂直的截面电流方向与所取线段的垂线之间的夹角。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology实验表明：导电煤质中任一点的体电流密度

与该点的电场强度

成正比此式称为欧姆定律的微分形式。

：导电媒质的电导率。

面电流的线密度体电流表面处的电流不是面电流，也不可能有面电流；面电流边缘处的电荷不是线电流，也不可能有线电流。

线电流总电流

NanjingUniversityofInformationScience&Technology6.磁感应强度

FBv

零线方向

洛伦兹力：运动电荷在磁场中受到的力。

实验表明：，为待定函数，电荷运动方向与磁场夹角。，此时，与磁场垂直。

磁感应强度：方向为磁场方向；大小等于电荷所受洛伦兹力最大值与电荷的运动速度和其电量乘积的比值，即

NanjingUniversityofInformationScience&Technology单位为特斯拉或韦伯每平方米。

相应地，以速度运动的电荷在磁场中所受的洛伦兹力可表示为注意：洛伦兹力的作用仅能改变电荷的运动方向，而不能改变运动电荷的位移。可见，磁场与运动电荷之间没有能量交换。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology7.磁化强度电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，对外不显示磁性。当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些磁矩将重新排列，同时还产生附加磁矩，从而宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为磁化。外加场磁化附加场媒质合成场电子的自旋电子绕核运动原子核的自旋

NanjingUniversityofInformationScience&Technology磁化强度：单位体积内分子磁偶极距的矢量和

磁偶极子——面积为S的小电流环I

与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增强，不同介质有不同结果；而介质极化总是导致合成电场减弱。

一般情况下——总磁场=外加磁场+磁化产生的附加磁场

NanjingUniversityofInformationScience&Technology、

根据磁化过程，媒质的磁性能分为抗磁性：合成磁场减弱，如银、铜、铋、锌、铅及汞等；顺磁性：合成磁场增强，如铝、锡、镁、钨、铂及钯等；铁磁性：产生很强的磁性。磁性能还具有非线性，且存在磁滞及剩磁

现象。例如铁、钴、镍等。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology8.磁场强度磁场强度：（亨利每米）是自由空间（真空）的磁导率

线性各向同性的介质中

m：

称为磁化率。是一个无量纲的常数，可以是正或负实数。

单位是安培每米（A/m）。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology

：磁导率

r

：相对磁导率

基本电磁物理量的关系电场力

磁场力

欧姆定律的微分形式

NanjingUniversityofInformationScience&Technology二.电磁场的基本定律1.库仑定律

Collum在1784-1785年间通过实验总结出来的关于电荷之间相互作用力的定律

q1与q2之间的距离矢量

q1

与q2之间的距离

q1指向q2的单位矢量

NanjingUniversityofInformationScience&Technology万有引力与库仑定律的异同相同点：1引发的“荷”不同：引力是质量引起的，电磁力是电量引起的；2两者的辐射方式不同：电磁力的最低极辐射（往往也是其所有辐射中最强的辐射）相应的，光子的自旋为1；引力的最低极辐射是4极辐射，相应的，引力子的自旋为2。3电磁场是线性场——光子不会产生次级光子；而引力场是非线性场——引力子也有质量（这是指其动质量，不是静质量），它会产生次级引力子，因此，强引力的情况下，引力的规律将远远偏离平方反比律，此时只能用现代最好的引力理论——广义相对论来处理相关问题不同点：公式形式接近：平方反比律。由于传递电磁力的虚光子与传递引力的虚引力子都是静止质量为0的媒介玻色子，这是两者的共同之处平方反比律。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology式中，和分别是场点和源点位置矢量点电荷在真空中建立电场，测试正电荷放入其中，则点电荷对测试电荷施加的作用力为根据电场强度的定义，得到

NanjingUniversityofInformationScience&Technology若存在N个点电荷，则诸电荷对处在场点位置上的测试电荷的总作用力应等于每一个点电荷分别对测试电荷的作用力的矢量和电场力服从叠加原理在场点位置上产生的电场应等于每一个点电荷分别在场点所产生的电场的矢量和

NanjingUniversityofInformationScience&Technology连续电荷分布的情况（三种）体电荷分布

线电荷分布

面电荷分布

NanjingUniversityofInformationScience&Technology在静电场中，电力线始于正电荷，终于负电荷，不会形成闭合回路。静电场中电场沿任意闭合回路的环量必为零。静电场的环量定律

用点电荷的场很容易验证。

静电场无旋场（斯托克斯定律证明）保守场

当实验电荷q0在保守场沿任一闭合回路移动一周，电场对其做功为零。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：半径为b的细圆环上分布着均匀的电荷，总电量为Q，试求圆环轴线上的电场强度？在圆环上取一小段圆柱坐标系中求解源点到场点的失径由公式得到

NanjingUniversityofInformationScience&Technology坐标系之间的相互转换电场强度若同样的电量均匀分布在同样半径的薄圆盘上，试求轴线上的电场强度？习题2.8当在z＝0时，电场强度为零，为什么？

NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.高斯定律高斯面：真空中的某一闭合曲面若S包围一个点电荷q立体角：空间任一闭合曲面对其内任一点所张的立体角均为真空中的高斯定律：穿过任一高斯面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的总电量与真空介电常数的比值。即

NanjingUniversityofInformationScience&Technology证明：电介质中电介质中的高斯定律：静电场中穿过任一高斯面的电位移通量等于该曲面所包围自由电荷的代数和。电介质中的高斯定律比真空中的高斯定律更普遍

NanjingUniversityofInformationScience&Technology电介质中的高斯定律表明，只有高斯面内的自由电荷才对穿过该面的电位移通量有贡献，而不必考虑极化电荷的影响。虽然穿过高斯面的通量仅与高斯面内部的电荷有关，但高斯面上的场矢量或却与高斯面内外的所有电荷都有关。一般情况下，高斯定律不能直接用来进行场强的计算。但当电位移(或电场)存在某些特殊的对称性时，应用高斯定律求或者将会带来很大的方便。注意点

NanjingUniversityofInformationScience&Technology例

计算点电荷的电场强度。

解：取球心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律得上式左端积分为或

NanjingUniversityofInformationScience&Technology例

设半径为a，电荷体密度为

的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaL

S1

选取圆柱坐标系，令z

轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一z值，上下均匀无限长，因此场量与z坐标无关。对于任一z为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z轴，且与径向坐标r一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度

无关。

取半径为r

，长度为L的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律

NanjingUniversityofInformationScience&Technology当r<a

时，则电量q为,求得电场强度为因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当r>a

时，则电量q为,求得电场强度为

NanjingUniversityofInformationScience&Technology上式中

a2

可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为=

a2

的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为的无限长线电荷的电场强度为

NanjingUniversityofInformationScience&Technology例已知半径为r1

的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为

1，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为

2

，外部区域为真空，如左下图示。r1r2r3r4

0

2

1试求：各区域中的电场强度；解

由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology在r<r1及r2<r<r3

区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。r1r2r3r4

0

2

1在r1<r<r2

区域中，由，得

同理，在r3<r<r4区域中，求得在r>r4区域中，求得

NanjingUniversityofInformationScience&Technology3.电荷守恒定律

电荷既不能被创造也不能被消灭，它只能从物体的一个部分转移到另一个部分或是从一个物体转移到另一个物体。若体积V是固定的，不随时间变化上式称为电流连续性方程或简称连续性方程，是电荷守恒定律的数学表达式。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology恒定电流

则基尔霍夫（Kirchhof）电流定律

式中，流出结点的支路电流取为正值，流入结点的支路电流取为负值上式为恒定电流的连续性方程

NanjingUniversityofInformationScience&Technology4.安培定律和比奥-萨伐定律

安培（Ampere）定律:电流元对电流元作用力为显然，载流回路之间的作用力同样满足牛顿第三定律，即闭合恒定电流对闭合恒定电流的作用力

NanjingUniversityofInformationScience&Technology点电荷在磁场中受到的作用力与安培定律相比较，得到去掉下标，得到源点在场点处建立的磁感应强度，即毕比奥-萨伐定律

NanjingUniversityofInformationScience&Technology将电流元在场点产生的磁感应强度公式应用于回路，以及推广到体电流和面电流，则容易写出以下诸式：体电流分布

面电流分布

线电流分布

以上都是比奥-萨伐定律的数学表示式

NanjingUniversityofInformationScience&Technology例：有限长线段从z＝a到z＝b，如图所示。求xy平面内任一点P处的磁感应强度？当a、b都趋向于无穷时，求P点的磁感应强度？解：

NanjingUniversityofInformationScience&Technology解：元电流

Idl

在其轴线上P点产生的

B例

真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。圆形载流回路轴线上的磁场分布根据圆环磁场对P点的对称性:圆形载流回路

NanjingUniversityofInformationScience&Technology5.磁通连续性定律—比奥-沙伐定律的另一种形式

在恒定电流所产生的恒定磁场中，磁感应线是既无头又无尾的闭合曲线。真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。

这种特性称为磁通连续性定律。恒定磁场的磁通连续性定律与静电场的高斯定律是相对应的，磁通连续性定律也常被称为恒定磁场中的高斯定律。磁场与电场的重要区别：穿过任一闭合曲面的磁通始终等于零，意味这在恒定磁场中不存在“磁荷”或者“磁单极”，而静电场中，存在“电荷”。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology6.安培环路定律定律：真空中恒定磁场的磁感应强度

满足下列方程式中，流向与积分回路绕行方向符合右手螺旋法则的电流取正号，反之电流取负号。若电流具有体电流分布，则安培环路定律为

NanjingUniversityofInformationScience&Technology磁介质中的安培环路定律磁介质中的安培环路定律表明，在恒定磁场中，磁场强度沿任一闭合回路的环量等于穿过该回路所限定面积的恒定传导电流。1.只有穿过闭合曲线所限定面积的传导电流，才对磁场强度沿回路的环量有贡献而不必考虑磁化电流的影响。2.虽然场矢量沿回路的环量仅与穿过该回路所限定面积的传导电流有关，但回路上的场矢量却与环路内外的所有电流都有关。注意点

NanjingUniversityofInformationScience&Technology

例：一根无限长、非常细的长直导线沿z轴放置，在z方向，载有电流I。用安培环路定律求空间任一点处的磁场强度？

由于对称性，磁力线必定是同心圆，在每个圆上磁场强度都是相等的，所以包围的电流为I

NanjingUniversityofInformationScience&Technology

例：一个非常长的、中空导体，内半径为a，外半径为b，轴线与z轴重合，载有电流I，电流分布是均匀的，求空间任意点的磁场强度？

NanjingUniversityofInformationScience&Technology7.法拉第电磁感应定律

定律：当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，在该回路上将产生感应电动势及其感应电流；且感应电动势的大小与所铰链的磁通量随时间变化率成正比，即楞次定律：导体回路中感应电流总是阻碍回路中磁通量的变化。式中负号是楞次定律的数学表示。感应电流方向就是电动势方向。增大感应电流方向？减小感应电流方向？注意三点说明：1.上式中的负号是楞次（Lenz）定律的数学表示式。楞次定律表明，导体回路中的感应电动势及其感应电流总是取这样的方向，以致它总是企图阻止与该回路所交链的磁通量的变化。2.引起磁通量变化的原因可以是导体回路固定不动，外磁场的变化；也可以是外磁场为恒定磁场，而导体回路做机械运动，“切割”磁力线，引起磁通的变化；还可以是两种情况兼而有之所引起的磁通量的变化。3.导体回路中感应电流的存在意味着导体回路内存在着感应电场。这个电场驱动导体回路中的自由电荷产生运动形成感应电流。而感应电动势就等于感应电场沿闭合导体回路的线积分。感应电流产生意味着导线中存在电场，这种电场称为感应电场，以

表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即于是，得到法拉第电磁感应定律的另一表达形式

注意：回路绕行方向与所围曲面法向成右手螺旋关系。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology三.麦克斯韦方程组的积分形式

麦克斯韦在总结前人的基础上，提出了时变电磁场的基本规律，并且将其用一套数学公式（麦克斯韦方程组）完整的表示了出来。在给出该方程组之前需了解麦克斯韦提出的两个假设。即提出两个假设旋涡电场的假设位移电流的假设1.麦克斯韦的两个假设

NanjingUniversityofInformationScience&Technology(1).麦克斯韦的漩涡电场假设

旋涡电场假设：即使导体回路不存在，变化的磁场也将在周围产生感应电场，且这种电场所建立的电力线是闭合的，即电场是旋涡场。

假设提出依据：1）由感应电流的出现，推断存在感应电场；

2）感应电场不是静电场，因它不是由电荷产生的；

3）实验表明，产生的感应电动势及其感应电流与导体种类、性质无关。于是，重写前面的法拉第电磁感应定律公式：从形式上看，两处公式没有区别，但实质上向前跨越了一大步。有了旋涡电场的假设，上式不管闭合回路是否由导体组成，也不管这个闭合回路是处在真空中或处在媒质中，都是适用的。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology若回路不变，即不变，则上式可写成这是时变电磁场的基本方程之一，它预示着变化的磁场将产生旋涡电场。(2).麦克斯韦的位移电流假设

既然变化的磁场能产生感应电场，那么，变化的电场是否将激励出感应磁场呢？若所限定的面积取为若所限定的面积取为存在矛盾安培环路定律

NanjingUniversityofInformationScience&Technology设极板面积为，充放电某时刻，一个极板上带电量

，面电荷密度，且另一极板上，带电量

，面电荷密度传导电流

电位移通量的变化率

显然，具有电流密度的意义；另外，极板上传导电流密度与方向一致。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology位移电流假设

：穿过电场中某一截面的电位移通量随时间变化率为通过该截面的位移电流，即；而电场中某一点的电位移矢量随时间的变化率为该点位移电流密度，即。全电流：传导电流、位移电流和运流电流的通称。

由于传导电流、运流电流不能在同一点出现，所以全电流：全电流密度：

NanjingUniversityofInformationScience&Technology全电流连续定律:对于空间任何闭合曲面，流入该面的全电流应等于流出该面的全电流，即广义安培环路定律：（全电流定律）变化的磁场旋涡电场变化的电场磁场预示电磁波的存在2.麦克斯韦方程组的积分形式

★麦克斯韦的旋涡电场假设表明变化着的磁场可以激发旋涡电场，而麦克斯韦位移电流假设表明变化着的电场可以激发旋涡磁场。将这两个假设结合在一起，它就预示着电磁波的存在。（只是假设，没有得到实验的验证。）

★麦克斯韦在前人工作的基础上总结了时变电磁场的普遍规律，并将这些规律用一套数学公式，即麦克斯韦方程组，完整地表示出来，为宏观电磁理论的发展做出了里程碑式的贡献。

NanjingUniversityofInformationScience&Technology2.麦克斯韦方程组的积分形式（5个）

——法拉第电磁感应定律、第二方程——全电流定律、第一方程

——磁通连续性定律、第三方程

——高斯定律、第四方程

——电荷守恒定律（电流连续性方程）

NanjingUniversityofInformationScience&Technology3.麦克斯韦方程组的微分形式

两个有用的矢量基本定理

高斯散度定理斯托克斯定理

NanjingUniversityofInformationScience&Technology五个方程中，只有两个旋度方程加上高斯定律或电流连续性方程才是独立的。麦克斯韦方程中有五个矢量和一个标量，也就是说有16个标量分量。显然，3个独立方程只有7个标量方程，是不能完全确定整个电磁场分布的。要做到这一点，还必须再有9个独立的标量方程。

当媒质为线性和各向同性时，有下列3个结构方程：

NanjingUniversityofInformationScience&Technology在无源区域内，，，由麦克斯韦方程可见，时变电磁场中的电场和磁场两者相互转换又相互依存，电力线和磁力线均为闭合曲线且相互铰链。时变的电场激励时变的磁场，时变的磁场又激励时变的电场，形成电磁波，以有限的速度传向远方。对于不随时间变化的静态场，则

那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。

例：真空中磁场强度的表达式为其中