2024广东省高中学业水平考试数学试题真题分类汇编（含答案）

第1页/共1页2019-2023年广东省学业水平考试数学真题选择题和填空题集合1.（2024年）已知集合M={1,2},N={-1,0,1},则M∪N=( )A{0,1,2} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,2}2.（2023年）设集合，，则（）AB.C. D.3.（2022年）已知集合，，则（）A.B.C.D.4.（2021年）设全集U={2,3,4,5}，A={2}，则(){2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}5.（2020年）已知集合则A.B.C.D.6.（2019年）已知集合,,则()A. B. C. D.参考答案：1.【答案】D【解析】∵M={1,2},N={-1,0,1}，∴M∪N={-1,0,1,2}，故选D2.【答案】C3.【答案】C【详解】依题意.4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D【解析】由并集的定义，可得.故选D.二、常用逻辑用语1.（2024年）命题P:“∀x∈R,x²≥0”的否定是（ ）A.∀x∈R,x²＜0 B.∃x0∈R,xC.∀x∈R,x²≥0 D.∃x0∈R,x22.（2020年）已知命题则为（）A. B.C. D.3.（2019年）10．命题“∀x∈R，sinx＋1≥0”的否定是()A．∃x0∈R，sinx0＋1<0 B．∀x∈R，sinx＋1<0C．∃x0∈R，sinx0＋1≥0 D．∀x∈R，sinx＋1≤0参考答案：1.【答案】B【解析】命题P:“∀x∈R,x²≥0”的否定是“B.∃x2.【答案】D【详解】因为命题所以为:.故选:D3.【答案】A【详解】全称命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x0∈R，sinx0＋1<0”．故选A.三、一元二次不等式1.不等式x²+4x-12<0的解集为( )A.{x|-6<x<-2} B.{x|-2<x<6}C.{x|-6<x<2} D.{x|2<x<5}2.（2023年）不等式的解集是（）A.或B.或C.D.3.（2022年）不等式的解集是（）AB.或C. D.或4.（2021年）不等式的解集为（）A.B.C.D.5.（2020年）函数的定义域是（）A.B.C.D.6.（2019年）不等式的解集为()A. B. C. D.参考答案：1.【答案】A【解析】由x²+4x-12<0得，（x+6）（x-2）＜0，解得-6<x<-2，故选A2.【答案】A【详解】的图象是开口向上的抛物线，它与轴的两交点分别是，，∴不等式的解为或，故选：A．3.【答案】D详解】依题意，解得或，所以不等式的解集是或4.【答案】B解：由得，故原不等式的解集为5.【答案】D6.【答案】D【解析】由，可得，解得.故选D.四、基本不等式1.（2024年）已知x>0,则x+4x的最小值为2.（2023年）已知、，且，则的最小值是（）A.B.C. D.3.（2022年）已知，，，则的最小值是（）A.9B.18C.D.274.（2021年）已知的最小值是（）A.B.6C.D.45．（2019年）已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为___________．参考答案：1.【答案】4【解析】∵x＞0，∴x+4x≥2x2.【答案】B【详解】因为、，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值是.3.【答案】B【详解】因为，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最小值是18，4.【答案】C【详解】因为所以【答案】【详解】，且，，当且仅当时取等号五、复数1.（2024年）已知复数z=2-i,则z=2.（2023年）已知复数，要让z为实数，则实数m为________.3.（2020年）2.设是虚数单位，则复数（）A.B.C.D.4.（2019年）2．设i为虚数单位，则复数i(3＋i)＝()A．1＋3iB．－1＋3iC．1－3iD．－1－3i参考答案：1.【答案】2+i【解析】∵z=2-i，∴z=2+i，故选D2.【答案】2【详解】为实数，则，．故答案为：2.3.【答案】A【详解】.故选:A4.【答案】B【详解】i(3＋i)＝3i＋i2＝3i－1.故选B.平面向量1.已知向量a=(x,3),b=(2,1),a⊥b,则x=（ ）A.6 B.32 C.-6 D.-2.（2023年）已知向量，则=（）A.B.C. D.3.（2023年）已知向量和的夹角为，，，则________.4.（2022年）已知点，，则（）A.B.C.D.5.（2022年）设向量，，若，则________．6.（2021年）已知向量________．7.（2020年）设向量，若，则________．8.（2019年）已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，－1)，则|a＋b|＝()A．1B.eq\r(5) C．5 D．259.（2019年）如图，△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，正确的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)a＋eq\f(1,4)bC.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)a－eq\f(1,4)b参考答案：1.【答案】A【解析】∵a⊥b，∴a•b=0，即2x+3×1=0，解得x=-故322.【答案】B【详解】由题意，故选：B．3.【答案】【详解】由平面向量数量积的定义可得.4.【答案】D【详解】5.【答案】1【详解】由于，所以.6.【答案】-4【详解】因为，所以7.【答案】【详解】因为,所以,解得.故答案为-68.【答案】C【详解】由a＝(2，－2)，b＝(2，－1)，可得a＋b＝(4，－3)，则|a＋b|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5.故选C.9.【答案】C【详解】由eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，可得eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b.七、概率与统计1.（2024年）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,根据这组数据，下列说法正确的是( )A.众数是7 B.平均数是7C.第75百分位数是8.5 D.中位数是82.（2023年）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（）A.至多投中一次 B.两次都投中C.只投中一次 D.两次都没投中3.（2023年）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（）A. B. C. D.4.（2023年）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为________.5.（2022年）某小组六名学生上周的体育运动时间为、、、、、，则该小组体育运动时间的平均数和方差是（）A.、 B.、 C.、 D.、6.（2022年）某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（）A.24 B.22 C.20 D.187.（2022年）从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．8.（2021年）同时抛掷两粒均匀的骰子，则向上的点数之和是6的概率是（）A.B.C.D.9.（2021年）1是表示某班6位学生期末数学考试成绩的茎叶图，则这6名学生的平均成绩为（）A.87B.86C.85.5D.8510.（2020年）某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（）A.94 B.93 C.92 D.9111.（2020年）从4张分别写有数字1，2，3，4卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是________．12.（2019年）某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A．7和eq\f(5,3)B．8和eq\f(8,3)C．7和1D．8和eq\f(2,3)13.（2019年）袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是________．14.（2024年）三个人过关，甲带560元，乙带350元，丙带180元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交元.(结果保留整数)参考答案：1.【答案】B【解析】由题意可知，众数是4，A错；中位数为7+82=7.5，D错；平均数为4+4+4+7+7+8+8+9+9+1010=7，B对；因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错；2.【答案】D【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确．3.【答案】B【详解】从3，4，12，13中任取两个的基本事件有，，，，，共6个，其中能和5组成勾股数的有两个基本事件，所以所求概率为．4.【答案】9【详解】由题意高二抽取的人数为．5.【答案】B【详解】由题意可知，该小组体育运动时间平均数为，方差为.6.【答案】C【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人.7.【答案】【详解】从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共种情况，其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共种情况，故所求事件的概率为.8.【答案】C【详解】同时抛掷两粒均匀的骰子一共有36种结果，其中点数之和为6的有5种结果，所以向上的点数之和是6的概率9.【答案】A【详解】10.【答案】B【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:.故选:B11.【答案】【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有种抽法,所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有种抽法,根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故答案为:12.【答案】A【详解】平均数x＝eq\f(1,6)×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s2＝eq\f(1,6)[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝eq\f(5,3).13.【答案】eq\f(2,5)【详解】记2个白球分别为白1，白2，3个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10种．其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).14.【答案】32【解析】乙应交350560+350+180八、三角函数1.（2024年）已知角α的顶点为坐标原点，始边为z轴的正半轴，终边过点(3,4),则角α的正切值为( )A.34 B.43 C.35 2.（2024年）要得到f（x）=cos（x-π2）的图像，需将余弦函数图像（ A.向左平行移动π2个单位长度 B.向右平行移动πC.向左平行移动π2个单位长度 D.向右平行移动π3.（2024年）sin30°cos60°+cos30°sin60°=（ ）A.12 B.32 C.1 D4.（2024年）函数fx=5.（2023年）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则的值为（）A. B. C. D.6.（2023年）要获得，只需要将正弦图像（）A.向左移动个单位 B.向右移动个单位C.向左移动个单位 D.向右移动个单位7.（2023年）函数的最小正周期是_____．8.（2022年）已知是第一象限角，且，则（）A. B. C. D.9.（2022年）为了得到函数y=cos(x+)的图象，只需把余弦曲线y=cosx的所有的点A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.（2021年）已知，则的值为（）B.C.D.-11.（2021年）为了得到函数的图像，只需要把函数的图像上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度12.（2021年）已知，则=13.（2020年）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角14.（2019年）已知角α的顶点与坐标原点重合，终边经过点P(4，－3)，则cosα＝________．参考答案：1.【答案】D【解析】根据公式tanα=yx=432.【答案】B【解析】函数图像平移左加右减，所以余弦函数y=cosx，向右平移π2个单位长度得到f（x）=cos（x-π2）的图像3.【答案】C【解析】sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin（30°+60°）=sin90°=1，故选C4.【答案】π【解析】函数fx=sin（2x+π45.【答案】D【详解】由题意．6.【答案】A【详解】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．7.【答案】【详解】，，，即函数的最小正周期是．8.【答案】B【详解】因为是第一象限角，则.9.【答案】A【详解】把余弦曲线上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象10.【答案】A【详解】11.【答案】A【详解】根据平移变换规律“左加右减”，的图像向右平移个单位长度就可以得到12.【答案】-3【详解】因为，所以13.【答案】B【详解】由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选B．14.【答案】eq\f(4,5)【详解】由题意得x＝4，y＝－3，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(42＋（－3）2)＝5，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4,5)九、解三角形1.（2020年）的内角A,B,C的对边分别为.已知,，且的面积为2，则（）A. B. C. D.1.【答案】B【详解】根据三角形的面积公式可得,所以,所以,由余弦定理可得,所以.十、函数1.（2024年）已知函数f(x)=log3x,则f(9)=( )A.1 B.-2 C.2 D.42.（2024年）下列函数图像中，为偶函数的是( )3.（2024年）已知幂函数f(x)=xa过点(2,4),则a=4.（2023年）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（）A.B.C. D.5.（2023年）下列函数可能是对数函数的是（）A. B.C. D.6.（2023年）已知函数，若，则的值是（）A B. C. D.7.（2023年）函数是偶函数，当时，，则________.8.（2022年）下列函数中，在区间上是减函数的是（）A. B. C. D.9.（2022年）已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.10.（2022年）函数是上的偶函数，当时，，则________．11.（2021年）下列函数为偶函数的是（）A.BCD12.（2021年）已知，，则的大小关系（）A.B.C.D.13.（2021年）下列函数在其定义域内为减函数的是（）A.B.C.D.14.（2021年）下列计算正确的是（）A.B.C.D.15.（2021年）已知函数，设16.（2020年）下列函数为偶函数的是（）A.B.C.D.17.（2020年）函数的定义域是（）A.B.C.D.18，（2020年）已知函数，设，则（）A.2B. C.D.19.（2020年）设，则（）A.B.C.D.20.（2019年）函数y＝log3(x＋2)的定义域为()A．(－2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)21.（2019年）已知，则()A. B. C. D.22.（2019年)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－4x，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．参考答案：1.【答案】C【解析】f(9)=log39=2，故选C2.【答案】C【解析】根据偶函数的图像性质可知，关于y轴对称的函数是偶函数，故选C3.【答案】2【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2,4)，∴2a=4，解得a=24.【答案】C【详解】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件；对于B选项，函数定义域上不单调，B不满足条件；对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件；对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件.5.【答案】A【详解】对数函数的定义域为，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.6.【答案】D【详解】，．7.【答案】【详解】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，8.【答案】D【详解】、、在上递增，ABC选项错误，在上递减，符合题意，D选项正确.9.【答案】A【详解】因为，，，因此，.10.【答案】9【详解】是偶函数，所以.11.【答案】B[解析]A选项既不是奇函数也不是偶函数，C和D选项是奇函数12.【答案】A【解析】，，所以13.【答案】D【解析】A在定义域内为增函数，B在定义域为增函数，C.在为增函数，D.在定义域为减函数。14.【答案】D【解析】A,B,15.【答案】-2【解析】因为-2<0,所以，所以16.【答案】B【详解】当时,,所以17.【答案】D18.【答案】A【详解】因为,所以,所以,所以.故选:A19.【答案】D【详解】因为,,20.【答案】A【详解】要使y＝log3(x＋2)有意义，则x＋2>0，解得x>－2，即定义域为(－2，＋∞)．故选A.21.【答案】D【详解】，则.故选D.22.【答案】－x2－4x【详解】当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，由奇函数可得f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x.十一、立体几何1.（2024年）已知l,m均为直线，且直线m⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.（2023年）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.（2023年）棱长为的正方体的内切球的直径为________.4.（2022年）已知直线与平面，则下列结论成立的是（）A.若直线垂直于平面内的一条直线，则B.若直线垂直于平面内的两条直线，则C.若直线平行于平面内的一条直线，则D.若直线与平面没有公共点，则5.（2021年）已知直线，若//,,则下列结论正确的是（）A.//B.与是异面直线C.D.以上均有可能6.（2020年）一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（）A.B.C.D.7.（2019年）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝()A．1 B.eq\r(2) C．2 D.eq\r(3)参考答案：1.【答案】A【解析】因为l⊥α，且直线m⊂α，所以l⊥m，即“l⊥α”能推出来“l⊥m”；因为没有指明l是否在α内，所以“l⊥m”不能推出来“l⊥α”故选A2.【答案】C【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件．3.【答案】【详解】棱长为的正方体的内切球的直径为.4.【答案】D【详解】对于A选项，若直线垂直于平面内的一条直线，则或与相交（不一定垂直）或，A错；对于B选项，若直线垂直于平面内的两条直线，则与的位置关系不确定，B错；对于C选项，若直线平行于平面内的一条直线，则或，C错；对于D选项，若直线与平面没有公共点，则，D对.5.【答案】D【详解】因为，//，所以6.【答案】D【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体外接球的直径,所以,7.【答案】B【详解】在长方体中，BDeq\o\al(2,1)＝AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1)，则22＝12＋12＋AAeq\o\al(2,1)，解得AA1＝eq\r(2).解答题解三角形及三角函数1.（2024年）已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8,C=π(1)求c;(2)求sinB。2.（2023年）在中，内角、、的对边分别为、、，，，.（1）求；（2）求.3.（2022年）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，（1）求b（2）求的值4.（2021年）如图2，在,D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3(1)求的面积（2）求边长AC的长5.（2020年）已知函数.(1)求函数的最小正周期和最大值；(2)若满足，求的值6.（2019年）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝eq\f(3,5)，bc＝5.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．参考答案：1.【答案】（1）∵a=5，b=8，C=π3，∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即c2=25+64-2×5×8×1∵c=7，C=π3，∴由正弦定理得bsinB=csinC，即8sinB=2.解：（1）由正弦定理可得，所以，，因为，则，故.（2）由（1）可知，所以，.3.解：（1）由余弦定理，所以.（2）由正弦定理.4.解：（1）在中，由余弦定理得：因为，所以（2）由（1）知因为，所以在中，由正弦定理得5.解：(1)函数，则的最小正周期是，的最大值是1由，得所以6.解：(1)因为A是△ABC的内角，即A∈(0，π)，cosA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).又bc＝5，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×eq\f(4,5)＝2.(2)由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5)，bc＝5，可得b2＋c2－a2＝6.由bc＝5，b＋c＝6，可得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26.所以26－a2＝6，解得a＝2eq\r(5).二、函数应用1.（2024年）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电最不超过200kw·h的部分按0.6元/(kw·h)收费，超过200kw·h的部分，按1.2元/(kw·h)收费。设某用户的用电量为xkw·h,对应电费为y元。(1)请写出y关于x的函数解析式；(2)某居民本月的用电量为230kw·h,求此用户本月应缴纳的电费。2.（2023年）某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%.（1）求该企业在2024年该项目的头投资金额；（2）该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?（参考数据：）3.（2022年）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过的部分但不超过的部分6元超过的部分9元（1）甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；（2）乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．4.（2021年）食品安全问题越来越引起人们的重视，为了给消费者提供放心的蔬菜，某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚，分别种植西红柿和黄氐′根据以往的种植经验，发现种植西红柿的年利润P(单位：万元)，种植黄瓜的年利润Q(单位：万元)与投入的资金x(4≤x≤16，单位：万元)满是，现该合作社共筹集正20万，将其中8万元投入种植西红和，剩余资金投入种植西瓜，求这两个大棚的年利润总和.参考答案：1.【答案】（1）由题意得，当0≤x≤200时，y=0.6x，当x＞200时，y=0.6×200+（x-200）×1.2=1.2x-120综上所述，y=y=0.6x，0≤x≤200当用电为230kw•h时，由（1）知y=1.2x-120所以y=1.2×230-120=156元答：（1）函数解析式为y=y=0.6x，0≤x≤2001.2x−120，x＞2002.解：（1）由题意2023年投资额为，2024年投资额为（万元）；（2）设第年投资金额将达到400万元，即，，，，因此在第9年即2030年投资金额将达到400万元．3.解：（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.（2）设用水量为，需要缴纳的水费为，由题可知，=3x,x≤123×1整理得，当时，，当时，，当时，，所以令，解得，因此乙用户该月的用水量为.4.解：黄瓜的投入资金为：20-8=12（万元）因为，所以西红柿的利润为：黄瓜的利润为：（万元）总利润为：(万元）三、立体几何1.（2024年）如图，直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2,F为线段BE上一动点.(1)求证DC//平面ABE；(2)求△ACF面积的最小值。2.（2023年）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.（1）证明BC⊥面PAC；（2）若求PB与面PAC的夹角.3.（2022年）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．（1）求证：平面PAC（2）若M是PC的中点，求三棱锥的体积．4.（2021年）如图3，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，,E,F分别为PD,BC的中点。（1）求三棱锥的体积（2）证明：5.（2020年）21.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE．6.（2019年）如图，三棱锥中，,,,，是的中点，点在线段上.(1)求证：;(2)若平面,求四棱锥的体积.(参考公式：锥体的体积公式，其