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文档简介
第1页/共1页2019-2023年广东省学业水平考试数学真题选择题和填空题集合1.(2024年)已知集合M={1,2},N={-1,0,1},则M∪N=( )A{0,1,2} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1,2}2.(2023年)设集合,,则()AB.C. D.3.(2022年)已知集合,,则()A.B.C.D.4.(2021年)设全集U={2,3,4,5},A={2},则(){2,3,4,5}B.{2,3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}5.(2020年)已知集合则A.B.C.D.6.(2019年)已知集合,,则()A. B. C. D.参考答案:1.【答案】D【解析】∵M={1,2},N={-1,0,1},∴M∪N={-1,0,1,2},故选D2.【答案】C3.【答案】C【详解】依题意.4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D【解析】由并集的定义,可得.故选D.二、常用逻辑用语1.(2024年)命题P:“∀x∈R,x²≥0”的否定是( )A.∀x∈R,x²<0 B.∃x0∈R,xC.∀x∈R,x²≥0 D.∃x0∈R,x22.(2020年)已知命题则为()A. B.C. D.3.(2019年)10.命题“∀x∈R,sinx+1≥0”的否定是()A.∃x0∈R,sinx0+1<0 B.∀x∈R,sinx+1<0C.∃x0∈R,sinx0+1≥0 D.∀x∈R,sinx+1≤0参考答案:1.【答案】B【解析】命题P:“∀x∈R,x²≥0”的否定是“B.∃x2.【答案】D【详解】因为命题所以为:.故选:D3.【答案】A【详解】全称命题的否定是把全称量词改为存在量词,并否定结论,则原命题的否定为“∃x0∈R,sinx0+1<0”.故选A.三、一元二次不等式1.不等式x²+4x-12<0的解集为( )A.{x|-6<x<-2} B.{x|-2<x<6}C.{x|-6<x<2} D.{x|2<x<5}2.(2023年)不等式的解集是()A.或B.或C.D.3.(2022年)不等式的解集是()AB.或C. D.或4.(2021年)不等式的解集为()A.B.C.D.5.(2020年)函数的定义域是()A.B.C.D.6.(2019年)不等式的解集为()A. B. C. D.参考答案:1.【答案】A【解析】由x²+4x-12<0得,(x+6)(x-2)<0,解得-6<x<-2,故选A2.【答案】A【详解】的图象是开口向上的抛物线,它与轴的两交点分别是,,∴不等式的解为或,故选:A.3.【答案】D详解】依题意,解得或,所以不等式的解集是或4.【答案】B解:由得,故原不等式的解集为5.【答案】D6.【答案】D【解析】由,可得,解得.故选D.四、基本不等式1.(2024年)已知x>0,则x+4x的最小值为2.(2023年)已知、,且,则的最小值是()A.B.C. D.3.(2022年)已知,,,则的最小值是()A.9B.18C.D.274.(2021年)已知的最小值是()A.B.6C.D.45.(2019年)已知x>0,y>0,且,则x+2y的最小值为___________.参考答案:1.【答案】4【解析】∵x>0,∴x+4x≥2x2.【答案】B【详解】因为、,且,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,故的最小值是.3.【答案】B【详解】因为,,由基本不等式得,当且仅当时等号成立,所以的最小值是18,4.【答案】C【详解】因为所以【答案】【详解】,且,,当且仅当时取等号五、复数1.(2024年)已知复数z=2-i,则z=2.(2023年)已知复数,要让z为实数,则实数m为________.3.(2020年)2.设是虚数单位,则复数()A.B.C.D.4.(2019年)2.设i为虚数单位,则复数i(3+i)=()A.1+3iB.-1+3iC.1-3iD.-1-3i参考答案:1.【答案】2+i【解析】∵z=2-i,∴z=2+i,故选D2.【答案】2【详解】为实数,则,.故答案为:2.3.【答案】A【详解】.故选:A4.【答案】B【详解】i(3+i)=3i+i2=3i-1.故选B.平面向量1.已知向量a=(x,3),b=(2,1),a⊥b,则x=( )A.6 B.32 C.-6 D.-2.(2023年)已知向量,则=()A.B.C. D.3.(2023年)已知向量和的夹角为,,,则________.4.(2022年)已知点,,则()A.B.C.D.5.(2022年)设向量,,若,则________.6.(2021年)已知向量________.7.(2020年)设向量,若,则________.8.(2019年)已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.eq\r(5) C.5 D.259.(2019年)如图,△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(BC,\s\up6(→))=4eq\o(BD,\s\up6(→)),用a,b表示eq\o(AD,\s\up6(→)),正确的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,4)a+eq\f(3,4)b B.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(5,4)a+eq\f(1,4)bC.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(3,4)a+eq\f(1,4)b D.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(5,4)a-eq\f(1,4)b参考答案:1.【答案】A【解析】∵a⊥b,∴a•b=0,即2x+3×1=0,解得x=-故322.【答案】B【详解】由题意,故选:B.3.【答案】【详解】由平面向量数量积的定义可得.4.【答案】D【详解】5.【答案】1【详解】由于,所以.6.【答案】-4【详解】因为,所以7.【答案】【详解】因为,所以,解得.故答案为-68.【答案】C【详解】由a=(2,-2),b=(2,-1),可得a+b=(4,-3),则|a+b|=eq\r(42+(-3)2)=5.故选C.9.【答案】C【详解】由eq\o(BC,\s\up6(→))=4eq\o(BD,\s\up6(→)),可得eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=4(eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))),则eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)),即eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(3,4)a+eq\f(1,4)b.七、概率与统计1.(2024年)从某班所有同学中随机抽取10人,获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下:4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,根据这组数据,下列说法正确的是( )A.众数是7 B.平均数是7C.第75百分位数是8.5 D.中位数是82.(2023年)某人连续投篮两次,则他至少投中一次的对立事件是()A.至多投中一次 B.两次都投中C.只投中一次 D.两次都没投中3.(2023年)若,则三个数称之为勾股数,从3,4,12,13中任取两个,能和5组成勾股数的概率是()A. B. C. D.4.(2023年)已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500,选派该校学生参加志愿者活动,采用分层抽样的方法选取27人,则高二抽取的人数为________.5.(2022年)某小组六名学生上周的体育运动时间为、、、、、,则该小组体育运动时间的平均数和方差是()A.、 B.、 C.、 D.、6.(2022年)某校高一学生550人,高二学生500人,高三学生450人,现有分层抽样,在高三抽取了18人,则高二应抽取的人数为()A.24 B.22 C.20 D.187.(2022年)从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动,则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________.8.(2021年)同时抛掷两粒均匀的骰子,则向上的点数之和是6的概率是()A.B.C.D.9.(2021年)1是表示某班6位学生期末数学考试成绩的茎叶图,则这6名学生的平均成绩为()A.87B.86C.85.5D.8510.(2020年)某次歌唱比赛中,7位评委为某选手打出的分数分别为83,91,91,94,94,95,96,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为()A.94 B.93 C.92 D.9111.(2020年)从4张分别写有数字1,2,3,4卡片中随机抽取2张,则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是________.12.(2019年)某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和eq\f(5,3)B.8和eq\f(8,3)C.7和1D.8和eq\f(2,3)13.(2019年)袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是________.14.(2024年)三个人过关,甲带560元,乙带350元,丙带180元,共要交100元关税,若按照比例缴纳,乙应交元.(结果保留整数)参考答案:1.【答案】B【解析】由题意可知,众数是4,A错;中位数为7+82=7.5,D错;平均数为4+4+4+7+7+8+8+9+9+1010=7,B对;因为为10×75%=7.5,所以第75百分位数为第8个数9,C错;2.【答案】D【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中,因此选项D正确.3.【答案】B【详解】从3,4,12,13中任取两个的基本事件有,,,,,共6个,其中能和5组成勾股数的有两个基本事件,所以所求概率为.4.【答案】9【详解】由题意高二抽取的人数为.5.【答案】B【详解】由题意可知,该小组体育运动时间平均数为,方差为.6.【答案】C【详解】设高二应抽取的人数为人,则,解得人.7.【答案】【详解】从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动,则所有的基本事件有:甲乙、甲丙、乙丙,共种情况,其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为:甲丙、乙丙,共种情况,故所求事件的概率为.8.【答案】C【详解】同时抛掷两粒均匀的骰子一共有36种结果,其中点数之和为6的有5种结果,所以向上的点数之和是6的概率9.【答案】A【详解】10.【答案】B【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:.故选:B11.【答案】【详解】从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张,总共有种抽法,所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有种抽法,根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故答案为:12.【答案】A【详解】平均数x=eq\f(1,6)×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s2=eq\f(1,6)[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=eq\f(5,3).13.【答案】eq\f(2,5)【详解】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=eq\f(4,10)=eq\f(2,5).14.【答案】32【解析】乙应交350560+350+180八、三角函数1.(2024年)已知角α的顶点为坐标原点,始边为z轴的正半轴,终边过点(3,4),则角α的正切值为( )A.34 B.43 C.35 2.(2024年)要得到f(x)=cos(x-π2)的图像,需将余弦函数图像( A.向左平行移动π2个单位长度 B.向右平行移动πC.向左平行移动π2个单位长度 D.向右平行移动π3.(2024年)sin30°cos60°+cos30°sin60°=( )A.12 B.32 C.1 D4.(2024年)函数fx=5.(2023年)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过,则的值为()A. B. C. D.6.(2023年)要获得,只需要将正弦图像()A.向左移动个单位 B.向右移动个单位C.向左移动个单位 D.向右移动个单位7.(2023年)函数的最小正周期是_____.8.(2022年)已知是第一象限角,且,则()A. B. C. D.9.(2022年)为了得到函数y=cos(x+)的图象,只需把余弦曲线y=cosx的所有的点A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.(2021年)已知,则的值为()B.C.D.-11.(2021年)为了得到函数的图像,只需要把函数的图像上所有的点()A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度12.(2021年)已知,则=13.(2020年)若sinα>0,且cosα<0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角14.(2019年)已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cosα=________.参考答案:1.【答案】D【解析】根据公式tanα=yx=432.【答案】B【解析】函数图像平移左加右减,所以余弦函数y=cosx,向右平移π2个单位长度得到f(x)=cos(x-π2)的图像3.【答案】C【解析】sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin(30°+60°)=sin90°=1,故选C4.【答案】π【解析】函数fx=sin(2x+π45.【答案】D【详解】由题意.6.【答案】A【详解】把的图象向左平移个单位,所得图象的函数解析式为.7.【答案】【详解】,,,即函数的最小正周期是.8.【答案】B【详解】因为是第一象限角,则.9.【答案】A【详解】把余弦曲线上的所有的点向左平移个单位长度,可得函数的图象10.【答案】A【详解】11.【答案】A【详解】根据平移变换规律“左加右减”,的图像向右平移个单位长度就可以得到12.【答案】-3【详解】因为,所以13.【答案】B【详解】由sinα>0,可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角;由cosα<0,可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角.∴取交集可得,α是第二象限角.故选B.14.【答案】eq\f(4,5)【详解】由题意得x=4,y=-3,r=eq\r(x2+y2)=eq\r(42+(-3)2)=5,cosα=eq\f(x,r)=eq\f(4,5)九、解三角形1.(2020年)的内角A,B,C的对边分别为.已知,,且的面积为2,则()A. B. C. D.1.【答案】B【详解】根据三角形的面积公式可得,所以,所以,由余弦定理可得,所以.十、函数1.(2024年)已知函数f(x)=log3x,则f(9)=( )A.1 B.-2 C.2 D.42.(2024年)下列函数图像中,为偶函数的是( )3.(2024年)已知幂函数f(x)=xa过点(2,4),则a=4.(2023年)下列函数中,在其定义域上是增函数的是()A.B.C. D.5.(2023年)下列函数可能是对数函数的是()A. B.C. D.6.(2023年)已知函数,若,则的值是()A B. C. D.7.(2023年)函数是偶函数,当时,,则________.8.(2022年)下列函数中,在区间上是减函数的是()A. B. C. D.9.(2022年)已知,,,则、、的大小关系是()A. B. C. D.10.(2022年)函数是上的偶函数,当时,,则________.11.(2021年)下列函数为偶函数的是()A.BCD12.(2021年)已知,,则的大小关系()A.B.C.D.13.(2021年)下列函数在其定义域内为减函数的是()A.B.C.D.14.(2021年)下列计算正确的是()A.B.C.D.15.(2021年)已知函数,设16.(2020年)下列函数为偶函数的是()A.B.C.D.17.(2020年)函数的定义域是()A.B.C.D.18,(2020年)已知函数,设,则()A.2B. C.D.19.(2020年)设,则()A.B.C.D.20.(2019年)函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)21.(2019年)已知,则()A. B. C. D.22.(2019年)已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=________.参考答案:1.【答案】C【解析】f(9)=log39=2,故选C2.【答案】C【解析】根据偶函数的图像性质可知,关于y轴对称的函数是偶函数,故选C3.【答案】2【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2,4),∴2a=4,解得a=24.【答案】C【详解】对于A选项,函数在定义域上为减函数,A不满足条件;对于B选项,函数定义域上不单调,B不满足条件;对于C选项,函数在定义域上为增函数,C满足条件;对于D选项,函数在定义域上不单调,D不满足条件.5.【答案】A【详解】对数函数的定义域为,ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.6.【答案】D【详解】,.7.【答案】【详解】因为当时,,所以当时,,所以,函数是偶函数,所以,所以,8.【答案】D【详解】、、在上递增,ABC选项错误,在上递减,符合题意,D选项正确.9.【答案】A【详解】因为,,,因此,.10.【答案】9【详解】是偶函数,所以.11.【答案】B[解析]A选项既不是奇函数也不是偶函数,C和D选项是奇函数12.【答案】A【解析】,,所以13.【答案】D【解析】A在定义域内为增函数,B在定义域为增函数,C.在为增函数,D.在定义域为减函数。14.【答案】D【解析】A,B,15.【答案】-2【解析】因为-2<0,所以,所以16.【答案】B【详解】当时,,所以17.【答案】D18.【答案】A【详解】因为,所以,所以,所以.故选:A19.【答案】D【详解】因为,,20.【答案】A【详解】要使y=log3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.21.【答案】D【详解】,则.故选D.22.【答案】-x2-4x【详解】当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由奇函数可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x.十一、立体几何1.(2024年)已知l,m均为直线,且直线m⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2023年)已知α和β是两个不同平面,A:,B:α和β没有公共点,则A是B的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2023年)棱长为的正方体的内切球的直径为________.4.(2022年)已知直线与平面,则下列结论成立的是()A.若直线垂直于平面内的一条直线,则B.若直线垂直于平面内的两条直线,则C.若直线平行于平面内的一条直线,则D.若直线与平面没有公共点,则5.(2021年)已知直线,若//,,则下列结论正确的是()A.//B.与是异面直线C.D.以上均有可能6.(2020年)一个棱长为2的正方体,其顶点均在同一球的球面上,则该球的表面积是()A.B.C.D.7.(2019年)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1=()A.1 B.eq\r(2) C.2 D.eq\r(3)参考答案:1.【答案】A【解析】因为l⊥α,且直线m⊂α,所以l⊥m,即“l⊥α”能推出来“l⊥m”;因为没有指明l是否在α内,所以“l⊥m”不能推出来“l⊥α”故选A2.【答案】C【详解】两个平面平行的定义是:两个平面没有公共点,则这两个平面平行,因此是的充要条件.3.【答案】【详解】棱长为的正方体的内切球的直径为.4.【答案】D【详解】对于A选项,若直线垂直于平面内的一条直线,则或与相交(不一定垂直)或,A错;对于B选项,若直线垂直于平面内的两条直线,则与的位置关系不确定,B错;对于C选项,若直线平行于平面内的一条直线,则或,C错;对于D选项,若直线与平面没有公共点,则,D对.5.【答案】D【详解】因为,//,所以6.【答案】D【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体外接球的直径,所以,7.【答案】B【详解】在长方体中,BDeq\o\al(2,1)=AB2+AD2+AAeq\o\al(2,1),则22=12+12+AAeq\o\al(2,1),解得AA1=eq\r(2).解答题解三角形及三角函数1.(2024年)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8,C=π(1)求c;(2)求sinB。2.(2023年)在中,内角、、的对边分别为、、,,,.(1)求;(2)求.3.(2022年)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,(1)求b(2)求的值4.(2021年)如图2,在,D是边AB上的点,CD=5,CB=7,DB=3(1)求的面积(2)求边长AC的长5.(2020年)已知函数.(1)求函数的最小正周期和最大值;(2)若满足,求的值6.(2019年)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=eq\f(3,5),bc=5.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.参考答案:1.【答案】(1)∵a=5,b=8,C=π3,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=25+64-2×5×8×1∵c=7,C=π3,∴由正弦定理得bsinB=csinC,即8sinB=2.解:(1)由正弦定理可得,所以,,因为,则,故.(2)由(1)可知,所以,.3.解:(1)由余弦定理,所以.(2)由正弦定理.4.解:(1)在中,由余弦定理得:因为,所以(2)由(1)知因为,所以在中,由正弦定理得5.解:(1)函数,则的最小正周期是,的最大值是1由,得所以6.解:(1)因为A是△ABC的内角,即A∈(0,π),cosA=eq\f(3,5),所以sinA=eq\r(1-cos2A)=eq\f(4,5).又bc=5,所以S△ABC=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)×5×eq\f(4,5)=2.(2)由cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(3,5),bc=5,可得b2+c2-a2=6.由bc=5,b+c=6,可得b2+c2=(b+c)2-2bc=26.所以26-a2=6,解得a=2eq\r(5).二、函数应用1.(2024年)某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式,即每户用电最不超过200kw·h的部分按0.6元/(kw·h)收费,超过200kw·h的部分,按1.2元/(kw·h)收费。设某用户的用电量为xkw·h,对应电费为y元。(1)请写出y关于x的函数解析式;(2)某居民本月的用电量为230kw·h,求此用户本月应缴纳的电费。2.(2023年)某企业十年内投资一个项目,2022年投资200万,之后每一年的投资额比前一年增长10%.(1)求该企业在2024年该项目的头投资金额;(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元?(参考数据:)3.(2022年)为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民用水实行“阶梯水价”,计算方法如下表:每户每月用水量水价不超过的部分3元超过的部分但不超过的部分6元超过的部分9元(1)甲用户某月的用水量为,求甲用户该月需要缴纳的水费;(2)乙用户某月缴纳的水费为54元,求乙用户该月的用水量.4.(2021年)食品安全问题越来越引起人们的重视,为了给消费者提供放心的蔬菜,某农村合作社搭建了两个无公害蔬菜大棚,分别种植西红柿和黄氐′根据以往的种植经验,发现种植西红柿的年利润P(单位:万元),种植黄瓜的年利润Q(单位:万元)与投入的资金x(4≤x≤16,单位:万元)满是,现该合作社共筹集正20万,将其中8万元投入种植西红和,剩余资金投入种植西瓜,求这两个大棚的年利润总和.参考答案:1.【答案】(1)由题意得,当0≤x≤200时,y=0.6x,当x>200时,y=0.6×200+(x-200)×1.2=1.2x-120综上所述,y=y=0.6x,0≤x≤200当用电为230kw•h时,由(1)知y=1.2x-120所以y=1.2×230-120=156元答:(1)函数解析式为y=y=0.6x,0≤x≤2001.2x−120,x>2002.解:(1)由题意2023年投资额为,2024年投资额为(万元);(2)设第年投资金额将达到400万元,即,,,,因此在第9年即2030年投资金额将达到400万元.3.解:(1)甲用户该月需要缴纳的水费:元.(2)设用水量为,需要缴纳的水费为,由题可知,=3x,x≤123×1整理得,当时,,当时,,当时,,所以令,解得,因此乙用户该月的用水量为.4.解:黄瓜的投入资金为:20-8=12(万元)因为,所以西红柿的利润为:黄瓜的利润为:(万元)总利润为:(万元)三、立体几何1.(2024年)如图,直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2,F为线段BE上一动点.(1)求证DC//平面ABE;(2)求△ACF面积的最小值。2.(2023年)如图,圆的直径为4,直线PA垂直圆所在的平面,C是圆上的任意一点.(1)证明BC⊥面PAC;(2)若求PB与面PAC的夹角.3.(2022年)如图,PA是圆柱的母线,AB是底面圆的直径,C是底面圆周上异于A.B的一点,且.(1)求证:平面PAC(2)若M是PC的中点,求三棱锥的体积.4.(2021年)如图3,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,PA=AC=2,,E,F分别为PD,BC的中点。(1)求三棱锥的体积(2)证明:5.(2020年)21.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,点D,E分别是BC,AB1的中点.(1)证明:DE∥平面ACC1A1;(2)若BB1=1,证明:C1D⊥平面ADE.6.(2019年)如图,三棱锥中,,,,,是的中点,点在线段上.(1)求证:;(2)若平面,求四棱锥的体积.(参考公式:锥体的体积公式,其
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