2024年中考数学 中心对称图形-圆解答题与综合题100题【含答案】

[2024年中考专题培优训练】中心对称图形-圆解答题与综合题100题

一、解答题

1.如图，已知圆锥的底面半径r为10cm,母线长为40cm.求它的侧面展开扇形的圆心角的度

数和它的全面积.

2.如图，。0半径为10cm,AB是。0的一条弦且NAOB=60。，求图中阴影部分的面积.

3.如图，AB,AC是。。的两条弦，且AB=AC,D是比上一点，P是AC上一点.若NBDC=150。,

求NAPC的度数.

4.如图所示，在中，ZC=90°,AC=4,3c=3.求以直角边所在直线为轴，把△48C旋转

一周得到的圆锥的侧面积.

B

1/93

5.如图，AB是。O的直径，点C,E在。O上，AC平分NBAE,CD_LAE交AE的延长线于点D.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)连接EC,若DE=1,AE=2,求EC的长.

6.如图，已知AABC中，ZB=45°,AB=4,tanC=2,。。过点A、C,交BC边于点D,且防=衣,

求CD的长

7.在。。中，AB为直径，过。。上一点C作Q0的切线，与的延长线交于点P,连接BC.

图①图②

(1)如图①，若ZP=4O。，求乙PBC的大小；

(2)如图②，过点B作PC的垂线，垂足为。，交。。于点E,连接CE,若4B=4,CE//PB,求DE

的长.

8.已知：如图，AB是AABC的外接圆。的直径，D为。。上一点，且DELCD,交BC于点E.求

证.AC_CD

2/93

A

C

D

B

9.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点0为圆心的圆的一部分，如图EM经过圆心交。。于

点E,EMXCD,并且CD=4cm,EM=6cm,求。。的半径.

10.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一.如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8血，

水面宽AB为8m,求桥拱的半径.

11.如图，矩形48CD的对角线/C,AD相交于点O.

求证：A,B,C,。四个点在以点。为圆心的同一个圆上.

Q

12.如图，PA,PB分别与。。相切于4B两点，AC是。。的直径.

3/93

（2）连接P。交00于点D,若2C=6,cos^BAC=求PD的长.

13.一个圆形人工湖示意图如图所示，弦是湖上的一座桥.已知4B长为100切，圆周角NC=45。,

求这个人工湖半径OA的长.

14.如图，在Rt^ABC中，NACB=90。，AC=BC=1,E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径

的圆弧交AB于点D,交AC的延长于点F,若图中两个阴影部分的面积相等，求AF的长.

15.一个圆形人工湖示意图如图所示，弦AB是湖上的一座桥.已知AB长为100血,圆周角ZC=

45°,求这个人工湖半径。4的长.

16.如图，是。。的直径，点C,D在。。上，ZBCD=45°.

4/93

c

D

(1)求证：AD=BD；

(2)若NCDB=30。，BC=3,求。。的半径.

17.如图，AABC分别交00于点A,B,D,E,且CA=CB.求证：AD=BE.

18.如图，。是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDA.AB,EFLAB,EGJ.CO.求证：CD=GF.

19.如图，△4BC的三个顶点都在。O上，直径NDAC=2NB,求/C的长.

20.如图，在AABC中，AB=AC.以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,

使EF=AE,连结FB,FC.

5/93

c

E

(1)求证：四边形ABFC是菱形.

(2)若AD=7,BE=2,求菱形ABFC的面积.

21.如图甲所示，。。为锐角三角形ABC的外接圆，点。在船上，AD交BC于点E,点F在AE上,

且满足N4FB—NBFD=ZACB,FG〃人C交BC于点G,BE=FG,连结BD,DG.^ACB=a.

(1)用含a的代数式表示ZBFD

⑵求证：△BDESAFDG.

(3)如图乙所示，AD为。。的直径，当协的长为2时，求公的长.

22.如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的，现想用毛毡搭建底面积为97rm2,高为6m,

外围高为2m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留兀)

23.如图所示，在。。中，0A10B,乙4=35°,求曲和比的度数.

6/93

24.如图，0为菱形ABCD对角线上一点，。。与BC相切于点M.求证：CD与。0相切.

(、/D

(/okY/

B—

25.如图，AB是。0的切线，A为切点，AC是。O的弦，过O作OHLAC于点H.若0H=3,AB

=12,B0=13,求：。。的半径和AC的长.

26.已知：如图，在。O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.求证：4OAC"OBD.

27.如图，4B是。。的弦，C是。。上的一点，且N4cB=60。，。。14B于点E,交。。于点D.若

O0的半径为6,求弦的长.

28.已知，如图：AB是。O的直径，AB=AC,BC交。0于D,DELAC于点E,求证：DE是。O

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的切线.

C

29.如图，在。。中，弦AB与弦CD相交于点E,且AB=CD.求证：CE=BE.

30.四边形ABCD,GFED都是正方形.

(1)当正方形GFED绕D旋转到如图1的位置时,直接写出AE和CG的关

系：;

(2)当正方形GFED绕D旋转到如图2时，连接CG,AE.

①求证：AE=CG,AE1CG-,

②如图3,4。=4,直线AE与CG交于P点，求在旋转过程中BP的最大值.

31.如图，在AABC中，AB=4cm,ZB=30°,ZACB=45°.以A为圆心，AC长为半径作弧，与AB

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A

32.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直

径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm,求出这个陀螺的表面积

33.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形

第三个内角的遥望角.

如图1,NE是AABC中NA的遥望角，如图2,四边形ABCD内接于。O,AD^BD,四边形

ABCD的外角平分线DF交。O于点F,连接BF并延长交CD的延长线于点E.

求证：ZBEC是AABC中ZBAC的遥望角.

图1图2

34.如图，在扇形A0B中,圆心角NAOB=90。，半径0A=2.点P为AB上一点，连结0P，过点A

B

作AQL0P于点Q.?/Q

AO

9/93

(1)求脑的长.

(2)当点A、Q、B在同一条直线上时，求扇形AOP的面积.

(3)连结BQ,则线段BQ长的最小值为.

(4)延长AQ,交直线0B于点C,若点Q为线段AC的三等分点，直接写出AC的长。

35.如图所示，在AABC中，。是NB4C的平分线上一点，BD1AD于点D,过点。作DE〃AC交AB于

点E.求证：点E是A,B,D三点的外接圆的圆心.

36.已知：如图，四边形ABCD内接于。0,且AD是。。的直径，C是皿的中点，AB与DC的延

长线交于。0外一点E.求证：BC=EC.

37.如图，已知扇形A0B的圆心角为120。，半径OA为6cm.求扇形AOB的弧长和面积.

38.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.

如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面

39.如图，AE是。O的直径，半径OC垂直弦AB于点D,连结BE,ED.已知AB=2V7,CD=1.

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E

B

C

(1)求。O的半径.

(2)求线段DE的长.

40.如图所示，AB,CD是半径为5的O。的两条弦，AB=8,CD=6,MN是O。的直径，AB1MN

于点E,CDLMN于点F,且点E,F位于点。的两侧.若P为EF上任意一点，求24+PC的最小值.

41.如图，以AZBC的一边为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为。、E.

(1)若DE=BE,求证：AB=AC.

(2)若D、E为半圆的三等分点，且半径为2,图中阴影部分的面积是.(结果保留兀和

根号)

42.已知：如图，点E是^ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：

DE=DB.

D

11/93

43.如图，四边形0ABe是平行四边形，以点。为圆心，0C为半径的。。与相切于点B,

与A0相交于点D,A0的延长线交O。于点E,连接EB交0C于点F,求NC和乙E的

度数.

44.已知排水管的截面为如图所示的。。半径为13dm,圆心。到水面的距离是5dm,求水面宽.

45.如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知:

AB=24cm,CD=8cm.求残片所在圆的面积.

46.如图，AZBC是以ZB=a为斜边的等腰直角三角形，其内部的4段弧均等于以BC为直径的J圆周,

求图中阴影部分的面积.

47.如图，MB,MD是。O的两条弦，点A,C分别在M瓦MD1.,且AB=CD,M是女的中点.求

证：MB=MD.

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M

4

48.如图，在。O中，直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,将4ACE沿AC翻折得到AACF,

直线FC与直线AB相交于点G.

(1)直线FC与。。有何位置关系？并说明理由；

(2)若OB=BG=2,求CD的长.

49.已知：如图，在。O中，弦AB=AC,AD是。。的直径.求证：AD平分NBAC.

50.如图，四边形ABCD内接于OO,BD是。。的直径，AELCD于点E,DA平分NBDE

(I)求证：AE是。O的切线；

(II)若NDBC=30。，DE=lcm,求BD的长.

51.如图，在扇形OAB中，ZAOB=110°,半径OA=18.将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O

恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C.求弧AD的长.(结果保留兀)

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52.如图，PA，PB分别与。。相切于A,B两点，点C在。O上，已知ZC=65°，求NP

的度数.

53.如图，AB是。0的直径，点C在。0上，延长BC至点D,使CD=BC,连接DA并延长，与

。。的另一个交点为E,连接AC,CE,若NE=26。，求ND的度数.

E

54.如图，已知是。。的直径，点C在。。上，点E在ZB上，作。E1AB交AC的延长线于点D,过

点C作。。的切线CF交DE于点F.

A

(1)求证：CF=DF.

(2)若点C为4。中点，CF=苧，sin^ADE=|,求。。的半径.

55.如图，已知。O的两条弦AB、CD,且AB=CD.求证：AD=BC.

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AC

O

D

56.一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°,弧长为2071的扇形，试求该圆锥底面的半径及

它的母线的长.

57.如图，A,B、C、。是。。上的四点，2B=DC.求证：AC=BD.

58.如图，&ABC内接于。。，且为。。的直径，过点C作。。的切线CD交AB的

延长线于点。，点E在直径AB上，且DE=DC,连接CE并延长交。。于点F.连接AF,

BF，试判断AF与BF的数量关系，并说明理由.

59.如图，已知4B是。。的直径，P是4。上一点，点C、。在直径两侧的圆周上，若PB平分NCPO,求

证：劣弧BC与劣弧BD相等.

15/93

60.如图是一圆锥，底面圆的半径为AO=1,高PO=V5.求侧面展开图面积.

二'作图题

61.请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.(用虚线表示画图过程，实线表示画图

（图1）（图2）

(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆的一条直

径；

(2)如图2,BA,BD是。O中的两条弦，C是BD上一点，ZBAC=50°,在图中画一个含有50。

角的直角三角形.

62.如图，ZXABC的顶点坐标分别为A(0,1),B(3,3),C(1,3).

16/93

(1)画出AABC关于点O的中心对称图形△AiBCi；

(2)画出AABC绕点A逆时针旋转90。的AAB2c2；直接写出点C2的坐标；

(3)求在AABC旋转到AAB2c2的过程中，线段AC所扫过形成的图形的面积.

63.如图，在边长为1的正方形网格中，AABO的顶点均在格点上，点A,B的坐标分别是A(2,2),

B(1,3),把△ABO绕点0逆时针旋转90。后得到△AiBQ.

(1)画出△AiBQ,直接写出点Ai,Bi的坐标;

(2)求在旋转过程中，AABO所扫过的面积.

64.如图，在△ABC中，乙4cB=90。.

AL/-------------------------

(1)实践与操作：利用尺规作AZBC的外接圆，圆心为点0(要求：尺规作图并保留作图痕迹,

不写作法，标明字母).

(2)猜想与证明：若NC4B=60。，试猜想线段AC与。。半径r的数量关系，并加以证明.

65.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°.

17/93

AB

(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)

①作AC的垂直平分线，交AB于点O,交AC于点D；②以0为圆心，0A为半径作圆，交0D

的延长线于点E.

(2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.①判断点B与。0的位置关系并说明理由；②若

DE=2,AC=8,求。。的半径.

(1)尺规作图:作aABC的外接圆。O.(保留作图痕迹，不写画法)

(2)若NA=45。，。。的半径为1,求BC的度数和BC的长.

67.如图:在平面直角坐标系xOy中，点X(-2,2),5(4.4).

(1)尺规作图:求作过4,B,0三点的圆;

(2)设过4,B.0三点的圆的圆心为M,利用网格，求点M的坐标；

(3)若直线x=a与OM相交，直接写出a的取值范围.

68.如图，边长为1的正方形组成的网格中，A40B的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是4(3,2),

B(l,3).

18/93

(1)作出绕点。逆时针旋转90。以后的图形；

(2)求出点B在旋转过程中所经过的路径的长度；

(3)点P在x轴上，当24+PB的值最小时，求点P的坐标.

⑴画出△关于y轴的对称图形A4/1的；

⑵画出将△4BC绕原点O逆时针旋转90。得到的△2c2；

⑶求出(2)中点A所经过的路径长.

70.如图，已知AABC三个顶点的坐标分别为4(—1,2),B(—3,4)((—2,6)在给出的平面直角坐

标系中；

19/93

(1)画出AABC绕点A顺时针旋转90°后得到的AAB1C1；并直接写出,g的坐标；

(2)计算线段AB旋转到AB】位置时扫过的图形面积.

三'综合题

71.如图，AB为。。的直径，E为。。上一点，点C为防的中点，过点C作直线CD垂直直线AE,

垂足为D.

(1)求证：DC为。。的切线；

(2)若AB=4,NCAD=30。，求AC.

72.如图所示，在AABC中，以BC为直径的圆交AB于点D,ZACD=ZABC.

(1)求证：CA是圆的切线.

(2)若点E是BC上一点，已知BE=6,cosZABC=当器，tanNAEC=(,求圆的直径.

J.DD

73.如图，A,B是。O上两点，ZAOB=120°,C为弧AB上一点.

20/93

H

(1)求NACB的度数；

(2)若C是弧AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.

74.如图所示，AB为。。的直径，AB=AC,BC交O。于点D,AC交O。于点E.

(1)若Z.BAC=50°,求Z.EBC的度数.

(2)连接DE,若DE=2,求BC的长.

75.如图，在。。中，AB为直径，CD与。。相切于点C,弦CF1AB于点E,连接AC.

(1)求证：AACD=AACF；

(2)当AD1CD时，BE=3cm,CF=12cm,求AD的长.

76.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,点O是AB边上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC

边相切于点D,与边AB,BC分别相交于点E,F.

(1)求证：DE=DF；

(2)当BC=4,NA=30。时，求AE的长.

77.如图，AB为半圆。的直径，C为半圆。上一点，连接AC,BC,过点。作。。1AC于

点。，过点2作半圆。的切线，交0D的延长线于点E,连接BD并延长，交AE于点F.

21/93

(1)求证：AE-BC=AD-AB；

(2)若半圆。的直径为5,sm^BAC=|，求AF的长.

78.如图，以四边形4BCD的对角线BD为直径作圆，圆心为0,点A、C在。0上，过点A作4EJ.CD

的延长线于点E,已知ZM平分NBDE.

(1)求证：4E是。。切线；

(2)若ZE=4,CD=6,求。。的半径和4。的长.

79.如图，已知在。。中，AB=BC=CD,0C与AD相交于点E.求证:

(1)AD^BC

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(2)四边形BCDE为菱形.

80.如图，AB是。。的直径，CD是。。切线，切点为C,点F在。0上，FA1CD,

垂足为点E,连接CF,AB交于点H.

⑴求证：CF=CB

(2)若凡4==1,求。B的长.

81.如图，D为。O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是。。的切线，ZC=30°.

(1)求NCBD的度数；

(2)过点B作。O的切线交CD的延长线于点E,若AB=6,依题意补全图形并求DE的长.

82.如图，四边形ABCD的四个顶点在以AC为直径的。。上，点D为AC的中点，过圆心O作OELAB

于点E,交BD于点F,AC=10,OF=1.

(1)求证：ZABD=45°.

(2)求AB的长.

(3)求FG的长.

83.如图，AB是。。的直径，BC交于点D,E是弧BD的中点，AE与BC交于

点F,/-C=2/-EAB.

23/93

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若cosf=j,C4=6,求AF的长.

84.如图，AB是。0的直径，AC是。。的切线，切点为A,BC交。O于点D,点E是AC的中点.

(1)求证：直线DE是。0的切线；

(2)若。O半径为1,BC=4,求图中阴影部分的面积.

85.如图，在。。中，AB为。。的直径，C为。0上一点，DP是。。的切线，过点P作AC的垂线，交2C

的延长线于点D.

(1)求证：2P平分

(2)若2C=5,sinZ-APC=求DP的长.

86.如图，48为。。的直径，CB,C。分别切。。于点8,D,CD交氏4的延长线于点E,CO的延

长线交。。于点G,所，。G于点?

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c

(2)若BC=6,DE=4,求所的长.

87.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以AB为直径作。O,点D为。0上一点，且CD=CB,

连接DO并延长交CB的延长线于点E.

(1)判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.

88.在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。0交AB于点D,点E是边BC的中点，连结

DE.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若AD=4,BD=9,求。0的半径.

89.如图，在。O中，弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD±CB.

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BD

（1）求证：AB=CD；

（2）如果。O的直径为10,DE=1,求AE的长.

90.请阅读下面材料，并完成相应的任务；

阿基米德折弦定理

阿基米德（Arehimedes,公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一,

他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.

阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根

据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是O。的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,

M是痛C的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CC=AB+BD.

这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明C。=AB+BD的部分证明过程.

证明：如图2,过点M作MH1射线AB,垂足为点H,连接MA,MB,MC.

是@C的中点，

：.MA=MC.

任务:

26/93

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3,已知等边三角形ABC内接于O。，D为公上一点，^ABD=15°,CE，BC于点E,

CE=2,连接AD,则ADAB的周长是.

四'实践探究题

91.［感知］已知四边形ABCD中，ZA=ZC=90°.求证：A、B、C、D四点在同一个圆上.

（1）李明同学认为：连结BD,取BD的中点0,连结0A、OC来证明，请你按照李明的思路完

成证明.

（2）［拓展］如图②，在正方形ABCD中，AB=8,点F是AD中点，点E是边AB上一点，FP±CE

于点P.

图③

如图②，当点P在线段BD上时，PC=

（3）如图③，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N.则MN的最小值为

92.操作探究题

（1）已知ZC是半圆。的直径，乙40B=（竺^）。（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆0的一个

圆心角.

操作：如图1,分别将半圆。的圆心角乙40B=（粤9。（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求:

27/93

仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

B

交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙40B=（噜）。所对的弧三等分吗?

从上面的操作我发现，就是利用60。、呼?所对的弧去找e豹"的三分

之一即［第r所对的孤.

我发现了它们之间的数最关系是4X〔愕"-60。=（署:

我再试试：当”=28时.〔嗡『、剑、［量f之间存在数量关系

因此可以仅用画规将半圜。的圆心角乙HOB=［勘”所对的弧三等分.

探究：你认为当"满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙40B=（甯）。所对的弧三

等分？说说你的理由.

（2）如图2,O。的圆周角NPMQ=（然）。.为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14

等分弧口（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

28/93

Q

93.阅读下列材料：

已知实数m,n满足(2m2+n2+l)(2m2+n2-l)=80,试求2m2+d的值.

解：设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t?—1=80,1?=81,

所以t=±9,因为2m2+1PK),所以2m2+n2=9.

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使

复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)已知实数x、y,满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x?+y2的值;

(2)已知Rt^ACB的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足(a2+b?)(a2+b2-4)=5,求

如图1,点E是正方形ABC。内的一点，过点E的直线4Q,以DE为边向右侧作正方形DEFG,连接GC,

直线GC与直线4Q交于点P,则线段ZE与GC之间的关系为.

(2)【问题类比】

如图2,当点E是正方形4BCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的

结论；若不成立，请说明理由；

(3)【拓展延伸】

如图3,点E是边长为6的正方形4BCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点

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P到边4。的最大距离为(直接写出结果).

95.【问题情景】

含30。角的直角三角板2BC中乙4=30。.将其绕直角顶点C顺时针旋转a角(0。<a<90。),得至ijRtA

A'B'C，边4'C与边AB交于点D.

(1)如图1,若A'B边经过点B,贝Ua的度数为。；

(2)【探究发现】

如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE||4月'交CB'边于点E,连接BE,小明发现在三角板旋

转的过程中，NCBE度数是定值，求NCBE的度数；

(3)【拓展延伸】

在(2)的条件下，设BC=1,ABDE的面积为S,当S=:SMBC时，

①求的长；

②以点E为圆心，BE为半径作OE,并判断此时直线4'C与OE的位置关系.

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2满足函数关系式丫=焉X.

EH

FG

图3

问题解决

任求圆形桥

务确定桥拱半径拱的半

1径.

根据图3

状态，货

船能否通

过圆形桥

拱？若

能，最多

任

还能卸载

务拟定设计方案

多少吨货

2

物？若不

能，至少

要增加多

少吨货物

才能通

过？

97.如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和

工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，力B为车轮。。的直径，过圆心0的车架

2C一端点C着地时，地面CD与车轮。。相切于点D,连接ZD,BD.

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（1）徽徽猜想NC+2ZBDC=9O。，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；

（2）若第=孚，BC=2米，求车轮的直径AB的长.

98.平面内有A,B,C,D四个点，试探索：

（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作个圆.

（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆.

（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作个圆.

（4）过A,B,C,D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？

99.请阅读材料，并完成相应的任务.

在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断

改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是

顶点在圆上、圆外和圆内的角结合教学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角

进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角.顶点在圆内，两边都与圆相交的角叫

做圆内角，如图1，ZAP/和乙4P2B分别是协所对的圆外角和圆内角.

P

如图2,点4B在。。上，乙4PB为防所对的一个圆外角ZP,BP分别交。。于点C,D.若

^AOB=120°,比）所对的圆心角为50。，求乙4PB.勤奋小组的解题过程（部分）如下：

解：如图2,连接4D,OC,OD.

■■■乙4DB是油所对的圆周角，且乙4OB=120°,

1

・•・^ADB=^AOB=60°.

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(1)如图1,在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是：—；

A.公理化思想B.分类讨论C.数形结合

(2)将勤奋小组的解题过程补充完整；

(3)如图3,当点P在。0内时，乙4PB是协所对的一个圆内角，延长4P交。。于点C,延长BP

交。。于点。，若设乙40B=zn。，而所对的圆心角为n。，贝I」乙4PB=<

图(2)图(3)

(1)【感知】如图(1)已知四边形4BCD是圆0的内接四边形，=AB,易知ZDCA=乙4cB.(不

用证明)

(2)【拓展】在【感知】的条件下，BD与4C交于点E,已知4。=4,AC=10,求AE的长.

(3)【应用】已知AZBC中AB=4C=5,点D为BC中点，以4C为斜边向上作等腰直角三角形,

当4C把△ADE的面积分为1：2两部分时，DF=

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答案解析部分

L【答案】解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知:

71X71X40

27rx10=n—90°,

180

，侧面展开扇形的圆心角的度数是90°.

全面积=底面积+展开侧面积,

90X71X402

全面积为:nx102+=5OO7T

-360~

2.【答案】解：如图，作OCJ.AB于点C.

由圆的基本性质可知OA=OB=10cm,

'：^AOB=60°,

：.^AOB为等边三角形，

J.^AOC=30°,AB=OA=OB=10cm.

在△40C中，。/=10cm,AAOC=30°

1

••AC=々OZ=5cm,

•**OC=VOX2—AC2=VOA2—AC2—5V3cm，

LAOB=2。。,AB=2x5V3x10=25V3cm2.

2

・・060XTTXOZ260XTTX10502

.S扇形AOB=-360-=—360—=手兀51，

,'S阴影=S扇形AOB-S“OB=($7r—25V3)cm2.

3.【答案】解：在圆内接四边形ABCD中，ZBAC=1800-ZBDC=180°-150°=30°,

则次:的度数是60。，

又：AB=AC,

-'•AB=AC^X(360°-60°)=150°,

,月BC=210°，

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・•・NAPC=*4B另X210°=1050.

4.【答案】解：VZC=90°,AC=4,BC=3,AAB=5

若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为兀,BC,AB=15兀

若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为兀久(2公：6=20兀

5.【答案】(1)证明：连接OC.

,.・OA=OC,

・•・NOAC=NOCA.

VAC平分NBAE,

・•・NOAC=NDAC.

・•・NDAC=NOCA.

・・・AD〃OC.

・•・NADC=NOCF.

VCD±AE,

・・・NOCF=NADF=90°.

AOC±CD.

,.・OC是。o的半径，

・・・CD是。O的切线、

(2)连接BE交OC于点P.

・・，AB是。O的直径，

・・・NAEB=90。.

・•・ZBED=ZADC=ZOCD=90°.

・•・四边形PCDE是矩形.

・・・PC=DE=1,ZCPE=90°.

AOCXBE.

.PE==PB.

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：.EC=BC.

VOA=OB,

AOP-iAE=1.

：.OP=PC.

：.BC=OB.

：.EC=OB=OC=2.

6.【答案】解：连接AD,AO并延长AO交CD于点E,如下图:

贝UAELCD,CE=DE

,/ZB=45°

•••△/BE为等腰直角三角形，即=

由勾股定理得，BE2+AE2=AB2,

解得BE=AE=2V2,

在Rt△力EC中，tanC=方=2

CE=V2,

ACD=2CE=2V2.

7.【答案】(1)解：如图①，连接。C,

■••O。与PC相切于点C,

•••0C1PC,BPzOCP=90°,

vNP=40°,

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・・・乙POC=50°,

•••OB=OC,

・•・乙OCB=Z.PBC,

・•・乙POC=乙OCB+Z-PBC=2/.PBC=50°,

・・・乙PBC=25°；

(2)解：・.・直径ZB=4,

:.OB—2,

・・・o。与PC相切于点c,

・•・OC1PC,

•・•BD1PD,

/.OC//BD,即"〃3M

•・.CE//PB,BPCF//OB,

・•・四边形BECO是平行四边形，

•・•OB=OC,

・•・四边形3EC0是菱形，

・•・CE=BE=OB=2,

则四边形。"DC是矩形，EH=^BE=1,

・•.DH=OC=2,

DE=DH-EH=1.

8.【答案】证明：•・,AB是AABC的外接圆O的直径,

：.NADB=90。，

•.*DE±CD,

・・・NCDE=90。，

・•・NADB-NADE=NCDE-NADE,即NADC=NBDE,

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NCAD=NDBE,

△ACDBED,

.AC_CD

^~BE=ED

9.【答案】解：连接OC,

；EM过圆心，EMXCD,

/.CM=|CD,

：CD=4cm,

/.CM=2cm,

设圆的半径是xcm,

在RtZkCOM中，OC2=CM2+OM2,

即：x2=22+(6-x)2,

解得:x=学，

圆的半径长是学cm.

10.【答案】解：由题意得：CD±AB,CD=