2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只

有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.（3分）己知集合4={0,1,2},8={-1,0},则AU8=（）

A.{-1,1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0}D.{-I,0,1,2）

2.（3分）复数-1-2i（i为虚数单位）的虚部是（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（3分）函数f（*）=鼠卷）万的定义域是（）

C.[-co,-Aj[9，8

A.（-8,y）B.[y.8D.

4.（3分）己知tana=-1,aE（0,ii],那么a的值等于（）

7T

A.三B.c.2LD.

6434

5.（3分）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表:

体重变化体重减轻体重不变体重增加

人数241571188

如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（）

A.0.57B.0.33C.0.24D.0.19

6.（3分）已知向量2=G,2）,芯=（3,6）,a±b«则实数x的值为（）

A.1B.-4C.4D.-1

7.（3分）球的半径是R=3,则该球的体积是（）

A.36nB.20TlC.25nD.3（hi

8.（3分）对数/ga与/g〃互为相反数，则有（）

A.a+b=0B.a-b=0C.ab=\D.A=1

b

9.（3分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩

下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作

一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，

长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n

次操作中去掉的线段长度之和不小于」则n的最大值为（）（参考数据：IS-。」,

60

1.58«25.6,1.5938.4,1.5心57.7）

A.7B.8C.9D.10

10.（3分）己知小人为非零实数，则“。＞6"是“工＜』”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（3分）在△ABC中，|AB|=3,|AQ=2,AD=yAB塔正,则直线AD通过^ABC的（）

A.垂心B.外心C.重心D.内心

12.（3分）已知函数/（x）的定义域为R,£但卷）为奇函数，且对于任意xCR,都有了

（2-3x）=/（3x）,则下列结论中一定成立的是（）

A./（1-%）（x）B./（3x+l）=/（3x）

C.fCx-1）为偶函数D./（3x）为奇函数

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有

多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）

（多选）13.（4分）下列函数是增函数的是（）

31

A.y=xB.y=/C.y=x2D.y=-x-

（多选）14.（4分）已知平面aJL平面。，且an0=/,则下列命题不正确的是（）

A.平面a内的直线必垂直于平面p内的任意一条直线

B.平面a内的已知直线必垂直于平面p内的无数条直线

C.平面a内的任意一条直线必垂直于平面0

D.过平面a内的任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面B

（多选）15.（4分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c.以下列选项为

条件，一定可以推出A吟的有（）

A.a=7,b=S,c=5B.2=\反，b=V2.B工

4

c-sinBsinC=^D.2sin?+cos2A=1

42

（多选）16.（4分）如图，在棱长为2的正方体AC'中，点E为CC'的中点，点尸在线

段A'C（不包含端点）上运动，记二面角P-A8-。的大小为a,二面角

的大小为B，则（)

A.异面直线BP与AC所成角的范围是修，

B.tan（a+P）的最小值为一支

3

C.当aAPE的周长最小时，三棱锥B-AEP的体积为也

9

D.用平面BEP截正方体AC',截面的形状为梯形

三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

17.（6分）已知函数£（*）=[2*''《0，则y（-i）=,f

f（x-2）»x>0

（log23）=.

18.（3分）在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、

一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为45?，下底面直径为40cm,高

为80sz.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的

面积为cm1.

19.（3分）已知正实数x,y满足xy-x-2y=0,则x+y的最小值是.

20.（3分）在锐角△ABC中，内角38,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A=sin2B+sinBsinC,

则£的取值范围为.

b

四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21.（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用

A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所

有数据均在［10,70］范围内，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值；

（2）试估计该市使用4款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数.

频率

组距

010203040506070时间/min

22.(11分)已知函数f(x)=sin(3x+<p).其中3>0.若f(x)的最小正周期为TT,且

(1)求3,(p的值;

（2）若|。|<—,求f（x）在区间［工，21

236

23.(11分)已知函数f(x)=logaX+axT(x>0)，其中

aY+1

（1）若4=2,求f号_）的值；

（2）判断函数/（x）的零点个数，并说明理由；

（3）设f（xo）=0,求证：f）<反罄.

五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多

个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）

（多选）24.（5分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A="第一次正面朝上”，事件

B="第二次正面朝上”，则（）

A・P（A）弓B.p（A+B）［

C.事件4与事件B互斥D.事件A与事件B相互独立

（多选）25.（5分）已知平面向量；，E满足|=1,后|=2，则（）

A.|Z+E|的最大值为3B.|Z-El的最大值为3

C.Ia+bI+Ia-bI的最大值为6D.|a+bI-Ia-bI的最大值为2

(多选)26.(5分)已知函数/(x)=sinAsg(x)=cosx,若0满足，对Vx［€［0,与~「

都［工，0］使得4(川)=2g(池+。)+1成立，则6的值可能为()

22

A.TTB.c.22LD.—

632

(多选)27.(5分)已知正实数。、b、C满足Iog3〃=log5b,log3b=log5C,其中〃>1,则

()

A.Iog«/?=log35B.a>b>c

C.ac>l?D.2°+2c>2>i

六、解答题(本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，)

28.(15分)如图，正四棱锥P-ABCD的高为宫左，体积为庭2.

3

(1)求正四棱锥尸-ABC。的表面积；

(2)若点E为线段P8的中点，求直线AE与平面ABC。所成角的正切值；

(3)求二面角A-P8-C的余弦值.

29.(15分)已知定义在R上的函数/(x)=-?+x|x-a\,其中4为实数.

(1)当a=3时，解不等式f(x)》-2；

(2)若函数/(x)在［-1,1］上有且仅有两个零点，求a的取值范围；

2心

、，》x1tmx

(3)对于。日4,+8),若存在实数X|,x2(xi<%2),满足/(xi)=/(%2)=m,求--------9

xlx2

的取值范围.(结果用〃表示)

2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只

有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.（3分）已知集合人={0,1,2],B={-1,0},则AUB=（）

A.{-1,1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2)

【分析】根据并集的定义计算可得.

【解答】解：因为A={0,1,2},8={-1,0},

所以AUB={-1,0,1,2}.

故选：D.

【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题.

2.（3分）复数-1-2i（i为虚数单位）的虚部是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】利用复数的相关概念求解.

【解答】解：因为复数-1-2i,

所以复数-1-2/（;为虚数单位）的虚部是-2.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.（3分）函数f（x）=（x£）2的定义域是（

【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.

所以乂蒋＞0，则

所以/（X）的定义域为己，-KO）.

故选：B.

【点评】主要考查了函数定义域的求解，属于基础题.

4.（3分）已知tanot=-l,aG（0,n],那么a的值等于（）

A.—B.—C.—D.

6434

【分析】根据tana=-1,且a€[0,n）,故a的终边在射线y=-x（xWO）上，从而得

到a的值.

【解答】解：•.,已知tana=-1,且ae[O,n）,故a的终边在射线y=-工（xWO）上，

・°_3兀

4

故选：D.

【点评】本题考查根据三角函数的值求角的方法，判断a的终边在射线y=-x（xWO）

上，是解题的关键.

5.（3分）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：

体重变化体重减轻体重不变体重增加

人数241571188

如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（）

A.0.57B.0.33C.0.24D.0.19

【分析】利用表中数据直接计算即可.

【解答】解：由已知统计表可知在1000名志愿者中，

服药后出现体重减轻的人数为241人，

因此服药后出现体重减轻的频率为上用一=0241-024-

1000

故选：C.

【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

6.（3分）己知向量7=（x,2）,芯=（3,6）,a±b＞则实数x的值为（）

A.1B.-4C.4D.-1

【分析】由两向量垂直的坐标运算列式求解.

【解答】解：va=a,2）,b=（3,6）,a±b.

，3x+2X6=0,即x=-4.

实数x的值为-4.

故选：B.

【点评】本题考查两向量垂直的坐标运算，是基础题.

7.（3分）球的半径是R=3,则该球的体积是（）

A.36nB.20nC.25TTD.30TT

【分析】利用球的体积公式直接计算即可.

【解答】解：V/?=3,

该球的体积丫=&/?3=36m

3

故选：A.

【点评】本题考查球的体积公式，属基础题.

8.（3分）对数/go与四6互为相反数，则有（）

A.a+h=0B.a-b=0C.ah=1D.—=}

b

【分析】由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出必=1.

【解答】解：・・・/须=-/劭

**•1ga+lgb=U

：.lgCab）=0

ab—\

故选：C.

【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数.

9.（3分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩

下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作

一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，

长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n

次操作中去掉的线段长度之和不小于」一则n的最大值为（）（参考数据：1.57^17.1,

60

1.5&七25.6,1.59^38.4,1.5,0^57.7）

A.7B.8C.9D.10

【分析】根据题设可得第n次操作去掉的线段长度之和为（_1）nT,，则有

再根据指数函数性质结合参考数据求〃的最大值.

3产60

【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为工,

3

第二次操作去掉的线段长度之和为2x--

33

第三次操作去掉的线段长度之和为2x-x--

333

•••，

第〃次操作去掉的线段长度之和为

由题意知，则

3360330

则（y）43。

因为&＞1，

所以指数函数y=,广为增函数，

又1.5%25.6,1.5%38.4,nGN*,

所以〃=8,

故选：B.

【点评】本题考查数列的应用、指数不等式的求解，考查学生的归纳推理能力和计算能

力，属中档题.

10.（3分）己知a,8为非零实数，则是“工＜工”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【解答】解：当。＞0＞。时，1＞O＞X所以由。＞匕得不出工＜工，

abab

若工＜』，则』———Q,若abVO,则b-a＞0,即〃＜力，

ababab

所以由工〈▲得不出a＞8,

ab

所以"a＞b”是“工《工”的既不充分也不必要条件.

ab

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础

题.

11.（3分）在△ABC中，=3,|Aq=2,AD=yAB弓正，则直线A。通过△ABC的（）

A.垂心B.外心C.重心D.内心

【分析】首先根据已知条件可知号■通=|尹尸田，又因为标=牌+而设近=

1AB＞标=3菽，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确

24

定直线AD通过△ABC的内心.

【解答】解：；|AB|=3,|AC|=2

•••|工标|=邑菽|=旦.

242

设标=小正，标=3菽，

24

则I标1=1而I，

•*.AD=yAB-+^-AC=AE+AF-

由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形.

•••AQ为菱形的对角线，

平分NEAF.

直线AD通过AABC的内心.

故选：D.

【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题.

12.(3分)已知函数/(x)的定义域为R,f(x,)为奇函数，且对于任意X6R,都有了

(2-3x)=f(3x),则下列结论中一定成立的是()

A./(1-%)=/(x)B.f(3x+l)=/(3x)

C./(x-1)为偶函数D./(3x)为奇函数

【分析】由f(x,)是奇函数，得/(X)即可判断A,先证明/(x+1)=

得到/(3x+l)=-/(3x),从而判断8,证明f(x)的周期为2,再证明函数

于(x)的图象关于x=-1对称，可判断C,由/(2-3x)=/.(3x)结合周期性判断D.

【解答】解：由f(X，)是奇函数，得f=-f即/(x)=-/(I-x),

选项A错误；

由f(2-3x)=/(3x),得/(2-x)=/(x),所以/(2-x)即f(x+l)

=-/(x),则/(3x+l)=-f(3x),B错；

由f(x+\)=(x)可得/(x+2)=-/(x+1)=f(x)可得函数/(x)的周期为T=2,

/(x)=-f(\-x)与/(x+l)=-f(X)可得f(x+1)=/(l-x),即函数/(x)的图

象关于X=1对称，

根据周期为2可得函数/(x)的图象关于X=-1对称，即/(-1+x)=/(-1-X),所

以/(x-1)为偶函数，C正确；

因为f(2-3x)=/(3x)且函数/(X)的周期为7=2,所以/(2-3x)=f(-3x)=f

(3x),f(3x)为偶函数，故选项。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性，对称性及周期性的应用，属于中档题.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有

多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.)

(多选)13.(4分)下列函数是增函数的是()

A.y—^B.y—x1C.2D.y--x'

vJ=同

【分析】根据基函数的性质判断各选项的单调性即可.

【解答】解：对于A,函数)，=/的定义域为R,

函数y=/在R上单调递增，A正确；

对于8,函数>=7的定义域为R,

函数)•=/在(-8,0］上单调递减，在(0,+8)上单调递增，B错误；

对于C,函数v=3的定义域为10，+8)，

JA

J_

函数=丫万在［0,+8)上单调递增，C正确；

vJA

对于D,函数y=-x'1的定义域为(-8,o)(J(0,+8),

函数y=-x”在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递增，

但/(-I)=-1>1=/(1),。错误；

故选：AC.

【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题.

(多选)14.(4分)已知平面a_L平面B，且anp=/,则下列命题不正确的是()

A.平面a内的直线必垂直于平面0内的任意一条直线

B.平面a内的已知直线必垂直于平面p内的无数条直线

C.平面a内的任意一条直线必垂直于平面p

D.过平面a内的任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面0

【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可.

【解答】解：对于A,平面a内取平行于交线的直线时，该直线与平面0平行，不垂直

于平面0内的任意一条直线，故A错误；

对于B,取平面0内无数条与交线垂直的直线，平面a内的已知直线与这无数条直线垂

直，故B正确；

对于C,平面a内取与/平行的直线，不垂直于平面0,故C错误;

对于D,若a内的任意一点取在交线/上，所作垂线可能不在平面a内，所以不一定垂

直于平面由故。错误.

故选：ACD.

【点评】本题考查根据线面、面面关系的判断，属中档题.

（多选）15.（4分）在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为mb,c.以下列选项为

条件，一定可以推出A吟的有（）

A.a=7,6=8,c=5B.，b/,B工

4

C・sinBsinC^vD,2sin，os2A=1

42

【分析】由余弦定理判断4,由正弦定理判断8,举例判断C,结合内角和关系和二倍角

公式诱导公式判断D.

222

【解答】解：对于A，由余弦定理可得二回」一星空空=1,又AC（0,

2bc2X8X52

II）,

所以A吟，A正确;

对于8,由正弦定理可得一_一^,又b用,B』，

sinAsinb4

所以sim产真当,又〃（0.n）,

所以A号,B错误;

对于C,取C为锐角，且sinC=g，

24

可得A为锐角，.acosA=.1,此时A声三，c错误；

对于£>,ill2sin2^y:L+cos2A=l^^2sin2^-）+cos2A=r

所以cos2A=l-2sin2^-）=cos（兀-A）=-cosA,

所以2cos^A+cosA-1=0,解得cosA=1•或C=-1（舍），

又AC（0,TT）,所以女吟，。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

（多选）16.（4分）如图，在棱长为2的正方体AC'中，点E为CC'的中点，点P在线

段A'C（不包含端点）上运动，记二面角P-AB-D的大小为a,二面角P-BC-O

的大小为0,则（）

A.异面直线2尸与AC所成角的范围是（工，-2L-I

（32J

B.tan（a邛）的最小值为工

3

C.当AAPE的周长最小时，三棱锥8-AEP的体积为世

9

D.用平面BEP截正方体AC',截面的形状为梯形

【分析】由异面直线夹角定义确定异面直线8P与AC所成角，由此判断A：由二面角的

定义确定a,。，求tana,lanp,利用两角和的正切公式求tan（a+0）,再求其最小值，

判断8；确定周长最小时点户的位置，结合锥体体积公式求B-AEP的体积，判

断C；根据平面的性质，确定正方体AC,的过点8,E,P的截面，判断D.

【解答】解：对于A,因为AC〃A'C,

所以异面直线BP与AC所成角为NB/%'或NBPC'中的锐角或直角，

又BA'=A'C=BC,

所以△BA'C为等边三角形，

因为点P在线段A'C'（不包含端点）上运动，

所以当P为线段4'C'的中点时，/BPA'=ZBPC7哈，

此时异面直线BP与AC所成角为三，

2

当点P趋近A'或C'时，异面直线8P与AC所成角趋近三，

3

所以异面直线BP与AC所成角的范围是g,g],选项4正确;

对于8,过点尸作P尸〃A'A,PFQAC=F,

因为A'平面ABC。,

所以PF_L平面ABC。，

过点尸作FG_LAB,FHLBC,垂足为G,H,

所以NPGF为二面角P-AB-。的平面角，NPHF为二面角P-BC-。的平面角,

故/PG尸=a,NPHF=B，

设A'P=V2x.贝IJFG=AG=X,GB=FH=2-x,0<x<2,

所以tan。=黑上，tanB=PF二2

GrxFH"2^

2-1”2

tana+tanB_x2-x4

所以tan(a+B

1-tanCLtanB222x-x2-4

1—xv——

因为0<xV2,

所以2x-/-4€(-4,-3],

所以tan(a+B)=---------------1>

2x-x"-4§

所以当x=l时，tan(a+p)取最小值，最小值为一£选项8正确;

3

对于C,延长EC'到点M,使得EC'=MC,则PE=PM,

M

所以AP+PE+AE=AP+PM+AE^AM+AE,

当且仅当A,P,M三点共线时等号成立,

所以当点P为线段AM与A'C的交点时，的周长最小,

因为PC'//AC,

所以△「(?'

所以PC'』c‘

ACMC3

又AC=2加，

所以PC，=当2,

所以△APE的面积

S=SACCZAZ-SAA;E~SAEC/P-SAAAZP-^2

又50_LAC,BO±AA',ACCiAA'=A,AC,AA'u平面ACC'A

所以8。J_平面ACC'A',

所以点B到平面APE的距离为BO,

所以当aAPE的周长最小时，三棱锥B-AEP的体积为x至巨X-J2=&，选项c

39

错误;

对于£>，延长BE,B'C,两直线交于点Q,连接尸。,

设PgnC'D'=S,PQ^A'B'=T,连接BT,SE,

因为平面A88'A'〃平面OCC'D',

平面8EPH平面ABB'A'=BT,平面BEPO平面。CC'D'=ES,

所以BT//ES,

又BTWES,

所以四边形BEST为梯形，

所以用平面BEP截正方体AC',截面的形状为梯形，。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查异面直线的夹角，二面角的求法，锥体体积问题，正方体的截面,

考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，属于中档题.

三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分.)

17.(6分)已知函数f(x)=[25*4°，则"-1)=_1_,/(log23)=_3_.

(f(x-2),x>024

【分析】利用函数/(x)的解析式可求得了(-1)的值，计算出log23的范围，根据函数

/(%)的解析式可求得f(log23)的值.

【解答】解：因为f(x)=12X''4°，则f(-1)=2-1=工；

f(x-2),x〉02

因为l=log22Vlog23Vlog24=2,所以，-lVlog23-2V0,

log23

82

所以，f(log23)=f(log23-2)=2-=22〜今

故答案为：1;1.

24

【点评】本题主要考查了分段函数中，函数值的求解，属于基础题.

18.(3分)在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、

一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm,下底面直径为4(k,w,高

为80c”.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的

面积为1804TIcm2.

【分析】作圆台的轴截面，利用条件求其母线长，再由圆台侧面积公式求其侧面积即可.

由已知，AE=80,BE卷X(40-4)=18，

所以AB=VAE2+BE2=82，

所以圆台的母线长为82。〃，

由已知圆台的上底半径为2cm,下底半径为20cm,

所以圆台的侧面积S=nX(2+20)X82=1804n(c/n2).

故答案为：1804TT.

【点评】本题主要考查圆台侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

19.(3分)己知正实数x,y满足孙-X-2y=0,贝!Ix+y的最小值是_3+4改-

【分析】由条件可得24=1，结合基本不等式求x+y的最小值.

xy

【解答】解：因为盯-x-2y=0,

所以x+2y=孙，

所以2J=i，

Xy_____

所以x+y=(x+y)(―+^)=2+^_+~^~+l^:3+2-\f^'~^~=3+2V2,

xyyxVyx

当且仅当三0,2J=1时等号成立，即x=2+&，y=v^+l时等号成立，

yxxy

所以x+y的最小值是3+2^2.

故答案为：3+272.

【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

20.(3分)在锐角△ABC中，内角38,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A=sin2B+sinBsinC,

则£的取值范围为(1,2).

b

【分析】由正弦定理将边角互化，结合余弦定理及两角和差的正弦公式得到sin(A-B)

=sinB,根据△ABC为锐角三角形可得A=28,C=n-3B以及工＜B〈工，再由正

64

弦定理可得£=sinC=sin3B,利用两角和的正弦展开式和CosB的范围可得答案.

bsinBsinB

【解答】解：因为siNAnsi/B+sinBsinC,由正弦定理可得〃2=房+儿，

由余弦定理a1=h2+c2-2Z?ccosA,所以〃c=c2-2hccosA,即b=c-2〃cosA,

由正弦定理可得sinB=sinC-2sinBcosA,

所以sinB=sin(A+B)-2sinBcosA,

BPsinB=sinAcosB+cosAsinB-2sinBcosA,

所以sin8=sin(A-B),

因为0＜人＜粤，所以一^"VA-B(子，

所以B=A-B,即A=2B,所以C=TT-3B,

由△ABC为锐角三角形，所以O(A=2B＜3，0＜C=n-3B＜-^＞可得

兀/■,兀

有2＜丁

所以与〈cosB＜与，1＜cos2B＜f

由正弦定理得£_sinC_sin3B_sin(2B+B)_sin2BcosB+cos2BsinB

bsinBsinBsinBsinB

=2cos2B+cos2B=4cos2B-1G(112),

即£的取值范围为(1,2).

b

故答案为：(1,2).

【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档

题.

四、解答题(本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

21.(11分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用

A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所

有数据均在［10,70］范围内，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值；

(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数.

【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可.

(2)首先判断第20百分位数位于［20,30)之间，设为x,则0.04+(%-20)*0.02=

0.2,解得即可.

【解答】解：⑴依题意可得(0.004+0.02+0.056+a+0.004+0.002)X10=L

解得“=0.014.

(2)因为0.04C0.2V0.04+0.2,所以第20百分位数位于［20,30)之间，

设为x,则0.04+(%-20)X0.02=0.2,解得x=28,

故第20百分位数为28.

【点评】本题主要考查频率分布直方图，百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基

础题.

22.(11分)已知函数/(x)=sin(oi¥+(p).其中u)>0.若/(x)的最小正周期为n,且

/兀、/2兀、

f(亏)=f

乙O

(1)求3,(P的值；

(2)若|。|<A,求f(x)在区间［号，卷］上的值域.

【分析】(1)由函数f(x)的周期，结合周期公式求3,由条件f.)=f(等)化简

求(p:

(2)结合条件|。确定(p,利用不等式性质结合正弦函数性质求/G)在区间

［工，工］上的值域.

36

【解答】解：(1)因为/(x)=sin(u)x+(p)的最小正周期为n,3>0,

所以"=兀，所以3=2,

3

所以/(工)=sin(2x+(p),

国因％为f/(兀丁、)=f,2兀、

NO

所以sin(兀+@)=sin+@>

o

所以-sin®=-^-cos4)-^-sin0，

所以tan。二M，

所以。=卜兀+"去，k€Z，

一TT

(2)由(1)4)=k兀k£Z，又|。|

所以0T，

所以f(x)=sin(2*士方>

由已知三4x<?L，所以竽2苫得

3%飞6

/71、/

所以sin(2x~^y)

所以/(X)在区间［工，工］上的值域为［二应，1］.

362

【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中

档题.

23.⑴分)^l^f(x)=logaX+ax+-l-(x>o)，其中a"

（1）若a=2,求f（、•）的值；

（2）判断函数/（x）的零点个数，并说明理由;

（3）设/（xo）=0,求证：（匹）〈萼

【分析】（1）根据解析式直接计算即可；

（2）利用导数讨论其单调性，结合零点存在性定理判断即可;

（3）利用单调性结合放缩法证明.

【解答】解：（1）当。=2时，f（x）=logx+2x+——(x>0),

2ox+1

・1(»1"2%204=令

4+1

(2)11

xlnaa(x+1)2

Va>l,x+l>l,

：.lna>0,——i——<\<a,

(x+1)2

：.f(x)>0,

：.f（x）在（0,+8）上单调递增,

1J

•"1>—7----<1'

aa+1

a2

则f(力)=-2+工+<0,

a2aa2+l

又f（1）=a+y^0）

由函数零点存在性定理可知，/（x）在（0,+8）内有唯一零点;

（3）证明：由（2）可知，XQE告，1），

a

1

,­*f(x0)=logaXQ+axo^i=