焦点三角形的面积公式-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题12焦点三角形的面积公式备战2023年高

考数学高效速解突破技巧

专题12焦点三角形的面积公式

一、结论

1、椭圆中焦点三角形面积公式

22

在椭圆T+六=1（。〉。〉。）中，6,与分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，组PF[=e,△可鸟的面

积记为邑明乃，则:

①秋11匕）=。旧1

②%内=白尸用II尸£|sin。

n

③S“F内=tan5,其中6=HP6.

2、双曲线中焦点三角形面积公式

在双曲线0-1=1（。>0,b>0）中，耳，工分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，ZFtPF2=0,

ab

反耳£的面积记为5“尸内，贝I：

①邑呻=；庄6旧tc旧I

③品的=--Q

tan—

2

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定

理，基本不等式等综合应用.

二、典型例题

例题1.（2023春•四川眉山•高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆。:《+片=1的两焦点

126

分别为片，B，P为椭圆上一点，且/片质=60。，则的面积等于（）.

A.6B.2GC.45/3D.6行

例题2.（2021•高二课时练习）已知双曲线工-仁=1的左右焦点分别为6,八,若双曲线上一点P使得

97

N片「6=60",求△耳/3周的面积（)

A.—B.C.773D.14百

33

例题3.（2023•全国•高三专题练习）设双曲线C：£-£=1（a>0,力0）的左、右焦点分别为月，居

a"b~

离心率为右.P是C上一点,且耳玛P.若APGB的面积为4,则。=（）

A.1B.2C.4D.8

三、针对训练举一反三

1.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆会+《=1的焦点为耳、F2,尸为椭圆上的一点，若“用2=60。,

则△环尸死的面积为（）

A.3B.9C.3GD.9G

2.（2019秋•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考期中）设耳巴是椭圆I+[=l的两个焦点，点M在

2516

椭圆上，若△胡6月是直角三角形，则△叫工的面积等于（）

4836,48T「

A.—B.—C.16D.—或16

555

3.（2022秋•江苏南京•高二统考阶段练习）设点P为椭圆C:[+E=1（。>2）上一点，后，工分别为C的

a4

左、右焦点，且/耳空=60。，则△尸片鸟的面积为（）

A.473B.273C.D.

33

4.（2022•高二课时练习）已知点P在椭圆江+亡=1上，耳与玛分别为左右焦点，若NF\PF,=则

1643

△历尸鸟的面积为（）

A.4aB.6>/3C.8GD.16

5.（2021秋•江苏南京•高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线C：E-g=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，直

线、=履与双曲线C交于力，8两点（其中点/位于第一象限），NAFB=90°,且的面积为万/,则

直线〃'的斜率为（）

6.（2020秋•江西上饶•高三校联考阶段练习）已知双曲线£-《=1（。＞0］＞0）的一条渐近线方程卜=2》，

ab~

且点P为双曲线右支上一点，且片，月为双曲线左右焦点，AAE尸的面积为百，且N片「乙=60",则双曲线

的实轴的长为（）

A.1B.2C.4D.473

7.（2022秋•湖南怀化•高二校考阶段练习）椭圆工+片=1的焦点为片、F2,椭圆上的点尸满足

10064

/月尸8=60',则5,不号=（）

A166R6464691百

3333

8.（2020•吉林长春•高二长春外国语学校校考期中）已知片，鸟为楠圆二+尤=1的两个焦点，尸是椭

10064

圆上任意一点,若N耳尸鸟=2,则△耳尸片的面积为（〉

646473_128128百

A.—R

3333

9.（2020秋•山西大同•高三统考阶段练习）已知耳、名为双曲线C:：-V=］的左、右焦点，点p在c上,

HP%=60,则APF\F［的面积为（）

A.百B.立C.2D.2G

32

10.（2022・全国•高三专题练习）已知双曲线,-，=1的左、右集点分别为耳、F2,若双曲线上点尸使

/RPR=90。，则的面积是（）

A.12B.16C.24D.32

11.（2022•全国•高三专题练习）设耳，B为双曲线X?-金=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足

4

“尸月二90。，则△片次的面积为（）

A.2B.V5C.4D.275

专题12焦点三角形的面积公式

一、结论

1、椭圆中焦点三角形面积公式

v.2/

在椭圆*+J=l（a〉b>0）中，大，耳分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，^PF2=0,△可鸟的面

ab

积记为邑移岛，则:

①邑叱=5百FI匕下c|d

②见两&=5尸"II尸居Isin。

③=b?tan5,其中6=NF\PF2.

2、双曲线中焦点三角形面积公式

22

在双曲线三—4=1（。>0,b>0）中，耳，鸟分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，N与”=6,

ab~

△7,6的面积记为SMFF2，贝I：

①SA呻=；比凡1旧卜。旧|

②SM"2=；1P£III尸入IsinO

③=­g

tan—

2

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定

理，基本不等式等综合应用.

二、典型例题

例题1.（2023春•四川眉山•高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知椭圆。:《+片=1的两焦点

126

分别为片，B,p为椭圆上一点，且4户5=60。，则的面积等于（）.

A.6B.2GC.46D.65/3

【答案】B

【详解】由与P是椭圆上一点，・•.|S|+|P用=2a=40，

两边平方可得户片f+|尸乙『+2|尸£||「周=48,即『+|尸闾2=48-2|尸剧|尸玛|,

|MRpg「24

根据余弦定理可得「

由于/片「g=60’，内用=2c=2指,

2附||吟

综上可解得归/讣归闾=8,.•.△耳尸鸟的面积等于；|「用|昨忖1160。=26,

故选：B

另解：根据焦点三角形面积公式，求=〃tang,其中6=/片尸居，由题意知〃=6,6=?，代

2

入SSPFM=/)tan—=6-tan—=243

26

【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒,

7e

在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，5AsB=/tan,要特别注意记忆

°

。=/耳产"表示的是哪个角.另外利用结论SA外储=〃tan§求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答

题需先证后用.

例题2.（2021•高二课时练习）已知双曲线二一片=1的左右焦点分别为百,巴，若双曲线上一点P使得

97

NF\PFZ=60,求丛IP*的面积（）

A.毡B.电C.7石D.146

33

【答案】C

【详解】••・《-口=1，所以。=3,b=#i，c=4,

97

••,尸在双曲线上，设「耳|=机，俨用=〃，

\m-n\=2a=6（1）

由N"P6=60。，在△与Pg根据余弦定理可得:

国玛『=附『+附『一2附||叫际60。

故64=/+/-②

由①②可得〃偌=28,

直角△耳尸鸟的面积S9用6=•归用sinN耳尸乙=gmnsin60°=773

故选：C.

S上兀

另解：根据焦点三角形面积公式，求一。，其中6=尸月，由题意知/=7，。=不，代入

tan-3

2

S心茨=表味6

233

【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，

在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，=一号要特别注意记忆夕=/片尸只

tan—

2

表示的是哪个角.另外利用结论=—）求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.

tan—

2

例题3.（2023•全国•高三专题练习）设双曲线C：=1（a>0,垃0）的左、右焦点分别为冗，F?

/b2

离心率为右.P是。上一点，且玛尸.若村入的面积为4,则。=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【详解】•.・：=右，.”=屈，根据双曲线的定义可得||尸片-忸闾|=2〃，

S4PFF1=3秋|•归周=4,即ISIM用=8,

PF2\PF22

•/FXPA.F2P,tI+21=（2c）,

.•.（|尸网-忸用）2+2|刊讣忸段=%2,BPa2-5a2+4=0,解得。=1，

故选：A.

0TC

另解：根据焦点三角形面积公式，求=/tan,,其中。=/月"，由题意知SM"2=4,0=-,

代入=〃tangn4=b2tan?n〃=4,又离心率（=右，结合。2=/+〃，可求出“八

【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，

n

在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，S”;/=6?tan5要特别注意记忆

夕=/月2工表示的是哪个角.另外利用结论=〃tan5求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答

题需先证后用.

三、针对训练举一反三

1.（2023•全国♦高三专题练习）已知椭圆片+广=1的焦点为耳、F2,尸为椭圆上的一点，若N£PR=60。,

259

则△片尸B的面积为（）

A.3B.9C.3拒D.9^3

【答案】C

【详解】根据椭圆的定义有归用+归国=10,，=后二？=4,①

根据余弦定理得64=|P国2+归用2-2附|朋即60。,②

结合①②解得明|叫=12,所以△耳”的面积5=%用|/sin60o=gxl2x等=35

故选:C

2.（2019秋•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考期中）设片，鸟是椭圆］+己=1的两个焦点，点M在

2516

椭圆上，若△町玛是直角三角形，则△盯后的面积等于（）

483648TL

A.—B.—C.16D.—或16

555

【答案】D

【详解】依题意，a=5,b=4,c=3,不妨设耳（一3,0）,尸（3,0）,

对于直角三角形";K，

若/耳Mg=1,

||PK|+|P引=2a=10

1'=4c2=36整理得|尸用.|「用=32,

所以S"尸产;x|P用x|P局=16.

若或NM6片为宜角,

由粤+器=1得尤=等，=

所以久附弓=；MKB|X|W|=；X6X?=F.

4R

所以，△吟入的面积等于5或16.

故选：D

3.（2022秋・江苏南京•高二统考阶段练习）设点P为椭圆C：W+X=l（a>2）上一点，不名分别为C的

a4

左、右焦点，且/月尸玛=60。，则△尸耳鸟的面积为（）

A.4x/3B.20>C.D.-

33

【答案】C

【详解】设I所I=S，I凭I=t,

根据椭圆的定义以及余弦定理得

S+E=2Q

’（2c）2=府=4（/_4）=52+/-2sf.cos600'

整理得st=?,即阀|•熙|=泽

所以△产开；的面积为Ll^xsin6（）o=tm.

233

故选：C

4.（2022・高二课时练习）己知点尸在椭圆《+q=1上，耳与鸟分别为左右焦点，若/百在=葛，则

△片Pg的面积为（）

A.4GB.6石C.8#>D.16

【答案】A

【详解】由椭圆的定义,设|产四=》，则归周=8-x,|耳闾=46,

又NF、PF,==,所以COSNGPK=E^^^^=-L,解得X=4,

32x（8-x）2

所以I呐=4,闸|=4,S^PFi=^\PFt\-\PF2\-sinZFtPF2=1x4x4x2^=473.

故选：A.

5.（2021秋•江苏南京•高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线C：W-1=im>0,b>0）的左焦点为凡直

a,b2

3

线尸丘与双曲线c交于4,8两点（其中点/位于第一象限），NAFB=90°,且的面积为5a?,则

直线"'的斜率为（）

A.-B.—C.yD.—

3322

【答案】A

【详解】设双曲线右焦点为工，连接盟，叫，由图形的对称性知/尸肌为矩形，则有|相|-|4月=2%

|"卜网=3°2,

;

,在RtA/l77^中，kAF=tanZ.AFF-,=-j,

故选:A.

22

6.（2020秋•江西上饶•高三校联考阶段练习）已知双曲线》r-方v=1（。>0]>0）的一条渐近线方程P=2x,

且点尸为双曲线右支上一点，且片，用为双曲线左右焦点，的面积为右，且N兄尸乙=60°,则双曲线

的实轴的长为（）

A.1B.2C.4D.4百

【答案】A

）2L.

【详解】双曲线5-5=1的渐近线方程为N=±2X

ab2a

由一条渐近线方程为y=2x,可得b=2”，由双曲线定义有|尸耳|-|P用=2,两边平方得

2

\PF^+\PF2f-2\PFt\-\PF2\=4a

由余弦定理,有国闾2:户用2+归闾2_2归周归/cos60°

即为|对「+|列珠-|巴讣|尸周=4。2

联立可得归耳卜|"1=4©2_4/=4/

的面积为6,可得4E讣|「用sin60'=gx4/x*=/2=Vi

解得6=1,。=；,所以双曲线的实轴的长2a=1.

故选：A

7.（2022秋•湖南怀化•高二校考阶段练习）椭圆工+匕=1的焦点为耳、F2,椭圆上的点尸满足

10064

n片p^=6（r,则邑不迟=（）

A1673竺r64Gn91后

3333

【答案】C

【详解】解：解：=椭圆二+片=1的焦点为片、鸟，椭圆Hl勺点尸满足/用耳=60。，

10064

•••由椭圆定义得:|尸耳|十|”|=20,

2

PF^+\PF21+21PFt|.|PF21=400,①

由余弦定理得：|尸石『+|明F-2|P用•|Pg|cos3PE=4x36,②

联立①②，得：|助卜|班|=华，

•••S/的=；归用•|”|与1160。=竽，

故选：C.

8.（2020•吉林长春•高二长春外国语学校校考期中）已知耳，行为椭圆工+片=1的两个焦点,「是椭

10064

圆上任意一点，若则△片尸月的面积为（）

A6464后128n已8百

A・D•rt・U•---------

3333

【答案】B

【详解】由题意知：耳，B为椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，

TT

所以△/=；产鸟是焦点三角形，且〃=64,0=\

所以S1竹=b2tan—=64x—=祗,

"质233

故选：B

9.（2020秋•山西大同•高三统考阶段练习）已知丹、名为双曲线C:5-V=l的左、右焦点，点P在C