电路分析基础 课件 刘亮 第4章 正弦交流电路分析

正弦量的三要素为什么要使用交流电？①电力传输：②信号传输：交流发电机结构简单，容易产生；交流电升降压容易适合实现高压输电，降低导线中的电流，减少损耗。变化的信号可以传递信息。为什么要使用正弦交流电？2）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数1）正弦信号容易产生、传送和使用。3）任何变化规律的复杂信号可以分解为按正弦规律变化的分量。加、减：KCLKVL求导、积分：电容、电感电压与电流关系1.正弦量波形：ti0T周期T(period)和频率f(frequency):频率f：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒周期函数f(t)=f(

t+kT)tu,iu

i0电路中的电压电流并不总是同步变化的ti0/T波形：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(wt+y)引入新概念(1)幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)ω2.正弦量的三要素ti0/T(3)初相位(initialphaseangle)yIm2

t单位：rad/s，弧度/秒反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。反映正弦量的计时起点，常用角度表示。i(t)=Imcos(wt+y)例已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1ti010050t1解由于最大值发生在计时起点右侧有效值和相位差1.同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umcos(wt+yu),i(t)=Imcos(wt+yi)则相位差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u超前ij

角，或i落后uj

角(u比i先到达最大值)；

j<0，

i超前

uj

角，或u滞后

ij

角,i比

u先到达最大值。

tu,iu

iyuyij0等于初相位之差规定：|

|(180°)。j＝0，同相：j=(180o)

，反相：特殊相位关系：

tu,iu

i0

tu,iu

i0=p/2：u领先ip/2,不说u落后i3p/2；i落后up/2,不说

i领先u3p/2。

tu,

iu

i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例计算下列两正弦量的相位差。解两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。不能比较相位差2.周期性电流、电压的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。

周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义R直流IR交流i电流有效值定义为有效值也称均方根值(root-mean-square)物理意义同样，可定义电压有效值：

正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+

)同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：复数及复数计算

复数A的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0

|A|两种表示法的关系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐标表示极坐标表示或(2)乘除运算——采用极坐标形式若A1=|A1|

1，A2=|A2|

2除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。则:

复数运算则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——采用代数形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReIm0图解法(2)乘除运算——采用极坐标形式若A1=|A1|

1，A2=|A2|

2除法：模相除，角相减。例1.乘法：模相乘，角相加。则:解例2.(3)旋转因子：复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。解AReIm0A•ejq

故+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子ReIm0正弦量的相量表示法问题的提出：电路方程是微分方程：+_RuLCi应用KVL：

设同频的两个正弦量其和为其中：i1I1I2I3wwwi1+i2

i3i2

1

2

3角频率：有效值：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，

tu,ii1

i20i3正弦量复数实际是变换的思想两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。造一个复函数对A(t)取实部：对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复函数A(t)包含了三要素：I、

、w，复常数包含了I

,

。A(t)还可以写成复常数无物理意义是一个正弦量有物理意义正弦量的相量表示相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：称

为正弦量i(t)

对应的相量。已知例1试用相量表示i,u.解例2试写出电流的瞬时值表达式。解在复平面上用向量表示相量的图

相量图

q相量法的应用(1)同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。可得其相量关系为：i1

i2=i3例也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接

2.正弦量的微分，积分运算微分运算:积分运算:例Ri(t)u(t)L+-C用相量运算：相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注①正弦量相量时域

频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图正弦交流电中的电阻元件时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系UR

u相量关系：UR=RI

u=

iR+-瞬时功率：波形图及相量图：

i

tOuRpRURI瞬时功率以2

交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位

u=

i正弦交流电中的电容元件时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-有效值关系：IC=wCU相位关系：

i=

u+90°

相量关系：+-XC=-1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)BC=wC，

称为容纳，单位为S

容抗和频率成反比,

0，|XC|

直流开路(隔直)w

，|XC|0高频短路(旁路作用)w|XC|容抗与容纳：相量表达式:功率：

t

iCOupC2

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消波形图及相量图：电流超前电压900

u正弦交流电中的电感元件时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型相量关系：有效值关系：U=wLI相位关系：

u=

i+90°

j

L+-感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比；wXL相量表达式:XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=-1/L=1/2fL，

感纳，单位为S

感抗和感纳:功率：

t

iOuLpL2

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消波形图及相量图：电压超前电流900

i基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。阻抗和导纳的基本概念阻抗正弦稳态情况下单位：

阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式Z+-无源线性+-当无源网络内为单个元件时有：Z可以是实数，也可以是虚数R+-C+-L+-

导纳正弦稳态情况下单位：S导纳模导纳角无源线性+-Y+-对同一二端网络:当无源网络内为单个元件时有：Y可以是实数，也可以是虚数R+-C+-L+-RLC串联电路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-Z—复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；

z

—阻抗角。转换关系：或R=|Z|cos

zX=|Z|sin

z阻抗三角形|Z|RXjz分析R、L、C串联电路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jz为复数，故称复阻抗（2）wL>1/wC

，X>0，j

z>0，电路为感性，电压领先电流；相量图：选电流为参考向量，三角形UR、UX、U

称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即UX等效电路j

L’R+-+-+-

zwL<1/wC，

X<0，jz<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC

，X=0，j

z=0，电路为电阻性，电压与电流同相。UX等效电路等效电路

zR+-+-+-R+-+-RLC并联电路由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-Y—复导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；

|Y|—复导纳的模；

y—导纳角。转换关系：或G=|Y|cos

yB=|Y|sin

y导纳三角形|Y|GB

y（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠jy数，故称复导纳；（2）wC>1/wL

，B>0，

y>0，电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，分析R、L、C并联电路得出：三角形IR、IB、I

称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象IB

ywC<1/wL

，B<0，

y<0，电路为感性，电流落后电压；等效电路R+-

ywC=1/wL

，B=0，jy=0，电路为电阻性，电流与电压同相等效电路等效电路R+-j

L’R+-5.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/RB

1/X。若Z为感性，X>0，则B<0，即仍为感性。注GjBYZRjX同样，若由Y变为Z，则有：GjBYZRjX4.4阻抗（导纳）的串联和并联分压公式1.阻抗的串联Z+-Z1+Z2Zn－分流公式2.导纳的并联两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：Y+-Y1+Y2Yn－简单正弦稳态电路的相量分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。结论1.引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（f=0)是一个特例。应用网孔电流法分析正弦交流电路例1.解网孔电流法:+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4结点法:应用结点电压法分析例2.+_R1R2R3R4例3应用戴维宁定理分析正弦交流电路解求短路电流：j300

+_+_100

＋_j300

+_+_50

50

瞬时功率无源一端口网络吸收的功率(u,i

关联)瞬时功率

(instantaneouspower)无源+ui_第一种分解方法；第二种分解方法。第一种分解方法：

p有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率；p<0，电路发出功率；

t

i0upUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－)为正弦分量。

t0第二种分解方法：UIcos

(1+cos2t)为不可逆分量。UIsin

sin2t为可逆分量。

能量在电源和一端口之间来回交换。p(t)=UIcos

(1+cos2t)+UIcos

(1+cos2t)2.平均功率

(averagepower)P

=

u-

i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。P的单位：W（瓦）一般地,有0

cos

1X>0,j>0,

感性，X<0,j<0,

容性，

cosj=0.5(感性)，则j=60o

(电压领先电流60o)。cosj1,纯电阻0，纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与cos

有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。例4.视在功率S反映电气设备的容量。3.无功功率

(reactivepower)Q单位：var(乏)。Q>0，表示网络吸收无功功率；Q<0，表示网络发出无功功率。Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcosj

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：VAjSPQ功率三角形5.R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0iuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI=I2XLiuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI=－I2XC

任意阻抗的功率计算：uiZ+-PZ=UIcos

=I2|Z|cos

=I2RQZ=UIsin

=I2|Z|sin

=I2X

＝I2(XL＋XC)=QL＋QCjSPQjZRX相似三角形(发出无功)电感、电容的无功补偿作用LCRuuLuCi+-+-+-

t

i0uL当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。

t

i0uCpLpC

电压、电流的有功分量和无功分量：(以感性负载为例)RX+_+_+_GB+_

jSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX反映电源和负载之间交换能量的速率。无功的物理意义:例交流电路功率的测量uiZ+-W**i1i2R电流线圈电压线圈单相功率表原理：电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(R>>

L)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2

u/R。指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。使用功率表应注意：(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程

I的量程

cos

(表的)测量时，P、U、I均不能超量程。例三表法测线圈参数。已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解方法一RL+_ZVAW**方法二又方法三已知：电动机

PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30

F。

求负载电路的功率因数。例解+_DC4.6.3复功率1.复功率负载+_定义：复功率也可表示为：（3）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即2.结论（1）是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；（2）把P、Q、S联系在一起它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；电路如图，求各支路的复功率。例+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一解二提高功率因数的意义设备容量S

(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=ScosjS75kVA负载cosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；功率因数低带来的问题：(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大，

I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。4.7功率因数的提高设备容量

S

(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=UIcos

=Scosjcosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机空载cosj

=0.2~0.3

满载

cosj=0.7~0.85

日光灯

cosj=0.45~0.6设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；1.功率因数低带来的问题：S75kVA负载当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos

)，线路压降损耗大。j1j2解决办法：（1）高压传输（2）改进自身设备（3）并联电容，提高功率因数。i+-uZ分析j1j2

并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。特点：LRC+_2.提高功率因数的方法：并联电容的确定：补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——功率因数又由高变低(性质不同)j1j2并联电容也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ从功率角度看:并联电容后，电源向负载输送的有功UILcos

1=UIcos

2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin

2<UILsin

1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多