新版高中数学北师大版必修1习题第二章函数2.3.1

§3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关·能力提升1设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能确定答案:D2若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9m),则实数m的取值范围是()A.(3,+∞) B.(∞,3) C.(∞,0) D.(3,3)解析:依题意,得2m<9m,解得m<3.答案:B3设函数f(x)是定义在R上的减函数,若a∈R,则()A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)解析:D项中,∵a2+1>a,且f(x)是(∞,+∞)上的减函数,∴f(a2+1)<f(a).而其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.答案:D4已知函数f(x)=x2+1,x≥0,-xA.在(0,+∞)上是减少的B.在(∞,0)上是增加的,在(0,+∞)上是减少的C.不能判断单调性D.在(∞,+∞)上是增加的解析:如图,通过画函数f(x)的图像,可知D项正确.答案:D5已知函数f(x)=1x,则y=f(x1)+1的递减区间为()A.(0,1) B.(∞,0)C.{x|x≠1} D.(∞,1)和(1,+∞)解析:因为f(x)=1x的递减区间是(∞,0)和(0,+∞又y=f(x1)+1=1x-1+1,故可知y=1x-1+1的递减区间是(∞,1)答案:D★6若函数f(x)=-x2+2ax-2a,x≥1,ax+1,x<A.(2,0) B.[2,0) C.(∞,1] D.(∞,0)解析:由当x≥1时,f(x)=x2+2ax2a是减少的,得a≤1,由当x<1时,函数f(x)=ax+1是减少的,得a<0,分段点1处的值应满足12+2a×12a≤1×a+1,解得a≥2,故2≤a<0.答案:B7函数y=-x2+3x,解析:由y=-x2+3x,x>0,x答案:08设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1x2)·[f(x1)f(x2)]>0,则f(3)与f(π)的大小关系是.

解析:由题意知,当x1>x2时,f(x1)>f(x2),当x1<x2时,f(x1)<f(x2),所以f(x)在定义域上是增函数.由3>π,所以f(3)>f(π).答案:f(3)>f(π)9函数f(x+1)=x22x+1的定义域是[2,0],则f(x)的递减区间是.

答案:[1,1]10已知函数f(x)=a2x.(1)若2f(1)=f(2),求a的值;(2)判断f(x)在(∞,0)上的单调性并用定义证明.解(1)∵2f(1)=f(2),∴2(a2)=a1,∴a=3.(2)f(x)在(∞,0)上是增加的,证明如下:任取x1,x2∈(∞,0),且x1<x2,则f(x1)f(x2)=a=2x∵x1,x2∈(∞,0),∴x1x2>0.又x1<x2,∴x1x2<0,∴f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=a2x在(∞,0)上是增加的★11函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2m2)<3.(1)证明任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2x1>0,f(x2x1)>1.∴f(x2)f(x1)=f[(x2x1)+x1]f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1>0.∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数.(2)解∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化为f(3m2m2)<f(2).∵f(x)在R上是增函数,∴3m2m2<2,解得1<m<43故不等式的解集为-1★12已知函数f(x)=xax+a2在(1,+∞)上是增加的,求实数分析:利用函数单调性的定义求参数的取值范围.解任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2.∵函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,∴f(