数形结合-函数 (解析版)

第1讲数形结合思想在函数中的应用我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合可使所要研究的问题化难为易、化繁为简。把代数和几何相结合，它能促进代数问题与图形之间的相互转化，通过改变思维的角度，使我们较快地从所给问题的情境中探究出符合命题目标的某个熟悉的模型，从而迅速、准确、科学地解决问题。【应用一】利用数形结合判断大小在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，例如：、等，我们没有学过一个数的0.7次方如何计算，此时便需要借助函数图象的性质来辅助我们进行求解，例如下面这道小题：【例1】（2022•天津）已知，，，则A． B． C． D．本题要研究和的大小，但是我们很难去计算一个数字的次方，所以可以借助指数函数和的图象的单调性解决问题；对于则可以借助对数函数的图象的单调性进行判断.【答案】C【解析】解：根据指数函数图象的性质：可以看出是定义域上的单调增函数，是定义域上的单调减函数，所以，即；同时，且，所以；根据对数函数图象的性质：可以看出是定义域上的单调增函数，所以，即；所以．故选：．【思维升华】通过本题不难发现，对于一个确定的指数、对数，我们都可以借助指数函数和对数函数的图象来确定他们的大致范围从而比较大小、不仅对指数与对数，未来我们也可以用相同的方法研究一些难以计算的三角函数值等。【变式1.1】已知正实数满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象可得：.故选：B．【变式1.2】（2020•榆林模拟）设，，均为实数，且，则A．B．C．D．【答案】D【解析】解：画出函数，，，，3个函数的函数图象，如图所示：，由图象可知：，故选：．【应用二】利用数形结合处理抽象函数取值问题抽象函数的取值问题是一类常考题型，而抽象函数的难点也在于它的抽象，所以解决此类问题，化抽象为具体是关键，而具象化最好的方法便是结合图象进行判断，根据函数奇偶性和单调性的特点，结合题目信息易画出函数图像，观察图象在取不同数值时的正负，便能很快使问题得到解决，比如下面这道题：【例2】（2020•新高考Ⅱ）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是A．，，B．，，C．，，D．，，根据题目所给的的单调性和奇偶性，可以做出和的大致图象如图：结合上面两个图象，便能很快得到的方位，然后求得时x的取值范围.【答案】D【解析】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：的图象，向右平移一个单位可得到的图象如图：由图可知：当时，成立，当时，不等式成立，时，；时，；时，；时，；时，；综上或，即实数的取值范围是，，，故选：．【思维升华】通过此类问题可以发现，如果已知一个抽象函数没有给我们解析式，只知道它的奇偶性和单调性等性质，我们就可以通过函数性质得到函数的大致图像，从而解决问题，不仅对抽象函数，我们也可以借助相同的方法研究分段函数等其他函数的问题。【变式2.1】（2022秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】当时，，，当时，，当时，，即当时，取得极小值为.当时，为增函数，且，函数的图像如图：设，由题可知，由得，则，则，，所以当时，取得最小值为.故答案为：.【变式2.2】（2017秋•雅安期末）已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且（2），则不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【解析】解：由是把函数向右平移2个单位得到的，且（2），（2），，结合函数的图象可知，当或时，．故选：．【应用三】数形结合研究函数的极值函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决，比如下面这道题：【例3】（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则A． B． C． D．看到求极大值点的问题，我们很有可能条件反射就是“求导”，但是你会发现本题中有两个变量求导并不简单，所以对于一个极值问题，我们除了求导之外，还可以尝试画出他的草图，尤其是像二次函数、三次函数这种我们比较熟悉的函数，我们可以借助函数图像进行求解！令，解得或，即及是的两个零点，当a范围不同时，根据三次函数的性质可以做出的大致图象如下图所示，通过图象便可很快得到答案。【答案】D【解析】解：令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，．故选：．【思维升华】本题也是一个运用数形结合简化运算的典型例题，但是我们进行画图时要注意既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求。例如在本题中，如果对变号零点和不变号零点时的特点了解不清楚，在作图时很容易出错。通过本题可以看出，对于函数的极值问题，除了求导之外，我们也可以借助题目信息和基本初等函数的性质作出大致图象，借助函数图象的单调性和极值便可以使问题得到解决。【变式3.1】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（） B． C． D．【答案】A【解析】易知函数的导数，令，得，即．设，则，当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．【变式3.2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A． B． C． D．【答案】【解析】解：结合图象可知，先负后正再负，故函数先减后增再减，结合选项可知符合题意．故选：．【应用四】数形结合研究函数的切线过某点作已知曲线的切线问题一直时常考题目，也是难点问题，遇到此类方法，我们最直接的想法是利用求导法，此类问题中，我们做的比较多的是过某已知的点求已知曲线的切线方程，但有的时候，题目中给的点并非定点，此时也可以借助函数图象进行讨论。比如下面这道例题：【例4】（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则A． B． C． D．解决此类问题，一般从2个方面突破，一种是数形结合，一种是求导法，在求解的时候，可以两种方法都尝试一下，进行计算量的评估，再决定选哪条路。大家可以对比以下两种方法，观察两种方法的特点：解：法一：根据指数函数的图象性质可作图如下：由图象可知：在轴下方，或没有切线．在曲线上、轴或轴下方时，只有一条切线．在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．【答案】D【解析】解：法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．如果点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；如果在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．【思维升华】本题中共提供了两种方法，法一是数形结合法，法二是代数法，但是其实在真正计算之前我们可以预见到这个方法的计算量是很大的，对比两种方法，容易看出法二相对而言不够直接且不易理解，而数形结合法既直观又清晰易懂。通过本题不难发现，对于过某点做已知曲线的切线问题，可以借助函数图像判断切线方程的的大致位置，通过分类讨论一一排除不符合要求的部分，最终得到需要的答案。此类方法对于解决解析几何问题同样适用。【变式4.1】（2022•南京模拟）若过点可以作曲线的两条切线，则A． B． C． D．【答案】【解析】解：作出函数的图象如图，由图象可知，当点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，，结合选项可知，成立．故选：．【变式4.2】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为，如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C【应用五】利用数形结合，解决函数零点问题函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，比如：，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。破解此类题的关键：一是会转化，把函数的零点问题转化为函数图象与轴的交点问题；二是会借形解题，即做出函数图像，观察图象与轴的交点，通过分类讨论和数形结合可快速找到参数所满足的范围。【例5】（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.本题实际上主要研究两个函数：和，这两个函数都是熟悉的函数，所以我们可根据二次函数和绝对值函数的图像特点先作出两个函数的大致图象，根据参数不同，分析图象的可能变化，利用数形结合和转化将函数零点问题变为函数图象的交点问题：先由题意做出两个函数的大致图象如图所示，再通过讨论在不同取值时图象的特点，最终得到有3个零点时的取值范围。【答案】【解析】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.【思维升华】通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个函数图象的交点问题，接着通过数形结合思想分析问题使问题的求解有一个更清晰、直观的整体展现。解决此类问题，一般先作出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定的取值范围。【变式5.1】（2023•新乡三模）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为，所以，令，得，令，得，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，又因为当时，，当时，，的图象如图所示：则有3个不同的零点，即关于的方程有3个不同的实数根．令，则，解得，．由图可知方程有一个正根，因为方程有3个不同的实数根，所以方程有两个不相等的负根，所以，解得，实数的取值范围为，．故选：．【变式5.2】（2023•湖南模拟）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C.【解析】解：因为，，所以为奇函数，又因为，即，所以，即，所以为周期函数，且周期，所以（2）（2），即（2），作出函数的大致图象如图所示：由图象可知，在，上零点个数为13．故选：．巩固练习1.已知函数，，的图象如图所示，则、、的大小关系为A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】B【解析】【分析】由指数函数幂函数的图象和性质，结合图象可得，，，问题得以解决【详解】解：由图象可知，，，故选：．2.（2023·全国甲卷）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.3.如果设奇函数在上为增函数，且（2），则不等式的解集为A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【解析】解：由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，故有，或．再由（2），可得，由函数在上为增函数，可得函数在上也为增函数，结合函数的单调性示意图可得，，或，故选：．4.(多选)如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增 C．是极小值点 D．是极大值点【答案】【解析】【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可．【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，．函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，．时，，当时