考点巩固卷10 三角函数的图象及性质（十一大考点）（解析版）

考点巩固卷10三角函数的图象及性质（十一大考点）考点01：三角函数的定义域、值域1．函数的定义域是__________.【答案】【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故答案为：.2．已知函数.(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)求证：当时，恒有.【答案】(1)的最小正周期为，单调增区间为(2)证明见解析【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式将函数化简，代入周期的计算公式即可求出周期，根据正弦函数的单调性即可求解函数的单调增区间；（2）根据自变量求出，然后利用正弦函数的图像即可求证.【详解】（1）函数，∴函数的最小正周期，令，得，∴函数的单调增区间为.（2）当时，∴即当时，恒成立，得证.3．函数的最小值是______．【答案】【分析】用代换，化简函数解析式为，利用二次函数的性质即可得到函数的最小值.【详解】函数，令，所以，因为函数的对称轴为，所以函数在上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数有最小值.故答案为：4．函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.【详解】有意义满足，即，，解得，故选：D5．函数，的值域是______.【答案】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由的范围得出的范围，再利用余弦函数的基本性质可得出答案.【详解】，且，，，，因此函数在的值域是.故答案为：.6．函数的值域为______.【答案】【分析】变换，根据得到，得到值域.【详解】，，则，，故.故答案为：考点02：由三角函数的值域（最值）求参数7．设函数，已知，当______时，的最小值为-2，此时______.【答案】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由正弦型函数的性质求解最值.【详解】.∵，∴，∴当，即时，取得最小值为，∴.故答案为：；8．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为________．【答案】【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.【详解】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：9．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.

【答案】【分析】由，推出，从而知，再由，求得的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．【详解】由图知，所以，因为，所以，即，由，知，因为在上恰有一个最大值和一个最小值，所以，解得．故答案为：．10．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由同角三角函数关系化简后换元，得二次函数，利用二次函数单调性可知，即，据此结合余弦函数图象与性质可得的范围.【详解】由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A11．已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在取最大值，可判断要么在的单调减区间上，要么满足左端点到对称轴不小于右端点，即可得，进而可求的最小值.【详解】的周期为，的单调递增区间为,单调递减区间为，当取最大值，故可知，当时，即，,在单调递减，显然满足最大值为，当时，要使是最大值，则需满足，综上可知当,时，在取最大值，在,单调递减，故当时，取最小值，且最小值为，故选：D12．当时，函数的值域是，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由的范围求出的范围，根据的值域可得答案；解法二：由的范围求出的范围，根据的图象性质和的值域可得答案．【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，因为且，要使的值域是，只要，即；解法二：由题，可知，由的图象性质知，要使的值域是，则，解之得．故选：D.

考点03：求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性13．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.【详解】因为，所以所求最小正周期为.故选：C.14．（多选）设函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图像关于直线对称C．的一个零点为D．在单调递减【答案】ABD【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法或代入检验法可求出函数的对称轴、对称中心和单调区间．【详解】函数，最小正周期为，A选项正确；由，解得图像的对称轴方程为，当时，，B选项正确；，不是的零点，C选项不正确；时，有，是正弦函数的单调递减区间，所以在单调递减，D选项正确.故选：ABD15．（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依次判断选项的周期和单调性即可得到答案.【详解】对于A：的最小正周期，且在区间上单调递增，故A符合题意；对于B：，将在x轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周期，在区间上单调递减，故B不符合题意；对于C，的最小正周期，，则在区间上单调递增，故C正确；对于D，，的最小正周期，，则在区间上有增有减，故D不正确.故选：AC.16．（多选）已知函数，则（

）A．的最小值为－2B．的单调增区间为，C．的对称中心为，D．若为偶函数，则最小值是【答案】BD【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和辅助角公式，利用三角函数的性质及诱导公式即可求解.【详解】，可得的最小值为，故A错误；由，得，所以的单调增区间为，，故B正确；由，得，所以的对称中心为，，故C错误；若为偶函数，即是偶函数，所以，解得，可得最小值是，故D正确.故选：BD.17．（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】ACD【分析】化简得到，计算为偶函数，关于直线对称，关于点对称，在上单调递减，得到答案.【详解】.对选项A：，，正确；对选项B：，，在上单调递减，错误；对选项C：当，则，是的对称轴，正确；对选项D：当时，，故的图象关于点对称，正确.故选：ACD18．已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于点对称C．周期为 D．在上是增函数【答案】D【分析】先利用向量的数量积表示函数，再利用公式化简，根据三角函数图像和性质判断.【详解】因为向量,.所以.对于A，把代入得，没有取得最值，所以不成立.对于B，把代入得，所以不成立.对于C，由于周期,所以不成立.对于D，因为，又，所以在上是增函数.故选：D.考点04：解三角不等式19．已知函数．(1)当时，求函数的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案.【详解】（1）由题意可得，故当时，；（2）由可得，即，故,故不等式的解集为.20．根据三角函数的图象，写出使下列不等式成立的的集合：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）结合的图象求得正确答案.（2）结合的图象求得正确答案.（3）结合的图象求得正确答案.（4）结合的图象求得正确答案.(1)画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为.(2)画出的图象如下图所示，，由图可知，不等式的解集为.(3)画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为.(4)画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集为.21．解不等式组【答案】．【分析】利用三角函数线求解可得.【详解】由，得在直角坐标系中作单位圆，如图所示，

由三角函数线可得：解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为．22．在中，是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】通过三角函数性质结合充分条件与必要条件的推导即可得出答案.【详解】在中，，则或，故推不出，可推出，则在中，是的必要不充分条件，故选：B.23．求函数的定义域为_________．【答案】【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数有意义，则，即，解，得，解，得，于是，所以所求定义域为.故答案为：考点05：根据单调求参数24．函数的最小正周期为________，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.【答案】【分析】根据正弦函数的周期公式和单调递增区间可求出结果.【详解】函数的最小正周期.由，，得，，所以的单调递增区间为，，若函数在区间上单调递增，则，，则，则，即的最大值为.故答案为：；.25．（多选）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则以下（

）可能是的值.A． B．4 C． D．【答案】ABC【分析】根据的对称中心和单调性列不等式，求得的范围，从而确定正确答案.【详解】由于关于点对称，所以，①.由于，且在区间上是单调函数，所以在上递减，，所以②.由①②得，所以或或，所以，或，或.故选：ABC26．（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.【详解】方法一：当时，，在区间上单调，或，或；由得：；又，；，又，，，又，；由得：；又，，，又，，，即；综上所述：.方法二：，当时，；在上单调，，；由，知：或，解得：或，.故选：AC.27．函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是____________．【答案】【分析】根据的最值情况，即可得出.根据函数的单调性，结合求得的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】因为，所以.因为在上恰好取得一次最小值，所以，所以.因为，所以.因为，在上是减函数，根据余弦函数的单调性可知，解得.所以，.故答案为：.28．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知，函数在上为减函数，由可得出，根据余弦型函数的单调性可得出，可得出关于的不等式组，由此可得出正实数的取值范围.【详解】对任意的，恒成立，因为函数在区间内单调递增，所以，函数在上为减函数，当时，因为，则，所以，，所以，，解得，所以，，解得，因为，则，所以，.故选：A.29．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得，再根据的单调区间，列出不等式组求解即可.【详解】因为，，所以，又因为在上单调递减，所以，,解得：，因为，故，而，故，故.故选：C考点06：根据对称求参数30．若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知当时，取得最值，从而可得，进而可得答案.【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以当时，取得最值，所以，得，对于A，若，则，解得，不合题意，对于B，若，则，解得，不合题意，对于C，若，则，解得，题意，对于D，若，则，解得，不合题意，故选：C31．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．【答案】【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：32．直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则_____【答案】2【分析】由题意可得，求出周期，再利用周期公式可求出的值.【详解】因为直线和是曲线的相邻的两条对称轴，所以，得周期，所以，得，故答案为：233．若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D34．（多选）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（

）A．的最小正周期为B．C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有且仅有一个零点【答案】ACD【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.【详解】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，，，所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：

由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD35．（多选）已知函数图象的一个对称中心是，且，则以下结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．为偶函数C．在上的最小值为 D．若，则【答案】BC【分析】由条件结合正弦函数的对称性可求，根据正弦型函数的周期公式求周期判断A；根据三角函数的平移变换结合函数的奇偶性的定义可判断B；求函数在上的最小值可判断C；根据三角函数的单调性可判断D.【详解】因为点是函数的一个对称中心，，解得，，又因为，所以，，对于A项：最小正周期为，故A错；对于B项：因为，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故B对；对于C项：当时，，所以，可得，所以的最小值为，故C对；对于D项：当时，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故D错，故选：BC．考点07：由图象确定三角函数解析式36．（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的有（

）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C． D．函数在上有2个零点【答案】ACD【分析】由函数的图象，得到，得到，可判定A正确，B不正确；再由三角函数的性质，可判定C正确；由当时，得到，得到，可判定D正确.【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，又由，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以A正确，B不正确；又由，所以C正确；当时，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，所以函数在上有2个零点，所以D正确.故选：ACD.37．（多选）若函数（，，）的图象如图，且，，则下列说法正确的是（

）A．函数的周期为5B．函数的对称轴为，C．函数在内没有单调性D．若将的图象向左平移（）个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为1【答案】BD【分析】根据给定的函数及图象，结合“五点法”作图，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答.【详解】观察图象知，，而，解得，又，则，因为，由“五点法”作图知，，解得，于是，对于A，函数的周期，A错误；对于B，由，得，函数图象的对称轴为，B正确；对于C，当时，，因此函数在上单调递增，C错误；对于D，将的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，依题意，，解得，因此，D正确.故选：BD38．（多选）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（

）A．的定义域为B．当时，取得最大值C．当时，的单调递增区间为D．当时，有且只有两个零点和【答案】BCD【分析】先利用待定系数法求出，再根据原点右侧的第二个零点为，即可判断A；求出的值即可判断B；求出当时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；求出当时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.【详解】由图得，且位于增区间上，所以，又因为，所以，，则，得，所以，所以，由图可知，原点右侧的第二个零点为，所以的定义域为，故A错误；当时，，因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；当时，令，则，又因为，所以当时，的减区间为，因为函数为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，故C正确；当时，，令，得或，则或，因为函数为偶函数，所以当时，有且只有两个零点和，故D正确.故选：BCD.39．（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．40．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增【答案】C【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可.【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以，将点代入，得，又，所以，故，故A错误；所以，故B错误；令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，故C正确；将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，解得，，令得，因为，故D错误.故选：C.41．已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.【详解】由图象可得，，且，所以，令，则，所以，则.故选：D考点08：描述三角函数的变换过程42．怎样由函数的图像变换得到的图像【答案】答案见解析【分析】根据函数图像变换的规则.【详解】现将向右平移个单位，得到，然后使得纵坐标不变，横坐标变为原来的即可.43．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（

）A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍【答案】D【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得.【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到.故选：D.44．（多选）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点（

）A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍C．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度【答案】ABD【分析】利用诱导公式将化简，再根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】因为，所以将向左平移个单位长度得到，再将横坐标缩短到原来的倍得到，故A正确；将向右平移个单位长度得到，再将横坐标缩短到原来的倍得到，故B正确；将横坐标伸长到原来的倍得到，再将向左平移个单位长度得到，故C错误；将横坐标缩短到原来的倍得到，再将向左平移个单位长度得到，故D正确；故选：ABD45．（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．函数图象可由函数的图象向右平移个单位得到B．函数图象可由函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到C．函数图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到D．函数图象的对称轴为，【答案】BC【分析】利用三角函数图象变换分别分析并判断选项A，B，C；求出函数图象的对称轴判断D作答.【详解】对于A，函数的图象向右平移个单位得到：函数的图象，A错误；对于B，函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到：函数的图象，B正确；对于C，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到：函数的图象，C正确；对于D，由，得，即函数图象的对称轴为，D错误.故选：BC46．为了得到函数的图象，需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】由三角函数的平移变换即可得出答案.【详解】易知，，因为，所以函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：D．47．要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解.【详解】由于函数，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.故选：A.考点09：求图象变换前（后）的函数解析式48．将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将整个图像沿x轴向右平移个单位长度，得到的曲线与的图像相同，则的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数图像变化规律，反向变化即可.【详解】先将的图像向左平移个单位长度，得到，再将图像上所有点的横坐标变到原来的2倍，得到.故选：B49．已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据余弦型函数的图象变换、奇偶性、周期性进行求解.【详解】由题知，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象．因为为偶函数，所以，即．又，所以．因为的最小正周期为，所以，即，解得．所以，所以．故选：A．50．函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最小正周期求出，写出平移后的解析式，根据其为偶函数得到，，根据的范围即可得到答案.【详解】由题得最小正周期，可得，所以.的图象向右平移个单位长度后为偶函数的图象，故，，，．，，故选：D．51．已知函数的部分图象如图．

(1)求的表达式；(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由图可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后将代入函数中可求出的值，从而可求出的表达式；（2）先由三角函数图象变换规律求出的解析式，令，，则将问题转化为与的图象在有两个不同的公共点，作出函数图象，利用图象求解即可.【详解】（1）函数的周期为，由图象可得，得所以，所以，因为的图象经过点，所以，解得，得，因为，所以，所以，（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，所以，因为关于的方程在上有两个不同的实数解，所以在上有两个不同的实数解，令，则，因为，所以，所以，所以，所以只需与的图象在有两个不同的公共点，作出在上的简图如下，

由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点，所以实数的取值范围为52．（多选）将函数的图像的横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A．的周期为 B．C． D．在上单调递减【答案】BC【分析】利用函数的图像变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论.【详解】由题意得，，则，故A错误；，故B正确；∵，∴是图像的一条对称轴，,故C正确；∵，∴，∴在上单调递增，故D错误.故选：BC.53．已知函数的图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后可得到一个偶函数的图象，则函数在区间（

）上单调递增．A． B．C． D．【答案】A【分析】两个对称中心之间的距离为半个周期，可得T和ω，由图像平移的知识点可得平移后函数解析式，由偶函数的性质列方程求，得出，然后求出单调递增区间即可得到结果.【详解】函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则T＝π，所以ω＝2，将函数f(x)的图象向左平移后所得图象的函数解析式为，由已知是偶函数，故，解得，由于，所以当k＝0时，．所以，令，解得，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，由于，故选：A.考点10：三角函数图象与性质的综合应用54．已知函数，，(1)求的单调递减区间；(2)求在闭区间上的最大值和最小值；(3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．【答案】(1)(2)最小值为，最大值为(3)【分析】（1）先将函数化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；（2）先由求出整体角的取值范围，再求得的最大值和最小值；（3）先根据图形变换求出，在求其零点得出结果.【详解】（1）函数.令解得，所以函数的单调递减区间为，（2）由（1）得，由于，所以，所以，故，当时，函数的取最小值，最小值为，当时，函数的取最大值，最大值为.（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，令，，即，整理得，即或，当时，或，即，；当时，，；当时，；故所有零点之和为．55．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答(1)若，求的取值范围；(2)设函数的零点为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦函数图像的性质得出，选①：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；选②：由正余弦函数的奇偶性得出，进而由二次函数的性质求解即可；（2）由得出，再由诱导公式结合倍角公式求解即可.【详解】（1）因为函数的图像相邻对称轴之间的距离是，所以，解得，所以，

选①：当将的图像向右平移个单位，得到函数，因为为奇函数，所以，即，因为，所以，则则，因为，所以，则，所以.选②：的图像向左平移个单位，得到函数，因为函数为偶函数，所以，即.因为，所以，则则，因为，所以，则，所以.（2）因为函数的零点为，所以，则，

所以，.56．（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的部分图象如图所示，有下列四个结论：①；②在上有两个零点；③的图象关于直线对称；④在区间上单调递减，其中所有正确的结论是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】根据平移后的函数图象，结合函数周期以及特殊点求得参数，可得解析式，由此计算判断①，求出在上的零点，判断②，将代入函数解析式验证，判断③，根据正弦函数的单调性可判断④，即得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为：，由图像知,将点代入表达式中，得，即，因为，所以，则；故，故①错误；即，由得，故或，即或，即在上有两个零点，②正确；将代入，得，即的图象不关于直线对称，③错误；当时，，由于正弦函数在上单调递减，故在区间上单调递减，④正确，故选：BD57．（多选）已知函数，若，且直线与函数的交点之间的最短距离为，则（

）A．的最小正周期为B．在上单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数【答案】AB【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；由A可知，，所以，又由可知的图象关于点对称，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，时，，Ü，故B正确；因为，故C错误；函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，故D错误．故选：AB．58．（多选）（2023·山东潍坊·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．函数的最大值为 D．方程在上有5个实数根【答案】ACD【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案.【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到，所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，又是的一个单调递增区间，所以，即，，解得，，因为，所以，故，的最小正周期，故A正确；令，，解得，，即的递增区间为，，所以在上单调递增，故B错误；，所以，所以函数的最大值为，故C正确；当时，令，则、、、、，即方程在上有5个实数根，故D正确.故选：ACD.59．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）

A．的最小正周期为B．的图象关于中心对称C．在上单调递减D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象【答案】AD【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定.A选项，由图象可得函数周期；BC选项，由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性可判断选项正误；D选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项.【详解】A选项，由图可得，的半个最小正周期为，则的最小正周期为，故A正确；BC选项，，由在处取最大值，则，.则，取，则.即.将代入，得，则不是对称中心；，，因在上递减，在上递增，则不是的单调递减区间，故BC错误；D选项，由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.故选：AD考点11：三角函数在生活中的应用60．筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历