大地电磁学-chp3一维正演

大地电磁学

Geo-electromagnetism

Magnetotellurics（MT）

地球物理专业用成都理工大学MaoLifeng2012年2月11日第三章均匀水平层状介质大地电磁测深理论本章内容3.1电磁场基本方程式3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播3.3层状一维介质的正演问题3.4层状一维理论曲线的图示3.4理论曲线的渐近线3.6视电阻率曲线的等值性3.7探测能力分析3.8实验课的任务第三章均匀水平层状介质大地电磁测深理论经典的吉洪诺夫－卡尼亚大地电磁理论，最初假设场源为垂直入射地面的平面电磁波，大地介质为均匀水平层状分布，即介质电阻率仅随深度变化，故称一维介质模型。一维介质模型的地面电磁场如何计算？它们与介质电阻率之间的变化关系是什么？视电阻率如何定义？视电阻率的变化特点？一维正演程序的编制。3.1电磁场基本方程式麦克斯韦方程组物理意义：电场E可以是由电荷密度引起的发散场，也可以是由变化的磁场引起的涡旋场；磁场H是由传导电流j和位移电流激励产生的涡旋场，空间无独立磁荷存在。3.1电磁场基本方程式物质方程：为介质的介电常数（电容率），为导磁率，这些参数较多地以相对介电常数和相对导磁率形式给出，它们是介质参数或和真空中相应的参数或的比值。3.1电磁场基本方程式大地电磁实际上是对地面电磁场的观测，来研究地下岩石电阻率的分布情况。实际工作中磁场H的测量单位用伽马，电场单位用毫伏/公里，长度单位是公里，电阻率单位为欧姆米，构成了MT法特有的实用单位制，它与国际单位制之间的关系为：3.1电磁场基本方程式（二）、谐变场的麦克斯韦方程组假定时谐因子为，利用傅立叶变换可将任意随时间变化的电磁场分解为一系列谐变场的组合，变换后，电磁场A可写成含有幅度和相位的复数：对低频的大地电磁场，导电介质中的位移电流相对于传导电流可以忽略不计。3.1电磁场基本方程式导电介质低频谐变场的麦克斯韦方程组为：第四个方程是因为导电介质内部电荷密度实际上为0，公式时间因子隐含在场E和H中，上式是大地电磁测深理论研究的出发点。3.1电磁场基本方程式(三)、电磁场波动方程与边界条件 将大地电磁场满足的谐变场麦克斯韦方程组的第一个方程两边取旋度，并将第二个方程代入，可得 由于 从而得到，或写成 其中，

k为传播常数，亦称复波数。 对磁场，类似地有，上式称为赫姆霍茨方程，它们是谐变场下的电磁场波动方程。3.1电磁场基本方程式边界条件 与一般偏微分方程的求解一样，解大地电磁场的赫姆霍茨方程也需要给定它的边界条件，才能得到空间的电磁场解。无穷远边界条件：无穷远处电磁场为0。电阻率变化处的边界条件：在两种介质交界面上，电磁场满足如下关系：

分界面上，E和H切向连续，B和j法向连续。3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播假定大地是均匀各向同性的，本小节讨论由高空向地球垂直入射的平面电磁波在其中的传播特征，并导出地面电磁场与介质电阻率之间的关系式。（一）、均匀介质中的平面波的传播 令z轴垂直向下，x-y轴位于地表水平面上，展开麦克斯韦旋度方程的两个旋度表达式：

3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播

由于平面波垂直入射导均匀各向同性大地介质中，其电磁场沿水平方向上是均匀的，即： 代入电磁场旋度方程展开式中，有：3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播由于电磁场只沿z轴传播，物理学上称这种大地电磁波为线性偏振波。由上式可以看出：无垂直方向分量（Ez＝Hz＝0）电场分量Ey只和磁场分量Hx有关（E偏振波）磁场分量Hy只和电场分量Ex有关（H偏振波）（注：以场沿y方向的分量来定义线性偏振波）两组线性极化波中电磁场满足的波动方程为（两组波中均无垂直分量）：3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播在均匀各向同性介质中，则E偏振波的电磁场为（0，Ey，0）、（Hx，0，0），H偏振波的电磁场为（Ex，0，0）、（0，Hy，0）。若取y方向为磁场H的极化方向，则电场E＝Ex,磁场H＝Hy,说明了平面电磁波在均匀大地介质中电场和磁场是正交的。平面电磁波亦称TEM波（横电横磁波）；E偏振波又称TE波；H偏振波又称TM波。在水平不均匀或各向异性介质中，极化波的分解将受到介质电性主轴的限制，介质中电场和磁场不是正交的。3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播以TM波为例，讨论波的传播。由H的波动方程 它的一般解是：，由于在无穷远处场值Hy=0，故B＝0。从而，而在地面上，z=0时，，为地面磁场H的幅度。又由于传播常数： 因此，

3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播由于解中含有，场沿z方向呈指数衰减，为衰减因子或吸收系数，它等于传播常数k的实数部分，用波长表示它们：它表示随时间谐变的电磁场在均匀各向同性的大地介质中传播时，沿传播方向是谐变的，并且按指数规律衰减。集肤深度（穿透深度）：场幅衰减到地面值的1/e时电磁波所传播的距离，用p来表示：3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播说明趋肤深度：与波长成正比电阻率越高，穿透深度越大频率越低，穿透深度越大集肤效应说明了介质导电性能越好，信号频率越高，场衰减得越快，场将只集中在介质的浅部，因而穿透深度也称集肤效应。集肤深度越大，大地电磁的勘探深度就越大。3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播（二）、介质的电阻率和波阻抗的关系 引入波阻抗概念：，单位为欧姆。 均匀各向同性介质中E和H正交。标量阻抗任意正交测量轴上测得的波阻抗都相等3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播波阻抗与介质电阻率的关系TM波TE波类似地，可得E偏振波的波阻抗3.2平面电磁波在均匀大地介质中传播3.3层状一维介质的正演问题如图表示n层地电断面，各层电阻率为 厚度为h1,h2,…,hn-1.一维介质正演问题就是求解地面电磁场或波阻抗和地下介质电阻率之间的关系，并用习惯的视电阻率来表示。3.3层状一维介质的正演问题（一）、水平层状一维介质中的电磁波

与均匀各向同性介质的大地电磁波相同之处：水平方向电磁波均匀，均可分成两组线性偏振波（TE波、TM波）E和H正交，无垂直分量（Ez、Hz＝0）波阻抗与测量轴方向无关。

不同之处：由于电性分界面的存在，电磁波发生反射和透射界面阻抗概念3.3层状一维介质的正演问题二层介质大地电磁场的计算复习大地电磁场场源特点MT的场源来源于地球磁场与太阳风的相互作用。电离层和地下介质为导电的，夹层空气几乎不导电。空气层又相当较薄，如同一个平行板电容器。空气中的波可近似为平面电磁波地表随时随地存在MT场，具有一定的规律性和特征。二层介质大地电磁场的计算天然交变电场可分成磁暴、磁湾、地磁脉动和雷电等几种形式，MT靠天吃饭天然交变电磁场有明显的空间和时间分布规律性。一般讲，高纬度和中纬度地球强而低纬度地球弱；夏天强，冬季弱，白天强，夜间弱。MT频谱成分丰富，在低频段（f<0.1Hz）和高频段（f>10.1Hz）能量强，而在1Hz附近的中频段（0.1Hz<f<10Hz）能量弱，为低能量窗口。二层介质里的电磁场和波阻抗 不妨设极化模式为TM，由电场波动方程可得第一层内的电场的解为 第二层内的电场的解为 由二层介质大地电磁场的计算由边界处电磁场切向连续条件，对z=h1界面：二层介质大地电磁场的计算第一层的趋肤深度地面阻抗的渐近性质：高频。，电磁波能量主要集中在第一层，k1h1很大，低频。，此时，第一层的影响很小，尽管测量是在第一层表面进行。但地面阻抗可由下一层中的电磁场来确定。因此，证实了MT测深方面的工作原理是正确的：频率降低，勘探深度变大。用地面上不同频率的阻抗值可以用来获得有关地下介质电阻率随深度变化的信息。二层介质大地电磁场的计算高阻基底情况：，研究低频端的渐近性质。

S1为（纵向）电导。二层介质大地电磁场的计算对低频段的大地电磁阻抗响应，有如下三个特点：阻抗只与第一层的纵向电导综合参数有关，不能单独地反映电阻率和厚度两个参数。阻抗是一个常数，不随频率变化。阻抗相位为0（实数）。二层介质大地电磁场的计算良导基底：二层介质大地电磁的阻抗计算阻抗随深度的变化这一性质对海洋电磁法具有重要意义，海上MT是在海底进行观测，因而测得的阻抗值仅与海底以下介质电性有关，而与海水层的电性及厚度无关。二层介质大地电磁的阻抗计算

层界面阻抗间的递推运算二层介质大地电磁的阻抗计算二层介质大地电磁的阻抗计算3.3层状一维介质的正演一般N层一维介质模型3.3层状一维介质的正演一般N层一维介质的波阻抗递推公式 由第m层内深度z处的电磁场为：3.3层状一维介质的正演3.3层状一维介质的正演递推关系从最底层（第N层）开始，令m+1=N,有Zm+1=Z0,N得到Lm+1和Zm，得到第N-1层顶面阻抗；再令m=m-1，由Zm+1推出上一层介质顶面阻抗Zm，…….，直至m=1，即求出第一层（地面）的波阻抗。3.3层状一维介质的正演地面阻抗是地下各层介质电阻率、厚度和信号周期T的函数，可表示为：复习上一节内容TE、TM模式的含义，均匀各向同性介质中两种模式下的阻抗之间的关系。穿透深度的含义，它与介质电阻率、信号周期的关系。特征阻抗的含义，阻抗只与测量界面以下介质电性有关，与其上介质无关。对一维模型而言，阻抗响应与测量轴无关，为标量阻抗。一维模型的大地电磁阻抗递推方法。作业计算题：设均匀地下介质电阻率为100欧姆米，计算频率为10Hz时的大地电磁波的波长、波数、圆波数、吸收常数、趋肤深度、特征阻抗。3.3层状一维介质的正演（三）、视电阻率和相位1）视电阻率的概念

与直流电阻率测深类似，由均匀介质中的电阻率导出，对大地电磁，均匀介质中，地面阻抗 借助这一关系，把非均匀介质的地面波阻抗代入上式，得到视电阻率：

3.3层状一维介质的正演视电阻率性质：视电阻率与频率有关，频率不同，视电阻率不同，大地电磁响应反映深度不同；视电阻率不是真电阻率（除均匀各向同性下半空间介质外）；视电阻率是给定频率下的电磁场影响力所及范围内岩石电阻率的综合反映。3.3层状一维介质的正演2）相位概念

地面上电场水平分量和与之垂直的磁场水平分量之间的相位差，亦为频率的函数，也反映地电断面信息。相位计算公式为：

均匀半空间的相位：由于

电场相位落后磁场相位-45o，与电阻率、频率无关。 对一般情况，3.3层状一维介质的正演相位性质：与视电阻率一样，分一维、二维介质TM、TE相位；理论上，相位不会提供有关电磁场特征的额外信息。当可观测到完整的振幅响应时，无需相位信息，但在不能得到完整的振幅响应曲线时，综合使用相位和振幅响应曲线可以改善解释的质量。相位资料反演比电阻率资料反演可能更稳定些。3.4层状一维介质的正演实际工作需要把野外观测求得的不同周期的地面波阻抗，转换为视电阻率或相位资料，利用随信号周期变化的视电阻率或相位曲线研究地下介质电阻率的分布。视电阻率曲线的变换特点将直观地反映介质电阻率随深度的变化特点，利用视电阻率曲线是十分方便的。3.3层状一维介质的正演波阻抗递推计算的变换阻抗计算方法： 变换阻抗（变换函数）定义为则可由前述的递推方法变为应用变换阻抗的递推方法：3.3层状一维介质的正演大地电磁理论曲线是指在给定地下介质电阻率分布情况下，通过计算得出的视电阻率和周期之间的函数关系曲线本节先介绍一维正演程序的编制，随后，分析一层、二层介质的理论曲线特点。3.3层状一维介质的正演（一）、层状介质理论曲线的计算3.3层状一维介质的正演 C++程序：输入参数，n层介质电阻率为p[n]、n-1个层厚度为h[n-1]，输入信号周期为T；返回地面视电阻率pa。doubleMT1DF(intn,doublep[],doubleh[],doubleT){ doubleu,v,a,b,p,q,g,pa; u=1.0,v=0.0; //给出第最底层的Rn,n=1.0 //对m循环

for(m=n-1;m>0;m--) { //计算Lm+1=Pm+1+i*Qm+1 p=…; //由计算公式得到Pm+1=…;

q=…; //由计算公式得到Qm+1=…; //计算Rm,n g=…; //由计算公式得到Gm=…;3.3层状一维介质的正演 a=…; //由计算公式得到Am b=…; //由计算公式得到Bm u=…; //由计算公式得到um v=…; //由计算公式得到vm } returnpa=p[0]*(u*u+v*v); //视电阻率}3.4层状一维理论曲线的图示(二)、理论曲线的图示

为了尽量减少理论曲线的数目，通常用相对单位表示地电断面的参数值，并将曲线绘制在双对数坐标系上，所谓相对坐标系是指以第一层地电参数（电阻率）来度量有关的量，这时各层相对电阻率为

相对厚度为 与周期有关的波长也用h1来度量 于是，n层地电参数的视电阻率关系式本来有2n个量： 采用相对单位制后，参数减少2个：3.4层状一维理论曲线的图示

此时，理论曲线变为以为单位的，反映的是视电阻率与T或T的平方根之间的变化关系，但实际测量曲线并非如此，为了便于理论曲线和实际曲线对比，要求视电阻率曲线和所选用的单位无关，使 相同的一组地电断面的曲线形态完全一致。为此，将曲线绘制在双对数坐标系坐标轴上。 以二层介质为例，视电阻率函数为 在双对数坐标系下，参数取对数， 可见，不同的值仅使曲线发生平移，不改变曲线形态。对另一坐标变量，它亦为周期的函数，也取对数，可得：，不同的也只能使曲线发生平移。3.4层状一维理论曲线的图示

因此，用双对数坐标系来描述二层介质视电阻率理论曲线时，只要参数相等，其曲线形态是一致的。

对n层地电断面的视电阻率曲线也有类似的结论。 如图，三层地电断面的电阻率100、10000、100，厚度为1km和1.5km，激励信号频率从0.0001Hz到10000Hz，两图分别显示了视电阻率和相位理论曲线。3.4层状一维理论曲线的计算与图示二层介质正演结果 上层电阻率为100欧姆米，厚度为1km，下层介质电阻率分别为1、10、100、1000和10000欧姆米，激励频率同前。3.4层状一维理论曲线的图示G型D型3.4层状一维理论曲线的图示G型D型3.4层状一维理论曲线的图示二层介质视电阻率理论曲线特征高频趋于第一层介质电阻率，低频趋于第二层介质视电阻率；曲线的左支随频率的降低（或周期的增加），曲线的右支单调地逼近于渐近线若第二层介质电阻率无穷大，曲线左、右支是与横轴 的夹角为63O26’的直线。MT测深曲线以震荡方式趋于曲线左支，而电测深曲线则以单调方式趋于其左支渐近线；MT测深曲线左支与横轴交点无数次，而电测深曲线只一个交点（如单偶极装置）或根本不与横轴相交（温纳装置）。MT测深理论曲线和电测深曲线均单调地趋于右支渐近线。当时，曲线以为轴线呈镜像对称关系，MT理论曲线和电测深曲线均有这一性质。3.4层状一维理论曲线的图示三层介质类型：H型（）K型（）Q型（）A型（）多层曲线可由三层曲线类型依次描述，如地电模型为时，可用KQHA型来表示。四种典型的三层模型曲线：A、QA形曲线Q形曲线四种典型的三层模型曲线：K、HK形曲线H形曲线3.4层状一维理论曲线的图示

例1：三层介质，第一、三层的电阻率100欧姆米，第二层电阻率分别取1、10、100、1000和10000欧姆米，前两层厚度分别为1km和1.5km。3.4层状一维理论曲线的图示3.4层状一维理论曲线的图示例2：H型：地电断面参数为3.4层状一维理论曲线的图示K型3.4层状一维理论曲线的图示三层理论曲线地电参数有三个：，H型和K型曲线，Q型和A型也有以为轴的对称曲线。对称曲线的对称条件是地面变换阻抗表达式应互为倒数（），则三层曲线对称条件为： 从例2的K型和K型的曲线的对称性的相对应关系，可以看出，曲线对称条件要求高阻中间层对应相对薄的中间低阻层，或者说，较薄的中间低阻层与较厚的中间高阻层的视电阻率曲线呈对称关系。说明大地电磁法对低阻薄层的响应比高阻层灵敏，它对低阻体的反映相对高阻体的反映更为灵敏。这是因为相同周期信号在低阻体中的波长较小，在高阻体中波长较长，所以对低阻薄层的分辩率高于高阻薄层。3.4层状一维理论曲线的图示视电阻率曲线变化规律高频时电磁波集中在第一层，视电阻率值收敛与第一层介质电阻率；随着频率的降低，第二层的影响增加：当时，视电阻率降低（H型和Q型）， 当时，视电阻率增加（A型和K型）；随着频率进一步降低，视电阻率趋于底层电阻率值。因此，MT理论曲线变化规律反映地球介质电性变化顺序，但很少有趋于第二层介质电阻率值的渐近线的，因为电磁波受上下层影响且第二层介质厚度有限。相位曲线变化规律极限特征与二层介质类似，低频下趋于-45度，高频时左支与-45度有许多交点，但亦趋于-45度；三层介质的相位曲线特点为由-45度到-45度变化，之间出现极小和极大值。用相位资料做解释时，对相对幅度响应曲线而言，可用较高的频率成分的资料获得有关地电断面较深的信息。3.5理论曲线的渐近线理论曲线的渐近线指底层介质（频率趋于0）电阻率趋于0和无穷大时的视电阻率曲线的渐近线。回顾二层介质（D型，电阻率对比有限情况）视电阻率曲线在两种电阻率值间变化（左支有震荡），相位曲线在电阻率值对比有限情况下，低频到高频的相位从-45度变化，最后回到-45度。3.5理论曲线的渐近线高阻基底低阻基底

低频高阻基底出现S线（对应频带称为S带），相位为0度；低频良导基底出现H线（对应频带称为H带），相位为-90度。3.5理论曲线的渐近线三层介质底层高阻（）时，对低频信号，有 因此，在双对数坐标系中呈直线关系，即视电阻率曲线右支是一直线，称为S线，与横轴交角atan(2)=63度23‘.相位为0度。底层低阻()时，对低频信号，有3.6视电阻率曲线的等值性在视电阻率曲线的反演解释中，经常发现地电断面参数的解不是唯一的，一条视电阻率曲线可能和多个不同参数的地电断面都对应，这些断面称为等值断面。等值断面参数之间存在的规律性称为等值原理。理论上，反演解释是唯一的（唯一性定理），在数学上也有严格的证明，因而一个地电断面只能对应一条视电阻率曲线，反之亦然。等值性不是对唯一性定理的否定，它是由于一些地电断面所对应的理论曲线差别甚微，而实际观测、计算和图示都无法反映这种细微差异，且观测数据的误差、噪声等都会造成等值性问题。对理论数据，模型中有薄岩层会导致电阻率曲线等值性问题。3.6视电阻率曲线的等值性薄岩层：相对于埋深和波长而言的，岩层厚度大于其顶板埋深的即是厚层，否则就是薄层。视电阻率等值性的规律性要求导出不同地电断面具有相同波阻抗条件。3.6视电阻率曲线的等值性 Sm为薄层纵向电导。1）S等值性（低阻薄层）

反演只能得到薄层的纵向电导，不能单值确定岩层厚度和电阻率。

物理解释：薄层中电磁场近似均匀，其影响相当于直流电路中的电流影响，则电流密度仅与岩层的纵向电导有关。若保持纵向电导不变，厚度和电阻率的变化并不影响其中的电流密度分布，相应的视电阻率曲线也无多大差别。但对良导厚层不适用，因为厚层内电磁场不均匀，厚度或电阻率的变化对电磁场结构具有不同的影响。3.6视电阻率曲线的等值性2）H等值性（高阻薄层）

它表明高阻薄层的电阻率略有变化时，相应的视电阻率曲线实际上是等值的，此时，反演解释只能单值地得到高阻层的厚度，而介质的电阻率是多解的，这种现象称为H等值性。

物理解释：高阻层内无明显的感应电流，主要为波的通道，用于传递上下岩层间的电磁场信息。高阻薄层本身电阻率略有变化，对地面电磁场的影响不大，而厚度的变化却直接影响电磁波的传播距离。因此，厚度相同而电阻率略有变化的一组高阻薄层，它们的视电阻率曲线是等值的，即具有H等值性。3.6视电阻率曲线的等值性等值性降低了大地电磁测深法对薄层的分辩能力，在等值范围内只能确定高阻薄层的厚度，无法确定其电阻率值；对于低阻薄层则只能给出综合性参数纵向电导，无法单值地确定岩层的厚度和电阻率。由于薄层是相对于埋深而言的，因此大地电磁测深对浅部岩层具有较高的分辩能力，岩层埋深越大，方法受等值性的影响越大，分辩能力越低。地电断面参数的等值范围必须根据不同类型的剖面进行实际计算。一般说来，S等值性对于H型三层断面的条件是;A型断面的条件是；H等值性对于K型断面的条件是；Q型断面的条件是。等值断面的出现是十分普遍的。3.7探测能力分析大地电磁的探测深度是所有电法中最大的，在层状介质条件下，大地电磁的探测能力有多大程度？即在什么情况下能探测到多深的多大的地质体的问题。探测能力的定义：若目标地质体存在时的视电阻率与目标地质体不存在时的视电阻率相差5%以上,则该目标地质体称为可探测的地质体(这里未考虑仪器因素,即假设仪器频带很宽)为了简单明了，本节用三层介质来研究大地电磁的探测深度问题，第一、三层介质电阻率相同，视为围岩，第二层介质的电阻率和厚度发生变化，将第二层介质视为异常体来考查大地电磁对不同电性和埋深的异常目标体的探测能力。3.7探测能力分析图中给出了4种三层模型的MT曲线,上图为视电阻率曲线,围岩电阻率为100Ωm,异常体电阻率为10Ωm,异常体厚度为0.1km,埋深分别为0.1,0.5,1,7.8km。4种模型的视电阻率曲线3.7探测能力分析可以看出：埋深越大,异常越小,当埋深达到7.8km时,视电阻率异常很小(与画图比例尺有关,但仍达到5%)，我们称其探测能力为7.8km.为了