山东省聊城市新华中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析

山东省聊城市新华中学2022年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.【详解】由题意得：

为奇函数，图象关于原点对称可排除又当时，，可排除本题正确选项：【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．2.已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：D3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．300 B．216 C．180 D．162参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理，第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]=108∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180故选C．4.某工程由下列工序组成，则工程总时数最少为

天。（注：m的紧前工序为n，意思是当工序n完成时工序m才开始进行）工序abcdef紧前工序----a、bccd、e工时数（天）232541A．9

B．10

C．11

D．12参考答案：C5.已知sinα＝，且α∈，则的值等于参考答案：C6.把二项式（+）8的展开式中所有的项重现排成一列，其中有理项都互不相邻的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】由二项式（+）8展开式的通项公式求出r=0，4，8时为有理项，其余6项为无理项；再把展开式的9项全排列，6个无理项全排，把3个有理项插孔即可，从而求出对应的概率值．【解答】解：由二项式（+）8展开式的通项公式得：Tr+1=??=??．可知当r=0，4，8时，为有理项，其余6项为无理项．∴展开式的9项全排列共有种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔，有?种．∴有理项都互不相邻的概率为P==．故选：D．【点评】本题考查了二项式系数的性质和排列组合知识以及古典概型的概率计算问题，是中档题目．7.设、是椭圆E：(a>b>0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（

）A

B

C

D参考答案：C略8.下列命题中是假命题的是（

）A.

B．C．

D．参考答案：B9.在△ABC中，“A=60°”是“”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】三角函数的求值．【分析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立则有“cosA=”成立，所以，“A=60°”是“”的充要条件．故选C．【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断．10.（5分）下列说法正确的个数为（）①彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就肯定能中奖；②概率为零的事件一定不会发生；③抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大；④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么这种游戏是公平的． A． 1 B． 2 C． 3 D． 0参考答案：B考点： 命题的真假判断与应用．专题： 概率与统计．分析： 根据概率的定义及实际含义，分别判断4个结论的真假，可得结论．解答： 解：对于①，彩票的中奖率为千分之一，那么买一千张彩票就不一定能中奖，故错误；对于②，概率为零的事件为不可能事件，一定不会发生，故正确；对于③，抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面一样大，故错误；对于④在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，则两人获胜的概率均为，那么这种游戏是公平的，故正确；故说法正确的个数为2个，故选：B点评： 本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，难度不大，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的最小正周期为,则的单调递增区间为

▲

．参考答案：略12.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，则该抛物线的方程为___________________参考答案：略13.已知集合A={y|y=|x|，x∈R}，B={y|y=1﹣2x﹣x2}，则A∩B=．参考答案：{y|0≤y≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由y=|x|求出集合A，利用配方法和二次函数的求出集合B，再由交集的运算求A∩B．解答：解：由y=|x|≥0得，则集合A={y|y≥0}，由y=1﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+2≤2得，则B={y|y≤2}，所以A∩B={y|0≤y≤2}，故答案为：{y|0≤y≤2}．点评：本题考查交集及其运算，以及函数的值域，属于基础题．14.执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．参考答案：当x＝10时，y＝4，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝4.当x＝4时，y＝1，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝1.当x15.设等差数列的前n项和为,若,则

参考答案：2n根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列的前n项和为,若,，故可知数列2n，故答案为2n。16.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．参考答案：0.03，3。17.设函数，当时，恒成立，则a的取值范围是________.参考答案：[1,+∞)【分析】求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围.【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的方程为3x﹣4y+4=0（1）求过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程；（2）求与直线l平行且距离为2的直线方程．参考答案：【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）设与直线l：3x﹣4y+4=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，能求出结果．（2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+c=0，由平行线间的距离公式能求出结果．【解答】解：（1）设与直线l：3x﹣4y+4=0垂直的直线方程为4x+3y+c=0，把点（﹣2，2）代入，得：﹣8+6+c=0，解得c=2，∴过点（﹣2，2）且与直线l垂直的直线方程为：4x+3y+2=0．（2）设与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+c=0，则=2，解得c=14或c=2．∴与直线l平行且距离为2的直线方程为3x﹣4y+2=0或3x﹣4y+14=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行、直线与直线垂直的性质的合理运用．19.[选修4-5：不等式选讲]（12分）已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|?（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈?；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|?|a+1|﹣|a+1|=|a+1|?（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．20.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，求：（1）恰有一名同学当选的概率；（2）至多有两人当选的概率．参考答案：【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，求得恰有一名同学当选的慨率．（2）解法一：求出没有人当选的概率，恰有2人当选的概率，结合恰有一名同学当选的慨率的值，把这3个值相加，即得所求．解法二：先求出三个人都当选的概率，再用1减去此概率，即得所求．【解答】解：（1）恰有一名同学当选的慨率为?（1﹣）?（1﹣）+（1﹣）??（1﹣）+（1﹣）?（1﹣）?=++=．（2）∵没有人当选的概率为（1﹣）?（1﹣）?（1﹣）=，恰有2人当选的概率为?（1﹣）+?（1﹣）+（1﹣）?=++=，故至多有两人当选的概率为++==．解法二：由于三个人都当选的概率为==，故至多有两人当选的概率为1﹣=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．21.证明：若则参考答案：明：若,则

所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题。略22.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：﹣＜f（x1）＜﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，利用导数研究其单调性可得当x=ln2时，函数f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2﹣2＜0，即可得出．（II）f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），可得f′（x）=2ax﹣ex=0有两个实根x1，x2（x1＜x2），由f″（x）=2a﹣ex=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=2a﹣e＞0，可得0＜x1＜1＜ln2a，进而得出．【解答】（Ⅰ）解：a=1时，f（x）=x2﹣ex，f′（x）=2x﹣ex，f″（x）=2﹣ex，令f″（x）＞0，解得x＜ln2，此时函数f′（x）单调递增；令f″（x）＜0，解得x＞ln2，此时函数f′（x）单调递减．∴当x=ln