（统考版）高考数学二轮专题复习 课时作业13 椭圆、双曲线、抛物线 文（含解析）-人教版高三全册数学试题

课时作业13椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标]1．若双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,9)＝1(a>0)的一条渐近线与直线y＝eq\f(1,3)x垂直，则此双曲线的实轴长为()A．2B．4C．18D．362．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,1)到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(1,0)D．(0,1)3．[2020·全国卷Ⅰ]设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．24．已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq\f(|AF1|,|AF2|)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．35．设F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，M为双曲线右支上一点，N是MF2的中点，O为坐标原点，且ON⊥MF2,3|ON|＝2|MF2|，则C的离心率为()A．6B．5C．4D．36．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq\r(2)，则该双曲线的标准方程为________．7．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝______，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．8．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1|：|BF1|：|BF2|＝3：4：1，则双曲线C的离心率为________．9．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝eq\f(1,2)，椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．10．[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

[B·素养提升]1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点．若点P到直线BC与到直线C1DA．直线B．圆C．抛物线D．双曲线2．[2020·河北九校第二次联考]已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．(1，eq\r(5))D．(eq\r(5)，＋∞)3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝－1上的点，且FP⊥FQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值．课时作业13椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标]1．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(a,3)x，由题意可得－eq\f(a,3)×eq\f(1,3)＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故选C.答案：C2．解析：由题意，知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2).将M(x0,1)代入y2＝2px(p>0)中，得x0＝－eq\f(1,2p).因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,1)到焦点的距离为1，所以x0＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2)＝1.解得p＝1.所以该抛物线的焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).故选A.答案：A3．解析：解法一由题易知a＝1，b＝eq\r(3)，∴c＝2，又∵|OP|＝2，∴△PF1F2易知||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(16－4,2)＝6，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3，故选B.解法二不妨设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝4，,x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))解得y0＝eq\f(3,2)，又|F1F2|＝4，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3，故选B.答案：B4.解析：如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝eq\f(a,2)，|AF2|＝eq\f(3a,2).所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,3).故选A.答案：A5．解析：连接MF1，(图略)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2a，因为N为MF2的中点，O为F1F2的中点，所以ON∥MF1，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF1|，因为3|ON|＝2|MF2|，所以|MF1|＝8a，|MF2|＝6a，因为ON⊥MF2，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，由勾股定理得(8a)2＋(6a)2＝(2c)2，即5a＝c，因为e＝eq\f(c,a)答案：B6．解析：依题意得2b＝2eq\r(2)，tan60°＝eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3)，于是b＝eq\r(2)，2c＝eq\r(3)×eq\f(2,a)，∴ac＝eq\r(3)，aeq\r(a2＋2)＝eq\r(3)，得a＝1，因此该双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.答案：x2－eq\f(y2,2)＝17．解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为eq\f(p,2)，因此eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1,0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为eq\f(|2－0|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：2eq\f(2\r(5),5)8．解析：由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2a，因为|BF1||BF2|＝41，所以|BF1|＝4|BF2|，所以3|BF2|＝2a.又|AF1|＝|AF2|，|AF1|:|BF2|＝3:1，所以|AF2|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2a.不妨设A(0，b)，因为F2(c,0)，所以|AF2|＝eq\r(b2＋c2)，所以2a＝eq\r(b2＋c2)，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝2c2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，即双曲线C的离心率为eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)9．解析：(1)由题意知，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由条件可知F1(－eq\r(3)，0)，直线l：y＝x＋eq\r(3)，联立直线l和椭圆C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))，消去y得5x2＋8eq\r(3)x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝eq\f(2\r(6),5).10．解析：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2，解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的离心率为eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，eq\r(3)c)，(0，－eq\r(3)c)，C2的准线为x＝－c.由已知得3c＋c＋c＋c＝12，即c所以C1的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，C2的标准方程为y2＝8x.[B·素养提升]1.解析：如图，连接PC1，过点P作PH⊥BC于点H.∵C1D1⊥平面BB1C1C，PC1⊂平面BB1C1C，∴PC1⊥C1D1，∴|PC1|＝|PH|，故点P答案：C2．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，因为点P在双曲线的右支上，所以|k|<eq\f(b,a)，F2(c,0)到直线PF1的距离d＝eq\f(2|kc|,\r(k2＋1))＝a，解得k2＝eq\f(a2,4c2－a2)＝eq\f(a2,3c2＋b2)，根据k2<eq\f(b2,a2)，得a4<3b2c2＋b2，所以a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2<3b2c2，则a2－b2<3b2.即eq\f(b2,a2)>eq\f(1,4)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)>eq\f(5,4)，则e>eq\f(\r(5),2)，故选B.答案：B3．解析：(1)抛物线C的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点．理由如下：设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，点Q(－1，m)由(1)得焦点F(1,0)，则eq\o(FP,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－1，y0))，eq\o(FQ,\s\up11(→))＝(－2，m)，由题意可得eq\o(FP,\s\up11(→))·eq\o(FQ,\s\up11(→))＝0，故－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－1))＋my0＝0，从而m＝eq\f(y\o\al(2,0)－4,2y0).故直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(y0－m,\f(y\o\al(2,0),4)＋1)＝eq\f(2,y0).故直线PQ的方程为y－y0＝eq\f(2,y0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y\o\al(2,0),4)))，得x＝eq\f(y0y,2)－eq\f(y\o\al(2,0),4).①又抛物线C的方程为y2＝4x，②所以由①②得(y－y0)2＝0，故y＝y0，x＝eq\f(y\o\al(2,0),4).故直线PQ与抛物线C只有一个交点．4．解析：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有eq\f(4,4b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意知直线MN的斜率存在．当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2eq\r(2)，0)，N(2eq\r(2)，0)，则直线MA：y＝eq\f(－1,－2＋2\r(2))(x＋2eq\r(2))，直线NA：y＝eq\f(－1,－2－2\r(2))(x－2eq\r(2))，则yP＝eq\r(2)，yQ＝－eq\r(2)，eq\f(|PB|,|BQ|)＝1.当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1联立，化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，Δ