第一章 空间向量与立体几何 章末重难点归纳总结（原卷版）

第一章空间向量与立体几何章末重难点归纳总结考点一空间向量的线性运算及数量积【例1】（2023春·江苏连云港）平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则（

）A． B．2 C． D．10【一隅三反】1．（2023河南新乡）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．82．（2023北京）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个3．（2022·高二课时练习）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）

A． B．C． D．4．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．考点二空间向量的基本定理【例2-1】（2023春·江苏南通）已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（

）A． B．C． D．【例2-2】．（2023春·高二单元测试）已知是空间的一个基底，若，，则（

）A．是空间的一个基底B．是空间的一个基底C．是空间的一个基底D．与中的任何一个都不能构成空间的一个基底【一隅三反】1．（2023春·河南周口）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（

）A．B．C．D．3．（2022秋·高二单元测试）（多选）下列各组向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）4．（2023甘肃）（多选）下列命题正确的是（）A．若，则与共面B．若与共面，则C．若＝x＋y，则M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，则＝x＋y考点三空间向量运算的坐标表示【例3】（2023广西）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C．） D．与夹角的余弦值为【一隅三反】1．（2023广东）若，且为共线向量，则的值为（

）A．7 B．C．6 D．82．（2023福建）已知，，则等于（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一单元测试）设，则AB的中点M到点C的距离（

）A． B． C． D．考点四空间向量与立体的综合运用【例4-1】（2023春·新疆阿勒泰）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

(1)证明：平面平面PBC；(2)当时，求二面角的余弦值．【一隅三反】1．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2023春·浙江）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

(1)求证：平面平面；(2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023春·重庆长寿）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：EF∥平面PBC；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．(3)若，求二面角的平面角的余弦值.考点五动点和轨迹问题【例5-1】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为.

【例5-2】（2023春·上海宝山）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：

(1)与所成角的大小；(2)二面角的余弦值；(3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由.【一隅三反】1．（2023春·河北保定）（多选）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（

）A．若直线与平面没有公共点，则点P的轨迹长度为B．若，则点P的轨迹长度为C．二面角B—EF—D的正切值为D．过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形2．（2023春·山东枣庄），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为.

3．（2023·山西晋中·高二