三角形解答题（解析版）-三年（2020-2022）中考数学真题汇编（湖北）

专题17三角形解答题

1.(2021•黄石)如图，D是aABC的边AB上一点，CF√AB,DF交AC于E点，DE=EF.

(1)求证：Z∖ADE丝Z∖CFE;

(2)若AB=5,CF=4,求BD的长.

【分析】(1)利用角角边定理判定即可；

(2)利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB-AD即可得出结论.

【解答】⑴证明：：CF〃AB,

ΛZADF=ZF,ZA=ZECF.

在AADE和ACFE中，

ZA=ZECF

ZADE=ZF,

DE=FE

ΛΔADE^ΔCFE(AAS).

(2)VΔADE^ACFE,

.∙.AD=CF=4.

.∙.BD=AB-AD=5-4=1.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.选择合适的判定方法是解题的关键.

2.(2020•黄石)如图，ΛB=AE,ΛB√DE,ZDΛB=70o,ZE=40o.

(1)求NDAE的度数；

(2)若∕B=30°,求证：AD=BC.

【分析】(1)根据平行线的性质可得/EAB,再根据角的和差关系即可求解;

(2)根据ASA可证AADE丝ABCA,再根据全等三角形的性质即可求解.

【解答】解(1)VAB/7DE,ZE=40o,

ΛZEAB=ZE=40o,

∙.∙∕DAB=70°,

.∙.∕DAE=30°；

(2)证明：在AADE与ABCA中,

'ZB=ZDAE

-AB=AE,

/BAC=ZE

ΛΔADE^ΔBCA(ASA),

ΛAD=BC.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定.全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,HL,全等三角形的对应角相等.

3.(2022•黄石)如图，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC-ZDAE=90°,且点

D在线段BC上，连CE.

(1)求证：Z∖ABD丝Z∖ACE;

(2)若∕EAC=60°,求/CED的度数.

【分析】(1)可利用SAS证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得NACE=NABD,利用等腰直角三角形的性质可求得NACE

=ZABD=ZAED=45o,再根据三角形的内角和定理可求解NAEC的度数，进而可求可求

解

【解答】⑴证明：∙.∙NBAC=NDAE=90°,

ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

在AABD和aACE中，

(AB=AC

ZBAD=ZCAE,

AD=AE

ΛΔABD^∆ACE(SAS)；

(2)解：VΔABD^ΔACE,

：•ZACE=ZABD,

V∆ABC和aADE都是等腰直角三角形，

ΛZACE=ZABD=ZAED=45o,

VZEAC=60o,

ΛZAEC=180o-ZACE-ZEAC=180°-45°-60°=75°,

ΛZCED=ZAEC-ZAED=75O-45°=30°.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内

角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.

4.(2020•荆门)如图，Z∖ABC中，AB=AC,NB的平分线交AC于D,AE〃BC交BD的延长线

于点E,AFLAB交BE于点F.

(1)若NBAC=40°,求NAFE的度数；

(2)若AD=DC=2,求AF的长.

【分析】(1)求出NABC=70°,由平分线的性质得NABD=NDBC=35°,由AF_LAB,得

NBAF=90°,由三角形外角性质即可得出结果；

(2)易证4ADE之Z∖CDB(AAS),得出AE=Ba易证NE=NABD,得出AB=AE,贝IJZiABC

是等边三角形，得NABF=30°,在RtZ∖ABF中，AF=AB∙tanZABF,即可得出结果.

【解答】解：⑴VAB=AC,ZBAC=40o,

11

ΛZABC=ʌ(180o-40o)=^×140o=70°,

YBD平分NABC,

1I

・・・NABD=NDBC=INABC=WX70。=35°,

VAF±AB,

ΛZBAF=90o,

ΛZAFE=ZABD+ZBAF=35o+90°=125°；

(2)VAE/7BC,

ΛZE=ZDBC,

在4ADE和aCDB中，

(NE=ZDBC

JNADE=ZCDB,

(AD=DC

ΛΔADE^ΔCDB(AAS),

ΛAE=BC,

VZE=ZDBC,ZABD=ZDBC,

ΛZE=ZABD,

ΛAB=AE,

JAB=BC,

VAB=AC,

AAB=AC=BC,

.*∙ΔABC是等边三角形，

ΛZABC=60o,

ΛZABF=30°,

VAD=DC=2,

ΛAB=AC=4,

在RtZXABF中，AF=AB∙tanZABF=4×tan30o=4x母=竽.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形

的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质、三角函数定义等知

识；证明三角形全等是解题的关键.

5.(2022•荆门)如图，己知矩形ABCD中，AB=8,BC=x(0<x<8),将AACB沿AC对折

到AACE的位置，AE和CD交于点F.

(1)求证：Z∖CEF丝AADF;

(2)求tanZDAF的值(用含X的式子表示).

E

【分析】(1)根据矩形的性质得到NB=∕D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到BC=

CE,∕E=∕B=90°,等量代换得到∕E=∕D=90°,AD=CE,根据AAS证明三角形全

等即可；

(2)设DF=a,则CF=8-a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8-a,在Rt

△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：［四边形ABCD是矩形,

ΛZB=ZD=90o,BC=AD,

根据折叠的性质得：BC=CE,ZE=ZB=90o,

.∙.NE=ND=90°,AD=CE,

在ACEF与AADF中，

(ZCFE=ZAFD

jZD=ZE=90。,

VAD=CE

ΛΔCEF^∆ADF(AAS)：

(2)解:设DF=a,则CF=8-a,

∙.∙四边形ABCD是矩形，

ΛAB√CD,AD=BC=X,

ΛZDCA=ZBAC,

根据折叠的性质得：ZEAC=ZBAC,

ΛZDCA=ZEAC,

ΛAF=CF=8-a,

在RtZXADF中，

VAD2+DF2=AF2,

Λχ2+a2=(8-a)j,

64-X2

a=

16

DF_64-X2

.".tanZDAF=AD=16x'

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻

折变换(折叠问题)，根据矩形的性质和折叠的性质证出AF=CF是解题的关键.

6.(2022•仙桃)已知CD是AABC的角平分线，点E,F分别在边AC,BC±,AD=ɪn,BD=n,

ΔADE与ABDF的面积之和为S.

(1)填空：当NACB=90°,DE±AC,DFJ_BC时，

①如图1,若NB=45°,m=5√2,则n=5√Σ,S=25；

②如图2,若NB=60。，m=4√3,则n=4,S=8次；

(2)如图3,当∕ACB=NEDF=90°时，探究S与m,n的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,当NACB=60°,ZEDF=120o,m=6,n=4时，请直接写出S的大小.

图1图2图3图4

【分析】(1)①证明4ADE,ABDF都是等腰直角三角形即可解决问题；

②解直角三角形求出AE,DE,BF,DF可得结论；

(2)如图3中，过点D作DM,AC于点M,DNLBC于点N.证明ADME丝ADNF(ASA),推

⅛S=SΔΛDE+SΔBDF=SΔΛDM+SΔBDN,把aBDN绕点D逆时针旋转90°得到右边aADN,ZADN=

90°,ΛD=m,DN=n,可得结论；

(3)如图4中，过点D作DM,AC于点M,DNLBC于点N.证明ADME^aDNF(AAS),推

出S=SΔ,WE+SΔBDF=SΔΛDM+SΔBDN,把aADM绕点顺时针旋转120°得到aDNT,NBDT=60°,

DT=6,DB=4,过点B作BHJ_DT于点H,解直角三角形求出BH,可得结论.

【解答】解：(1)①如图1中，VZACB=90o,NB=45°,

ΛCA=CB,

YCD平分NACB,

ΛAD=DB=5√2,

VDE±AC,DF±BC,NA=NB=45°,

ΛΔADE,zM3DF都是等腰直角三角形,

.∙.BF=DF=5,AE=DE=5,

11

ΛS=I×5X5+∣x5X5=25,

故答案为：5√2,25；

②如图2中，

在RtZ∖ADE中，AD=4√3,NA=90°-∕B=30°,

ΛDE=^ΛD=2√3,AE=√3DE=6,

VDEXAC,DFlBC,CD平分/ACB,

ΛDE=DF=2√3,

ΛBF=2,BD=2BF=4,

Λn=4,

ΛS=I×2√3×6+∣×2√3×2=8√3,

故答案为：4,8√3;

(2)如图3中，过点D作DM,AC于点M,DNLBC于点N.

图3

VDM±AC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

VZDMC=ZDNC=ZMCN=90σ,

・・.四边形DNCM是矩形，

ΛDM=DN,

・・・四边形DMCN是正方形，

ΛZMDN=ZEDF=90o,

：•ZMDE=ZNDF,

VZDME=ZDNF,

ΛΔDME^ΔDNF(ASA),

∙*∙S=SΔADE+SΔBDF≈SΔADM+SΔBDN,

把ABDN绕点D逆时针旋转90。得到右边AADH,NADH=90°,AD=HbDH=n,

・Q1

..S=々inn；

(3)如图4中，过点D作DM,AC于点M,DNJ_BC于点N.

图4

VDM±AC,DN±BC,CD平分NACB,

ΛDM=DN,

VZDMC=ZDNC=90o,

ΛZMDN=180o-ZACB=120°,

JNEDF=NMDN=I20°,

ΛZEDM=ZFDN,

VZDME=ZDNF=90o,

ΛΔDME^ΔDNF(AAS),

+

∙>∙S=SΔΛBESΔBDF=SΔΛDM+SΔ∣J∣>>I∙>

把AADM绕点顺时针旋转120°得到ADNT,ZBDT=60o,DT=6,DB=4,

过点B作BH,DT于点H,

.∙.BH=BDXsin60°=4x整=2/，

,S=SABDT=∣×6×2√3=6√3.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了特殊直角三角形，全等三角形的判定和性质，

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，

属于中考压轴题.

7.(2022•鄂州)如图1,在平面直角坐标系中，RtaOAB的直角边OA在y轴的正半轴上，

且0A=6,斜边OB=IO,点P为线段AB上一动点.

(1)请直接写出点B的坐标；

(2)若动点P满足NPOB=45°,求此时点P的坐标；

(3)如图2,若点E为线段OB的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将AAPE折叠，

点A的对应点为A',当PA'J_OB时，求此时点P的坐标；

(4)如图3,若F为线段AO上一点，且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向

旋转60°得线段FG,连接0G,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段

(2)如图1中，过点P作PHLOB于点H.设PH=OH=X,构建方程求出X,再利用相似

三角形的性质求出PB即可；

(3)如图2中，设PA'交OB于点T.利用相似三角形的性质求出ET,再求出PB,可得

结论；

(4)如图3中，以AF为边向右作等边AAFK,连接KG,延长KG交X轴于点R,过点K

作KJJ_AF于点J.KQJ_OR于点Q,过点0作OTuKR于W.证明4AFPZ^KFG(SAS),推

出NPAF=NGKF=90°,推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小.

【解答】解：（1）如图1中，在RtZ∖A0B中，Z0AB=90o,0A=6,OB=IO,

ΛAB=√OB2-OA2=√102-62=8,

,B(8,6)；

(2)如图1中，过点P作PHLOB于点H.

VZP0H=45o,

ΛPH=OH,

设PH=OH=x,

VZB=ZB,ZBHP=ZBA0=90o,

ΛΔBHP^ΔBΛO,

PHBHPB

AO-BA^OB,

XBHPB

6^8-10’

45

.∙.BH=]x,PB=^x,

4

Λx+^x=10,

・30

・・x=—,

.53050

∙∙πPdB=3×T=T'

ΛPA=AB-PB=8-^=1,

6

ΛP(-,6)；

7

（3）如图2中，设PA'交OB于点T.

图2

VZ0AB=90o,OE=EB,

.∙.EA=E0=EB=5,

ΛZEAB=ZB,

由翻折的性质可知NEAB=NA',

ΛZA,=ZB,

VA,P±OB,

,NETA'=ZBA0=90o,

ΛΔA,TE∞ΔBAO,

・NE_ET

OB-A0,

β_5__ET

•.—,

106

ΛET=3,BT=5-3=2,

,・BTAB

∙cosBd=丽=而'

.28

*βPB-10,

ΛPB=∣,

511

.'AP=AB-PB=8-*=中，

11、

.,.P(—,6)；

2

(4)如图3中，以AF为边向右作等边AAFK,连接KG,延长KG交X轴于点R,过点K

作KJLAF于点J.KQLOR于点Q,过点。作OVuKR于W.

图3

•ZAFK=ZPFG=60o，

.NAFP=NKFG,

•FA=FK,FP=FG,

•△AFP丝Z∖KFG(SAS),

.ZPAF=ZGKF=90o,

•点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小,

,KJ±OA,KQ±OR,

.NKJO=NJoQ=NoQK=90°,

.四边形JOQK是矩形，

.OJ=KQ,JK=OQ,

・KA=KF,KJlAF,

.AJ=JF=I,KJ=√3,

.KQ=0J=5,

,ZKRQ=360o-90°-90°-120°=60°,

.QR=等KQ=祟

.OR=百+苧=孥

.0W=0R∙sin60o=4,

,OG的最小值为4,

∙0F=0W=4,ZF0W=60o,

・AFOW是等边三角形，

∙FW=4,即FG=4,

2

.线段FP扫过的面积=6°,ln4=⅛

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质,

相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

8.(2022•武汉)问题提出

如图(1),在aABC中，AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E,使DE=DB,延长ED

AF

交AB于点F,探究77的值.

AB

问题探究

AF

(1)先将问题特殊化.如图(2),当NBAC=60°时，直接写出二的值；

AB

(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

CG1

如图(3),在aABC中，ΛB=AC,D是AC的中点，G是边BC上一点，一=-(n<2),

BCn

AF

延长BC至点E,使DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出二的值(用含n的式子表示).

【分析】问题探究

(1)取AB的中点G,连接DG,利用等边三角形的性质可得点F为AG的中点，从而得出

答案；

EB3

(2)取Be的中点H,连接DH,利用ASA证明aDBH丝Z∖DEC,得BH=EC,则一=一,再

EH2

根据DH〃AB,得AEDHSAEFB,从而得出答案；

问题拓展

HE1

取BC的中点H,连接DH,由(2)同理可证明ADGHgADEC,得GH=CE,得==一,再

BC7n

根据DH〃AB,得AEDHS∕∖EFB,同理可得答案.

【解答】解:(1)如图，取AB的中点G,连接DG,

A

••点D是AC的中点，

•・DG是AABC的中位线，

∙.DG√BC,

∕AB=AC,ZBΛC=60o,

,.ΔABC是等边三角形，

••点D是Ae的中点，

∖ZDBC=30o,

ZBD=ED,

∖ZE=ZDBC=30o,

\DFlAB,

.φZAGD=ZADG=60o,

,.ΔADG是等边三角形，

1

∖AF=揶，

1

ZAG=抑，

∙.AF=∣AB,

.AF1

"AB-4：

(2)取BC的中点H,连接DH,

：点D为Ae的中点,

ΛDH/7AB,DH=∣AB,

VAB=AC,

ΛDH=DC,

ΛZDHC=ZDCH,

VBD=DE,

ΛZDBH=ZDEC,

ΛZBDΠ=ZEDC,

ΛΔDBH^ΔDEC(ASA),

ΛBH=EC,

.EB3

∙・EH―2

VDH√AB,

Λ∆EDH^ΔEFB,

.FBEB3

*ΦDH^EH^2,

φFB_3

φ*AB-4,

.AF1

.∙~=—.

AB4,

问题拓展

取BC的中点H,连接DH,

由(2)同理可证明aDGH&Z∖DEC(ASA),

ΛGH=CE,

ΛHE=CG,

CG_1

β•φ——,

BCn

HE1

•.—,

BCn

.HE2

•∙=一,

BHn

.HE__2_

BEn+2

VDH√BF,

ΛΔEDH^ΔEFB,

HEDH__2_

**BE-BF-n+2,

1

VDH=^AB,

.BFn+2

•∙=，

AB4

.AF2-n

*,AB-

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性

质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形全等是

解题的关键.

9.(2021•仙桃)如图1,已知NRPQ=45°,Z∖ABC中，ZACB=90o,动点P从点A出发，

以2√5cm∕s的速度在线段AC上向点C运动，PQ,PR分别与射线AB交于E,F两点，且

PEXAB,当点P与点C重合时停止运动，如图2,设点P的运动时间为xs,N即Q与aABC

2

的重叠部分面积为ycm,y与X的函数关系由C,(0<x≤5)和C2(5<x≤n)两段不同

的图象组成.

(1)填空：①当x=5s时，EF=10cm；

√5

②SlnA=—；

一5一

(2)求y与X的函数关系式，并写出X的取值范围；

(3)当y236cn)2时，请直接写出X的取值范围.

【分析】(1)当x=5时，如图3中，点F与B重合.利用三角形的面积公式求出EF,PE,

可得结论.

(2)分两种情形：当0<xW5时，重叠部分是aPEF,当5<xW6时，如图4中，重叠

部分是四边形PTBE,分别利用三角形面积公式求解即可.

(3)求出y=36时，对应的X的值，可得结论.

【解答】解：(1)当x=5时，如图3中，点F与B重合.

图3

VZRPQ=45o,PE±AB,

ΛZPEF=90°,

.∙.∕EPF=∕PFE=45°，

ΛEF=EP,

1

由题意一∙EF∙PE=50,

2

ΛEF=PE=10(cm),

VAP=5×2√5=10√5(cm),

..PE10√5

∙"Aa=前==了.

√5

故答案为：10,γ.

(2)当0VxW5时，重叠部分是APEF,y=∣×(y×2√5x)2=2χ2.

如图3中，在RtZ∖APE中，AE=√PA2-PE2=2—IO2=20(cm),

ΛAB=EF+AE=30(cm),

ΛBC=^AB=6√5(cm),

ΛAC=√AB2-BC2=J3O2-(6√5)2=12√5,

.∙.点P从A运动到C的时间X=笑=6,

当5<x<6时，如图4中，重叠部分是四边形PTBE,作BL〃PF交AC于L,过点L作LJ

J_AB于J,LK_LAC交AB于K,过点B作BIILPF于H.

图4

VBLPF,

二NLBJ=NPFE=45°,

ΛΔBLJ是等腰直角三角形，

ΛBJ=LJ=10(cm),BL=10√2(cm),

.∙+.KL1

•taM=AL=P

ΛLK=5√5,AK=25,

ΛBK=AB-AK=30-25=5,

VBC√KL,

・・・NFBT=NBKL,

ΛΔFBT^∆BKL,

*_BF_F_T

•∙-=，

BKBL

.6x-30_TF

5—10√2,

.∙.FT=(12√2x-60√2)(cm),

VBH=考BF=孝(6x-30)=3√2x-15√2,

2

.••y=SAPEF-S∆BTF=∣×2x×2x-i×(12√2x-60√2)<3√2x-15√2)=-34χ+360x-900.

1

解法二：过点T作TWLBF于W,求出TW,根据S^BF=∕BF∙TW,求解.

g,匚匚、4f2x2(O<x≤5)

综上所述，y=].

(-34X2+360x-900(5<x≤6)

(3)当y=36时，2x°=36,x=3√2,

-34X2+360X-900=36,

78

解得x=6或石,

78

V—<5,

17

Ax=居不符合题意舍弃,

观察图象可知，满足条件的X的值为3√2≤x≤6.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，三角形的面积，相似三角形的

判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线，构造相似三角

形解决问题.

10.(2021•仙桃)已知aABC和ADEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,NBAC=NEDC=n°.

(1)当n=60时,

①如图1,当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：BE=AD；

②如图2,当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；

(2)当n=90时，

①如图3,探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；

②当BE〃AC,AB=3√2,AD=I时，请直接写出DC的长.

【分析】(1)①根据题意当n=60时，AABC和ADEC均为等边三角形，根据线段之间的

关系易推出BE=AD;

②通过SAS求证AACD丝Z∖BCE,即可找到线段BE与AD的数量关系；

(2)①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证aDCAsZiECB即可找到线段

BE与AD的数量关系；

②分两种情形：当点D在AABC外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证AEFBs4

CFA,再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC的长即可求出DC的

长.当点D在aABC内部时，当点D在AABC内部时，过点DH_LAC于点H,根据已知条件

得出DH和CH,在ACDH中，根据勾股定理求出CD的值，综上可得结论.

【解答】解：(1)①当n=60时，Z^ABC和aDEC均为等边三角形，

ΛBC=AC,EC=DC,

XVBE=BC-EC,

AD=AC-DC,

ΛBE=AD,

故答案为：BE=AD;

②BE=AD,理由如下：

当点D不在AC上时，

VZACB=ZACD+ZDCB=60o,ZDCE=ZBCE+ZDCB=60o,

・・・ZACD=ZBCE,

在AACD和ABCE中，

(AC=BC

ZACD=NBCE,

DC=EC

ΛΔACD^ΔBCE(SAS),

ΛAD=BE;

(2)①BE=√∑AD,理由如下：

当n=90时，在等腰直角三角形DEC中：^l=Sin45°=乌,

ECN

AC√2

在等腰直角三角形ABC中：=sin45o=—,

BC2

VZACB=ZACE+ZECB=45o,ZDCE=ZACE+ZDCA=45°,

ΛZECB-ZDCA

在ADCA和AECB中，

,

(DC=AC_72

JEC=Bc=T,

(NDCA=ZECB

ΛΔDCA<^ΔECB,

AD_√2

•φ.—,

BE2

ΛBE=√2AD,

②DC=5或4^,理由如下：

当点D在AABC外部时，设EC与AB交于点F,如图所示:

∙.∙AB=3√Σ,AD=I

由上可知：AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2,

又；BE〃AC,

.∙.NEBF=NCAF=90°,

而/EFB=NCFA,

ΛΔEFB^ΔCFA,

,EF_BF_BE__V2__1

''CF-AF-AC-3√2-3’

.∙.AF=3BF,而AB=BF+AF=3√2,

ΛBF=∣×3√2ɪʃ,

在RtΔEBF中：EF=√BE2+BF2=J(√2)2+(竽/=空,

又∙.∙CF=3EF=3x警=

ΛEC=EF+CF=ɪ+=5√2(或EC=4EF=5√5),

在等腰直角三角形DEC中，DC=EC∙cos45o=5√2×2y=5.

当点D在aABC内部时，过点D作DHLAC于H

VAC=3√2,AD=I,∕DAC=45°

.∙.AH=DH=孝，CH=AC-AH=挈

ΛCD=√DH2+CH2=2+2=V13>

综上所述，满足条件的CD的值为5或g.

【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质,

相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根

据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关

键.

11.(2020•襄阳)在aABC中，ZBAC=90o,AB=AC,点D在边BC上，DE_LDA且DE=DA,

AE交边BC于点F,连接CE.

(1)特例发现：如图1,当AD=AF时,

①求证：BD=CF;

②推断：ZACE=90°

(2)探究证明：如图2,当ADWAF时，请探究NACE的度数是否为定值，并说明理由;

EF1

(3)拓展运用：如图3,在(2)的条件下，当蒜=W时，过点D作AE的垂线，交AE

∕∖rɔ

于点P,交AC于点K,若CK=竽，求DF的长.

图2

【分析】(1)①证明AABDgaACF(AAS)可得结论.

②利用四点共圆的性质解决问题即可.

(2)结论不变.利用四点共圆证明即可.

(3)如图3中，连接EK.首先证明AB=AC=3EC,设EC=a,则AB=AC=3a,在RtaKCE

中，利用勾股定理求出a,再求出DP,PF即可解决问题.

【解答】(1)①证明：如图1中,

BDC

E

图1

VAB=AC,

ΛZB=ZACF,

VAD=AF,

：•ZADF=ZAFD,

：•ZADB=ZAFC,

ΛΔΛBD^ΔΛCF(AAS),

ΛBD=CF.

②结论：NACE=90°.

理由：如图1中，VDA=DE,ZADE=90o,AB=AC,ZBAC=90o,

,NACD=NAED=45°,

ΛA,D,E,C四点共圆，

.∙.ZADE+ZACE=180o,

ΛZACE=900.

故答案为90.

(2)结论：ZACE=90o.

理由：如图2中,

图2

VDA=DE,ZADE=90o,AB=AC,ZBAC=90o,

・•・NACD=NAED=45°,

ΛA,D,E,C四点共圆,

ΛZADE+ZACE=180o,

ΛZACE=90o.

(3)如图3中，连接EK.

VZBAC+ZACE=180o,

ΛAB/7CE,

ECEF1,16

Λ一=—=一,设EC=a,贝πIJAB=AC=3a,AK=3a-

ABAF33

VDA=DE,DK±AE,

ΛAP=PE,

.∙.AK=KE=3a-竽，

VEK2=CK2+EC2,

...（3a一竽）2=号）2+a2f

解得a=4或0（舍弃），

.∙.EC=4,AB=AC=12,

ΛAE=√AC2+EC2=√122+42=4√10,

/.DP=PA=PE=∣AE=2√Tθ,EF=∣AE=√10,

ΛPF=EF=√10,

VZDPF=90o,

ΛDF=√DP2+PF2=J（2√Tδ）2+（√ιo）2=5√2.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,

属于中考压轴题.

12.(2020∙随州)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯

定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，创