指数函数与对数函数互为反函数（解析版）2023年高考数学技巧练习

专题04指数函数与对数函数互为反函数

一、结论

若函数y=∕(x)是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/T(χ).特别地，y=优与

j=Iogn%(α>0且α≠l)互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于)'=X对称，即O⅛,∕(Xo))与(/(%),x°)分别在函

数y=/(x)与反函数y=/T(x)的图象上.

若方程x+∕(x)=Z的根为X∣,方程x+/T(x)=A的根为々，那么西+X2=h

二、典型例题

例题1.(2022・高三课时练习)若关于X的方程x+logsX=4与χ+5*=4的根分别为"7、"，贝!]〃?+〃的

值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】解：由题意，可知k>gsX=-χ+4,5'V=-X+4,作出函数y=l0g5X,y=5*,y=-χ+4的图像(如

图)，

fV=X,

A、B两点的横坐标分别为〃，且A、B关于直线y=x对称，AB的中点为C,联立可得点C

[y=r+4Z,f

的横坐标为2,因此zn+"=4.

故选：C.

【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程％+∕(X)=左的根为西，方程x+/T(x)=A的根为马，那

么斗+Z=h在本例中，记/(X)=Iog0则尸(X)=5\这样利用结论，可快速得到：机+〃=4。

例题2.(2022春•河南新乡•高二封丘一中校考期末)已知X是方程x∙3*=4的根，9是方程x∙bg3*=4

的根，则XlX2=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】D

4_4

【详解】方程43，=4可变形为3'=2，方程x∙logjx=4可变形为logs》==,

44

所以，巧是y=3，与y=—的图象的交点横坐标，々是y=bg3X与Y=一的图象的交点横坐标，

因为y=3，与y=log3X互为反函数，这两个函数的图象关于直线y=x对称，

在函数y=：图象上任取一点（a,。），该点关于直线V=X的对称点的坐标为（反«）,

4Λ4

由b=—可得a==,则点SM）也在函数y=—的图象上，

a0X

4

故函数y=2的图象关于直线y=X对称，

所以，点与点|\,色］关于直线y=χ对称，所以玉=色，故为χ,=4.

IXjI×1）¾

故选：D.

【反思】本题主要考查反函数的性质，（。，3在y=∕（x）上，贝!∣S,α）在y=/T（X）上，结合图形的对称性,

从而得到结论=4.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）若阳满足2'=5-x,々满足x+log2X=5,则占+刍等于（）

【答案】D

【详解】由题意5-x∣=2%故有5-X2=IognX2

故士和巧是直线V=5-X和曲线＞=2'、曲线y=bg2X交点的横坐标.

根据函数y=2*和函数y=Iogzx互为反函数，它们的图象关于直线V=x对称,

故曲线y=2,和曲线y=log?x的图象交点关于直线y=x对称.

即点（制，5-制）和点（X2,5-X2）构成的线段的中点在直线y=x上，

土也=5f+5f,求得χ∕+χ2=5,

22

故选：D.

2.(2022•陕西咸阳•校考模拟预测)已知4是函数/(x)=2"+X-2的零点，々是函数8(力=1%(》-1)+》一3

的零点，则玉+W的值为()

A.17B.5C.12D.3

【答案】D

1

【详解】由已知可得/(X,)=2*+Λ,-2=0,所以，2'=2-x1,

所以，A为直线y=2-x与曲线y=2*的交点的横坐标，

g(x2)=Iog2(x2-l)+¾-3=0,则Iogz(X2-I)=2-(电-1),

则*2-1为直线y=2-x与曲线y=log2》的交点的横坐标，如下图所示：

函数y=∣0g2χ与y=2'的图象关于直线y=χ对称，联立「V=XC，可得χ=y=ι,

U=2-X

所以，直线V=X与直线y=2-χ交于点C(Ll),

由图象可知，点A、8关于点C对称，所以，X,+X2-1=2,可得%+*2=3.

故选：D.

3.(2020秋•湖南常德•高二临澧县第一中学校考阶段练习)若α>l,设函数/(χ)=/+χ-4的零点为加，

8(》)=108“工+*-4零点为"，则'+’的取值范围是()

mn

A.g'+OO[B.*+OO)C.[l,+∞)D.[4,+∞)

【答案】C

【详解】α"+x-4=0o优=4-x,Iogt,x+x-4=0=log,,x=4-x,

也〃可以看作是直线丫=4-*与函数、="和)，=108。》交点的横坐标，

作出图象，如图，

y=lθg.X与y=α”互为反函数，图象关于直线Y=X对称，而直线y=4-x与直线y=x垂直，因此直线

y=4-x与)，="和y=log∕图象交点尸,。也关于直线y=%对称，

所以m+71=4,由图象知0<m≤2,2≤”<4.

11"?+〃4

y=——+—=-------=-------------,

tnnmnm(4-∕%)

Xy=AH(4-tn)=-m2+4/w=-(m-2)2+4,O<∕n≤2,所以0<m(4-τπ)≤4,

M（4-ni）

所以所求范围是［I,”）.

故选：c.

4.（2023•全国•高三专题练习）已知α是方程x+lgx=3的解，6是方程2x+100*=3的解，则（）

A.a+b~=—B.a+b^=3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=-

2

【答案】C

【详解】在2x+100'=3中，令f=2x,则有t+l（T=3,

因为y=Igx与y=10'互为反函数，图象关于N=X对称.

依题意可知。，f就是直线y=3-x与曲线y=lgx,y=10,交点的横坐标，

所以驾=?，所以“+z=3,SPa+2⅛=3.

22

故选：C.

5.（2020秋•高一课时练习）关于X的方程x+lgx=3,χ+10'=3的根分别为α,夕，则α+/?的值为（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】∣gx=3-x,10,=3-χ.

作出y=igχ,y=10'和y=3—X的图象如图所示.

A,B两点的横坐标分别是夕，α,点A,B关于直线y=x对称,

.∙.A,B两点的中点是C.联立y=x和y=3—X,

x13

6.(2022・全国•高三专题练习)设相，〃分别是方程丫*/_4和x+el°gd=4(Q>l)的根，则」7+丁F的

x+a-4〃2+14+3〃

最小值是()

13128

A.—B.—C.2∙y2—1D.—

2119713

【答案】B

【详解】方程χ+∕=4和x+el°gM=4(a>l)可化为：

Xɪ

eex

a=(a)=4-X,loglx=4-x,

af

即方程的根分别为函数y=(U)',y=bg∕X图象与y=4-x的交点的横坐标,

因为y=(α","i°g∕χ互为反函数，

所以y=3%,y=∣°g丁的图象关于直线y=χ对称，

因为直线〉=4-》与直线丁=犬垂直且交点为(2,2)

所以7%+〃=4,

所以3"+3+3"+4=19,

1333133

故募十小厂藐TrErWg+3)+(4+3")K---------1-----)----

3m÷34+3〃

=!>嗤普+笺*)*(6+2拘4

1311

当且仅当3m+3=4+3〃，即m=L12=^7时，等号成立,

66

故选：B

7.(2017秋・山西太原•高一山西实验中学校考期中)若占满足x+2*=4,小满足'+/意2》=4,则占+々=()

5C7

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】D

【详解】由题x∣满足2'=4-x,*2满足l°g2*=4-x.故画出y=4-x与y=log2∙r和y=2"的图像可知,因为

丫=1082》和,=2'关于'=犬对称,且'=》与丫=4_》交于(2,2).

8.(2022秋•黑龙江牡丹江•高一牡丹江市第三高级中学校考期末)已知三个函数/(X)=2Λ+X-2,

g(x)=d-8,∕z(x)=log2X+x-2的零点依次为α、b、J则q+6+c=

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【详解】令F(X)=O,得出2*=2r,令MX)=0,⅛⅛log2x=2-x,

则函数y=2-x与函数y=21y=log∕交点的横坐标分别为。、C.

函数y=2，与y=Iog?X的图象关于直线y=x对称，且直线、=%与直线丫=2-*垂直，

如下图所示：

联立二;得χ=y=l,则点A(Ll),

由图象可知，直线y=2-x与函数y=2，、y=bg2X的交点关于点A对称，则α+c=2,

由题意得g(b)="-8=0,解得b=2,因此，a+b+c=4.

故选：C.

9.(2020・高一课时练习)若玉是方程χe*=4的解，々是方程XInX=4的解，则王超等于()

A.4B.2C.eD.1

【答案】A

4

【详解】因为々是方程疝*=4的解，所以/是函数y=e*与y=?交点尸的横坐标；

X

4

又巧是方程XlnX=4的解，所以々是函数V=Inx与y=一交点。的横坐标；

X

因为函数y=e*与y=Inx互为反函数，所以函数y="与N=Inx图像关于直线y=X对称，

4

又y=2的图像关于直线y=为对称，

X

因此，P,Q两点关于直线y=χ对称，所以有~二%，

M=K

因止匕XlX2=XJ=4.

故选：A

二、填空题

10.(2023秋•陕西渭南•高一统考期末)设方程2"∣+x-6=0的解为玉，方程1鸣捺+犬-6=0的解为々，

贝IJΛl+X2=.

【答案】6

YY

【详解】由方程2'*∣+x-6=0得2's=6-x,由方程logq+x-6=0得1%1=6-尤

由于f(x)=2用与g(x)=log25互为反函数，图像关于V=X对称.

、P∕=2"∣y=x

如图示，2川=6-%的根为点4的横坐标，1。82'|=6-%的根为点8的横坐标，

因为/(X)=2*M与g(x)=log2^图像关于y=χ对称，且y=χ与y=6-x垂直，所以

AB两点为y=x与y=6-x的交点，且关于V=X对称.

y=X

-N解得：x=3,则为+々=6.

{y=6-X

故答案为：6.

11.(2022春・湖南•高一校联考阶段练习)已知函数/(x)=e'+x—兀，g(x)=x+lnx-π,若

afM=加川=1(α>0,α≠1),则%+々.

【答案】兀

【详解】=朋*"=l(">0,α*l),则/(x∣)=e*i+X]—兀=。，得：ev'=π-x∣；

令g(x2)=Λ2+1ΠΛ⅛-π=0,得：Inx2=π-x2；

所以A，巧分别为y=e"和y=lnx与V=兀-X的图像交点的横坐标，如图所示：

因为y=e"和y=lnx互为反函数，所以y=e，和y=lnx的图像关于y=x对称，所以A、B两点关于N=X对

称.又A、8两点均在N=兀-X的图像上，所以Xl=Tt-£，所以玉+七=兀.

故答案为：π

12.(2021秋・陕西安康・高一统考期中)若实数“、/7满足2"=2-“，1。82e-1)=3-6,则4+b=.

【答案】3

【详解】因为2"=2-”,则“可视为直线y=2r与函数尸2，的图象交点A的横坐标，

因为log2(b-l)=3—b=2—(6-1),则人—1叮视为