北师大版九年级《数学》上册全册教案

第一章特殊平行四边形

第一节菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

教学目标

1.经历观察菱形的特点、猜想及证明的过程，理解菱形性质定理及其推论.

2.通过练习及例题的分析，能正确运用性质解题.

教学重点

菱形的性质的探究.

教学难点

菱形的性质的探究及灵活运用.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：XXX）

国图国圈画团

一、创设情景明确目标

教学问题设计

1.前面我们学习了平行四边形的性质和判定，请大家回忆一下平行四边形的性质和判定.

2.我们知道，两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，如果这个平行四边形有一组邻边相等就成为了

一种特殊的平行四边形，这就是今天我们要研究的——菱形.

教学活动设计：参考教材第1页图形提问学生.

二、自主学习指向目标

1.自学教材第1至3页.

2.学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一菱形的定义

请同学们根据刚才的演示图试着给出菱形的定义.

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

【针对训练】见学生用书Pl“当堂训练”第1题

探究点二菱形的性质定理

从定义上分析，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.那么除了这两个特点之外，大家观察，菱形还有什么特

点？

定理1：菱形的四条边都相等.

定理2：菱形的对角线互相垂直.

教学活动设计

学生活动

学习教材，分析问题.

寻求答案

并师生共同写出过程.

【针对训练】①：见学生用书第1页“当堂训练”第2题

【针对训练】②：

1.菱形的四边；两条对角线.

2.四边形ABC。是菱形，。是两条对角线的交点，AB=5,A0=4,则对角线AC的长为,BO的长

为.

3.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则其周长为,面积为

4.用你认为是最简洁的方法画一个菱形.

四、总结梳理内化目标

本节课你有哪些收获？

1.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.菱形的性质

菱形的四条边都相等.

菱形的对角线互相垂直.

五、达标检测反思目标

1.菱形的两条对角线将菱形分成个等腰三角形；个直角三角形.

2.菱形的对角线长为4和6,求面积.

3.菱形的对角线长为6和8,求边长.

4.菱形的边长为10,一条对角线长为12,求另一条对角线长.

5.菱形的面积为24,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.

6.菱形的边长为10,一个内角为60。，求对角线的长.

7.菱形的周长为24,短对角线长为6,求各内角.

8.菱形的边长为8,一个内角为120。，求对角线的长.

六、布置作业

教材第4页习题1.1第1,213题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第2课时菱形的判定

教学目标

理解并掌握菱形的定义及判定定理，会利用它们来进行有关论证和计算.

教学重点

菱形的判定定理.

教学难点

菱形的定义及判定定理的运用.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：XXX）

[S0画圈图圄

一、创设情景明确目标

我们已经学习了菱形的性质:

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）

性质定理：菱形的四条边都相等；

性质定理：菱形的对角线互相垂直平分；

二、自主学习指向目标

1.自学教材第5至7页.

2.学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一菱形的定义

菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？

探究点二菱形判定定理（1）（2）

判定定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明.

判定定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？

例2的证明还有其他方法吗？

1.自学质疑：自学课本P5〜P6,完成预习题，并提出疑难问题.

2.分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题.

【针对训练】①：

已知：在四边形ABCZ）中，对角线AC与BC互相垂直平分，

求证：平行四边形ABCD是菱形.

【针对训练】

②：见学生用书第2页“当堂训练”第1,2题

四、总结梳理内化目标

小结：菱形的判定方法

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形.

定理1：对角线互相垂直的平行四边形.

定理2：四条边都相等的四边形.

2.菱形可根据哪些进行判定？填写下表：

菱形的判定应具备两个条件

菱形的定义

判定定理1

判定定理2

五、达标检测反思目标

1.如图，将一个长为IoCm,宽为8cm矩形纸片对折两次后，沿所折矩形两邻边中点连线（虚线）剪下，再打

开，得到的菱形的面积为（）

A.10cm2B.20cm2

C.40cm2D.80cm2

错误!

2.如图，点。是AC的中点，将周长为4cm菱形沿对角线AC方向平移AO长度，得到菱形。夕C77,则四边

形OECF的周长是.

3.已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DMVAB,EFLAB,MELAC,Z）GJ_AC.求证：四

边形MEND是菱形.

六、布置作业

教材第7页习题1.2第1,2题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第3课时菱形的性质与判定的综合

教学目标

熟练运用菱形的性质和判定解决综合问题.

教学重点

菱形的性质及判定的综合应用.

教学难点

培养学生运用菱形知识分析问题解决问题的能力.

••教学设计一师一优课一课一名师（设计者：XXX）

国图国图画回

一、创设情景明确目标

我们曾在前面探讨过一种特殊的平行四边形——菱形，大家还记得它吗？——我们来共同回忆一下.

1.菱形的定义

2.菱形的性质

3.菱形的判别方法

师：菱形的这些性质和判别方法我们是怎样得到的？那么你能运用它们解决一些几何综合问题吗？这节课我们

就来探讨这些问题.

二、自主学习指向目标

1.回顾菱形的性质与判定有关定义、定理.

2.学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一菱形性质的综合运用

菱形的性质：

1.菱形具有平行四边形的一切性质.

2.菱形的四条边都相等.

3.菱形的对角线互相垂直.

【针对训练】

如图，四边形ABCQ是边长为13Cm的菱形，其中对角线BQ长IoCm.

通过以上已知条件你能获得哪些结论？若将菱形ABC。的边长改为IOCm.你又能获得那些结论？并说明你的理

由.

探究点二菱形的判定综合运用

你还记得怎样判别一个平行四边形是菱形吗？那么满足什么条件的四边形是菱形？你能证明吗？

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边都相等的四边形是菱形.

说明：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外，其他的判别方法要求学生：选择其中一个画图，

写已知、求证，并思考证明过程，老师巡视指导，然后小组间交流，中心发言人回答，通过引导学生反思本题是否

还有其他解法，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性.

【针对训练】见教材P8做一做.

四、总结梳理内化目标

师：通过本节课你学习了哪些知识？对你有什么帮助？

小结：1.菱形的性质与判定的综合运用.

2.探索问题，总结规律.

3.发现的新的数学思想及方法.

五、达标检测反思目标

1.求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.

2.已知两条对角线，怎样用尺规作一个菱形.

3.拓展延伸：已知AABC中AB=AC,M为底边BC上任意一点,过M点做AC,AB的平行线交AC于尸，交

AB于点。.则例位于BC什么位置时，四边形AQMP为菱形，并说明理由.

4.想一想:

师：你手中菱形是怎样制作的，除了利用菱形的定义以外，我们还可以用哪些方法来作？你可以证明它吗？

六、布置作业

教材第9页习题1.3第1,2,3,4题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第二节矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

教学目标

了解并掌握矩形的定义及其它各种性质.

教学重点

理解并掌握矩形的性质、定理及推论.

教学难点

矩形的性质及其推论的应用.

■■教学设计一师一优课一课一名师(设计者：XXX)

ISI图回匿图图

一、创设情景明确目标

回顾思考：

1.平行四边形有哪些特征？

2.有几种方法可以识别四边形是平行四边形？

3.平行四边形是中心对称图形吗？它的对称中心是什么样的点？平行四边形是轴对称图形吗？如果是，它的

对称轴是怎样的直线？如果不是，请说明理由.

情境在线：

教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.

拉动一对不相邻的顶点A，C,立即改变平行四边形的形状，如图所示.

随着Na由锐角变成钝角时，过Na顶角的对角线由长变短，而另一条对角线由短变长.

当∕α是锐角时，学生可以用刻度尺量出两条对角线的长度，你可判断它们之间数量的关系吗？

当Na是钝角时，学生也可以用同样办法，得到两条对角线的数量关系.

当∕α为直角时，这个时候平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形，也就是我们以前学过的长方形.

二、自主学习指向目标

1.自学教材第11页至13页.

2.学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一矩形的定义

师：矩形和平行四边形有什么区别与联系？

怎样的平行四边形是一个矩形？

【针对训练】见学生用书第7页“当堂训练”第1,2题.

探究点二性质及推论

大家想一想矩形是平行四边形吗？

那么矩形就具有平行四边形的一切特征.

即矩形是中心对称图形；两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分.

矩形除了以上特征外，还有它的特有的性质吗？

学生思考以下问题：

1.上面的活动架当Na为直角时，它们的对角线有何关系？

2.矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是怎样的直线？如果不是请说明理由.

3.说出日常生活中的矩形图象.

结合问题情境的操作演示，要求学生思考如下问题：

(1)无论∕α如何变化，四边形ABCo还是平行四边形吗？

(2)随着Na的变化，两条对角线长度有没有变化？

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

4.安排学生自主阅读教材第11页至第12页的内容.

【针对训练】见学生用书第7页“当堂训练”第3,4题.

四、总结梳理内化目标

1.矩形具有平行四边形的一切性质.

2.矩形是轴对称图形.

3.矩形的四个角为直角.

4.矩形的对角线相等.

5.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

五、达标检测反思目标

1.矩形的定义中有两个条件：一是,二是.

2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.

3.矩形的对角线互相平分.

4.下列性质中，矩形不一定具有的是（）

A.对角线相等B.四个角都相等

C.对角线互相垂直D.是轴对称图形

5.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.两组对边分别平行

B.对角相等

C.对角线互相平分

D.对角线相等

6.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,BE_LAC于E试求出AC,BE的长.

六、布置作业

教材第13页习题1.4第1,2,3题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第2课时矩形的判定

________________________________J匚_■

教学目标

1.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.

2.通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想.

教学重点

矩形的判定的应用.

教学难点

矩形的判定的应用.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：××X）

圜图画圈图圈

一、创设情景明确目标

1.平行四边形的性质是什么？怎样判断一个四边形是平行四边形？

2.什么是矩形？矩形有哪些性质？

3.矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

活动设计：提问学生，使知识得到升华，引起学生学习这节课的兴趣.

二、自主学习指向目标

自学教材第14页至15页.

学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一矩形的定义.

矩形的判定方法有哪些？

首先矩形是一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边

形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重

性：性质和判定）.除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法.

教学活动设计：请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成矩形的条件，思考并探讨，引导学生通过合理、

正确的思维方法，得出矩形的判定.

【针对训练】见学生用书第9页“当堂训练”第1,2题.

探究点二矩形的判定定理

1.矩形判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.（师生一起写出证明过程）见教材P14.

矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.（让学生写出推理过程）

归纳矩形判定方法（由学生小结）：

（1）一个角是直角的平行四边形.

(2)对角线相等的平行四边形.

(3)有三个角是直角的四边形.

2.矩形判定方法的实际应用

除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明矩形判定的实用价值.

教学活动设计：通过自我尝试完成问题，让学生总结问题解决时所用到的知识点、方法规律，问题解决策略及

易错点.通过学生自己动手操作，找到解决问题的方法.

3.【例题讲解】见教材Pl5例2.

【针对训练】见学生用书第9页“当堂训练”第3题.

四、总结梳理内化目标

师：通过本节课你学习了哪些知识？(学生们自己总结)

矩形的判定方法：

(1)矩形的定义(有一个角为直角的平行四边形).

(2)矩形的判定定理：

对角线相等的平行四边形是矩形.

有三个角是直角的四边形是矩形.

五、达标检测反思目标

1.已知：O是矩形A8C。对角线的交点，E,F,G,”分别是OA,OB,0C,0。上的点，AE=BF=CG=

DH.

求证：四边形EFG”为矩形.

2.判断题.

(1)两条对角线相等的四边形是矩形.()

(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.()

(3)有一个角是直角的四边形是矩形.()

(4)在矩形内部没有到四个顶点距离都相等的点.()

教学活动设计：让学生自我反思、交流总结问题解决的方法、技巧、思路和未能解决的问题，为成果展示奠定

基础.教师随时纠正学生出现的错误.

六、布置作业

教材第16页习题1.5第1,2题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第3课时矩形的性质与判定的综合

教学目标

能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论，并能综合运用它们解决几何

综合问题.

教学重点

矩形的性质与判定的综合应用.

教学难点

灵活性运用矩形的性质与判定解决几何综合问题.

、教学设计一师一优课一课一名师(设计者：×XX)

IS图画回图冏

一、创设情景明确目标

活动内容：着手办一期数学手抄报(本章开始时布置).

1.可以以分组或者独立完成的形式，以平行四边形和特殊平行四边形的相关知识为主要内容办一期数学手抄

报.

2.手抄报中必须要包含平行四边形与矩形、菱形的关系图，对相关的性质和判定定理的总结.

3.对平行四边形的题目中经常用到的数学思想方法进行简单的归纳.

二、自主学习指向目标

1.回顾矩形定义及有关性质，判定定理.

2.学习至此，请完成学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点：矩形的性质和判定定理

1.活动内容：将选出的比较好的手抄报进行实物投影，请学生对自己设计的关系图进行说明并把自己选的典

型例题进行简单讲解.再请学生对比前面所学的平行四边形的性质和判定定理的证明过程，思考如何证明矩形的性

质和判定定理.然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后通过实物投影的形式，各小组之间进行交流.

对比以前学习的平行四边形性质定理，引导学生对矩形独有的性质定理和判定定理进行归纳，以使学生形成完

整的知识体系.

定理：矩形的四个角都是直角；

定理：矩形的对角线相等；

定理：有三个角是直角的四边形是矩形；

定理：两条对角线相等的平行四边形是矩形.

(1)学生独立画出图形，在教师引导下运用几何语言写出已知、求证；

(2)请学生交流大体思路；

(3)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题.

教学活动设计：通过小组合作，在合作中学生相互帮助共同进步.

2.［例题讲解］

见教材P16例6P17例4.

活动设计可以培养学生更好地分析问题的能力和解决问题的能力等.

【针对训练】①教材P18随堂练习.

②见学生用书第11页“当堂训练”第1,2,3题.

四、总结梳理内化目标

归纳总结矩形性质与判定.

让学生通过活动探索规律，发现规律，解决问题.

五、达标检测反思目标

1.工人师傅做矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精确度，这是根据

2.如图，在QABC。中，E,F分别为BC,4。的中点，若添加条件,可得四边形AEC尸是矩

形(写出一个条件即可).

C,第2题图）C,第3题图）

3.如图，O为矩形ABCo的对角线交点，。尸平分NADC交AC于点E,交BC于点F,NBDF=I5°,则NCoF

4.（2013•江西）如图，矩形4BC。中，点E,尸分别是AB,CO的中点，连接OE和BF,分别取。E,B尸的中

点Λ7,N,连接AM,CN,MN,若AB=2叵BC=2√3,则图中阴影部分的面积为.

六、布置作业

教材第18,19页习题1.6第1,2,3,5题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第三节正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

教学目标

1.掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

教学重点

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.

教学难点

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：××X）

圜图画圈图图

一、创设情景明确目标

叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.

几种特殊四边形的定义及性质

定义边角对角线对称性

平行四边形

矩形一

菱形

设问：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质

呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形（写出课题）.

（多媒体演示）

1.矩形怎样变化后就成了正方形呢？

2.菱形怎样变化后就成了正方形呢？

二、自主学习指向目标

自学教材第20至21页.

见学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一正方形定义

问题：什么样的平行四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：

（1）有一个角是直角的平行四边形（矩形）一正方形；

（2）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）一正方形.

【针对训练】见学生用书第13页“当堂训练”1,2,3题.

探究点二正方形的性质

问题：正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

归纳、总结正方形的性质：

正方形性质

边加对角线对称性

图形语言

文字语言

符号语言

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导

学生从角、边、对角线、对称性上归纳总结.

正方形性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.

正方形性质定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分.

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？

【例题讲解】见教材P21例1

【针对训练】见学生用书第13页“当堂训练”第4题.

四、总结梳理内化目标

师：通过本节课你学习到了哪些知识？对你有什么帮助？

(师可以从以下几个方面进行提示：1.整节课的感悟；2.总结探索的规律；3.某个知识点的困惑：4.你的新发现;

5.学到的数学思想方法.)

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

2.正方形有哪些性质：

Pf(1)对边平行］

正边

七(2)四条边相等

方.〈

形(3)四个角都是直角角

、(4)对角线互相垂直平分对角线

设计意图：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究

过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人.

五、达标检测反思目标

1.点E在正方形ABCQ的边AB上，且BE=I,CE=2,则正方形的边长为.

2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与相交于点。，图中的等腰三角形有

A.5个

B.6个

C.7个

D.8个

3.如图，正方形的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为cm2.

4.如图，在等腰RtZ;∖A8C中，ZC=90o,正方形Z)EFG的顶点。在边AC上，点E,F在边AB上，点G

在边BCl..

⑴求证：AE=BF-,

(2)若BC=3cm,求正方形DEFG的边长.

六、布置作业

教材第22页习题1.7第1,2,3题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第2课时正方形的判定

■■

教学目标

掌握正方形的判定方法，并能熟练运用正方形的性质和判定解决问题.

教学重点

正方形的判定方法.

教学难点

正方形的判定方法的运用.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：×××）

图图国图回回

一、创设情景明确目标

1.矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？

2.正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质？

正方形不仅是特殊的平行四边形而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形.根据正方形的特征,

不难得到正方形的判定方法，下面就来研究正方形的判定方法.

教学活动设计：提问学生，使知识得到升华，构建数学知识体系.

二、自主学习指向目标

自学教材第22至23页.

见学生用书“课前预习”.

三、合作探究达成目标

探究点一正方形的判定

正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.

∖∖s一个角

\菱形\=>|正方形

W是直角!_一

正方形的判定方法

（1）矩形、菱形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形（一组邻边相等的矩形）；或者先判定四边形

是菱形，再判定这个菱形是正方形（有一个角是直角的菱形）.

（2）定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边行是正方形，这是直接利用定义来判定的.

为了活跃学生思维，可以提出以下问题：

对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

⅛:对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

c：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？

d-.四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？

e：四个角相等的四边形是正方形吗，为什么？

教学活动设计：请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成正方形的条件，思考并探讨，引导学生通过合

理、正确的思维方法，得出正方形的判定定理.

【例题讲解】见教材P23例2.

活动设计：教师引导、点拨、分析，要求学生先自主、再合作，完成证明、计算过程，可以让学生总结问题解

决时所用到的知识点，方法规律，问题解决策略，通过学生自己动手操作，找到方法.

【针对训练】见教材P23做一做.

四、总结梳理内化目标

1.用定义来判断四边形是正方形.

2.用判定方法来判断四边形是正方形.（三个判定定理）（见教材）

通过梳理，让学生交流总结，从中找到图形与图形之间的变化规律，例如正方形可以由平行四边形来定义，也

可以由矩形或菱形来定义，总之让学生运用能力可以得到提高.

五、达标检测反思目标

I.下列说法错误的是（）

A.一组邻边相等的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形

D.有一个角是直角的平行四边形是正方形

AN----yθ

/∖p∕∣

2.如图所示，菱形ABC。中，对角线AC,Bz）相交于点0,若再补充一个条件能使菱形A88成为正方形，

则这个条件是（只填一个条件即可）.

3.已知：如图，点4,B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且Av=BQ=CC=OZZ求证:

四边形ASC。是正方形.

4.如图，正方形ABC£）,AB=a,M为AB的中点，ED=3AE.

（1）求ME的长.

（2）求证：△&WC为直角三角形.

六、布置作业

教材第25页习题1.8第1,2,3题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第二章一元二次方程

第一节认识一元二次方程

第1课时一元二次方程

教学目标

1.让学生理解并掌握一元二次方程的概念.

2.认识并掌握和一元二次方程有关的概念.

教学重点

理解一元二次方程及其相关概念.

教学难点

一元二次方程概念的理解与运用.

•■教学设计一师一优课一课一名师（设计者：××X）

圜圉国国国］回

一、创设情景明确目标

师：1.从前学习过哪些方程，方程和等式有什么区别与联系？

2.让学生举出以前的方程，并且能够指明它的特点（一元一次方程，二元一次方程等等）.

出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如右图，它的长为8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积

为18m2.

让学生根据这一问题情境提出问题：根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量

的什么关系式？

二、自主学习指向目标

自学教材第31至32页.

见学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一一元二次方程的概念

活动一：观察下面等式

102+ll2+122=132+142

得到等式102+1产+122=132+142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和.

活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想.学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前

三个数的平方和等于后两个数的平方和.然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，

促使学生想办法归结为方程去解决.

活动二：

如图，一个长为IOm的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯

子的底端滑动多少米？

活动目的：

通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程.

结合上面三个方程的特点，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念.

一般形式：ax1+bx+c=0（a≠0,a,b,C为常数）

【针对训练】见学生用书第21页“当堂训练”第1,2题.

探究点二一元二次方程的有关概念

2

我们把ax+⅛x+c=0（αW0,“，b,C为常数）称为一元二次方程的一般形式，其中如?，bx,C分别称为二次项，

一次项和常数项，α,b分别为二次项系数和一次项系数.

【针对训练】把方程（3X+2）2=4（X-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和

常数项.

四、总结梳理内化目标

1.一元二次方程的概念，只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成以2+bx+c=0（α,b,C为常数，a

W0）的形式的，这样的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：αr2+⅛x÷c=0（a,b,C为常数，4X0）,其中ar2,bx,C分别称为二次项，一次

项和常数项，a,人分别称为二次项系数和一次项系数.

五、达标检测反思目标

1.当"7时，方程（"L小）x2+,"X—I=O是关于X的一元二次方程.

2.下列方程中是一元二次方程的是（）

B.3∕+2x+l=0

C.（X+4）（X-2）=X2

D.（3X-1）（6X+1）X=0

3.方程2√=3（χ-6）化为一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项分别为（）

A.2,3,_6B.2,—3,18

C.2,-3,6D.2,3,6

4.已知关于X的方程（加+小）%加2—1+2（机一l）χ-1=0.

⑴当初为何值时，方程是一元二次方程？

（2）当m为何值时，方程是一元一次方程？

六、布置作业

教材第32页习题2.1第1,2题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第2课时一元二次方程的近似解

教学目标

1.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力.

2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学

模型.

教学重点

探究一元二次方程的解或近似解，发展学生估算意识和能力.

教学难点

用估算的方法寻求一元二次方程的近似解.

-教学设计一师一优课一课一名师(设计者：××X)

圜图画圈图圈

一、创设情景明确目标

活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

(8-2Λ)(5-2Λ)=18,即：2Λ2-13X+11≈0;

(X+6)2+72=102,即：Λ2+12Λ-15=0.

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用.上一节课的两个问题是否己经得以完全解决？你能求出

各方程中的X吗？

活动内容：1.有一根外带有塑料皮长为IOOm的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表(能测

量是否通)进行检查，你怎样快速的找到这一断裂处？与同伴进行交流.

2.在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为Xm,得到方程：(8—2x)(5—2x)=18,BP：2x2-13x+ll

=0；

(I)X可能小于0吗？说说你的理由.

(2)x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.

(3)完成下表：

X00.511.522.5

2r2-13x+ll

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.

二、自主学习指向目标

自学教材第33至35页.

见学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点求一元二次方程近似解的方法

活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离Xm满足方程(X+6)2+72=

IO2,把这个方程化为一般形式为f+12x—15=0.

1.你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

2.小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗？为什么？

3.底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

4.X的整数部分是几？十分位是几？

活动目的：在本环节中，学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在

列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思

想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备.同时，对于近似解的讨论,

一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫.需要

指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器.

通过以下的儿问继续“夹逼”，使X的范围进一步缩小.通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的

思想.

【例题讲解】见教材第33页做一做.

【针对训练】见学生用书第23页“当堂训练”第1,2题.

四、总结梳理内化目标

根据实际情况通过列表用“逼近法”求方程中未知数的值.

五、达标检测反思目标

1.观察下表，填空：

X0.40.50.60.7

ax1+bx+c—0.64一0.250.160.59

(1)当X=OA时，ax2+bx+c-；

⑵当x=0.6时，ax1+bx+c-；

(3)判断方程αr2+Zu∙+c=0(aW0,a,b,C为常数)的一个解X的取值范围是.

2.一元二次方程OX2+bx+c=O,若有一根为一1,则a—Z>+c=,如果a+b+c=O,则有一根为

六、布置作业

教材第35页习题2.2第1,2题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第二节用配方法求解一元二次方程

第1课时配方法（一）

教学目标

会用配方法解形如（》+，〃）2="（〃＞（））的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1,一次项系数为偶数的

一元二次方程.

教学重点

运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.

教学难点

配方过程中，解一元二次方程的要点的理解.

-教学设计一师一优课一课一名师（设计者：XXX）

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一、创设情景明确目标

活动内容：1.如果一个数的平方等于4,则这个数是,若一个数的平方等于7,则这个数是.-

个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？

2.用字母表示完全平方公式.

3.用估算法求方程f-4x+2=0的解？你喜欢这种方法吗？为什么?你能设法求出其精确解吗？

活动内容：1.工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为I（X）Cm2正方形，请你帮他想一想，这个

正方形的边长应为;若它的面积为75cm2,则其边长应为.（选1个同学口答）

2.如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64cm2,则原来的正方形的边长为.若变化后

的面积为48cm2呢？（小组合作交流）

3.你会解下列一元二次方程吗？（独立练习）

f=5；（X+2）2=5;Λ2+12Λ+36=O.

4.上节课，我们研究梯子底端滑动的距离Xm满足方程/+12x—15=0,你能仿照上面几个方程的解题过程,

求出X的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？（合作交流）

活动目的：利用实际问题，让学生初步体会配方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；

培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.

二、自主学习指向目标

自学教材第36至37页.

见学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点一配方

活动内容1：做一做：(填空配成完全平方式，体会如何配方)

填上适当的数，使下列等式成立.(选4个学生口答)

Λ2+12X+=(X+6)2

X2~6X+=(X—3)2

Λ2+8x+=(x+)2

X2~4X+=(X-A

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x1+ax的式子如何配成完全平方式？(小组

合作交流)

【针对训练】见学生用书第25页“当堂训练”第I,2题.

探究点二用直接开平方解一元二次方程

【例题讲解】

活动内容2：解决例题

(1)解方程：f+8χ-9=0.(师生共同解决)

解：可以把常数项移到方程的右边，得

X2+8X=9

两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得

Λ2÷8X÷42=9÷42.

(X+4)2=25

开平方，得x+4=±5,

即x+4=5,或x+4=—5.

所以XI=1,X2=-9.

(2)解决梯子底部滑动问题：f+12x—15=0(仿照例1,学生独立解决)

解：移项得Λ2+∣2X=15,

两边同时加上62得,Λ2+12X+62=15+36,即-+6/=51

两边开平方，得》+6=雨_

所以：但因为表示梯子底部滑动的距离，所以一病不合题意舍去.

ΛI=√51-6,Λ2=-√51-6,X'2=—6

答：梯子底部滑动了(病一6)米.

活动内容3：及时小结、整理思路

用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交流)

【针对训练】见教材第37页随堂练习.

见学生用书第25页“当堂训练”第3题.

四、总结梳理内化目标

用直接开平方法解形如(X+机)2=〃(〃20)形式的方程，关键是把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0配方成

。+胆)2=〃("三0)的形式.

五、达标检测反思目标

1.用字母表示完全平方公式是：

(x+α)2=_______

(χ-4)2=_______

2.如果一个数的平方等于16,则这个数是,若一个数的平方等于2,则这个数是.

3.填空，完成配方.

(l)x2+IOx+=(尤+)2；

(2)X2-12X÷=(》一)2:

(3)X2+5x+~(x+)2.

4.由上题知方程Λ2+10X+25=1就是方程(x+5)2=1,直接开平方得x+5=＞所以原方程的解是Xi

=，Xz=.

5.用配方法解下列方程：

(1)X2-2X-5=0;(2)√-4x+l=0.

六、布置作业

教材第37页习题2.3第1,2题.

见学生用书“课后作业”栏题目.

第2课时配方法（二）

教学目标

会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

教学重点

运用配方法解一元二次方程.

教学难点

配方过程中，解一元二次方程的要点的理解.

■•教学设计一师一优课一课一名师(设计者：××X)

圜图回国图图

一、创设情景明确目标

活动内容I：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤.[例如：X2-6X-4=0J

活动内容2：(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

X2+2X+=(x+)2

X2~4X+=(X-)2

X2++36=(x+)2

X2+IOx+=(x+)2

JC2-χ+=(X-)2

(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

①f+6x+8=0

②3∕+18x+24=0

探讨方程②应如何去解呢？

活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的

两个习题之间的区别是方程②的二次项系数为3,不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以

后，这两个方程式是同解方程.学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和

思路.

二、自主学习指向目标

自学教材第38至39页.

见学生用书“课前预习”部分.

三、合作探究达成目标

探究点用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

活动内容1：讲解例题

例解方程3Λ2+8X-3=0

解：方程两边都除以3,得

Q

X2+科一1=0

移项，得x2+∣r=l

«44

配方，得f+]χ+q)2=ι+q)2

(x+∣)2=y

451C

χl+g=巧，X∖=γX2=-5.

活动目的：通过对例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解

一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成。+〃?)2=〃(〃20)形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加

常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心.另外，得到