福建省厦门科技中学高三上学期10月月考数学试卷

20202021学年福建省厦门科技中学高三（上）10月月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）等差数列{an}中，Sn是前n项和，若a3+a8＝5，S9＝45，则S11＝（）A．0 B．10 C．20 D．253．（5分）已知集合A＝{x|lg（x2﹣x﹣1）＞0}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞0} C．{x|2＜x＜3} D．{x|0＜x＜1}∪{x|2＜x＜3}4．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为l，圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9与l相切，则p＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知α∈（0，π），2sin（π﹣2α）＝cos2α﹣1，则sinα＝（）A． B． C． D．6．（5分）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.71828…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A．30小时 B．40小时 C．50小时 D．80小时7．（5分）函数f（x）＝的图象大致是（）A． B． C． D．8．（5分）已知定义在R上的奇函数y＝f（x），对于∀x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x），当﹣1≤x＜0时，f（x）＝log2（﹣x），则函数g（x）＝f（x）﹣2在（0，8）内所有的零点之和为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）设a，b，c为正实数，且a＞b，则（）A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．a（c2+1）＞b（c2+1）10．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数D（x）＝，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（）A．D（x）的值域是{0，1} B．∀x∈R，都有D（﹣x）+D（x）＝0 C．存在非零实数T，使得D（x+T）＝D（x） D．对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|D（x）＞a}＝{x|D（x）＞b}11．（5分）已知函数f（x）＝lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述论述，其中正确的是（）A．当a＝0时，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．f（x）一定有最小值 C．当a＝0时，f（x）的值域为R D．若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥﹣4}12．（5分）若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有（）A．f（x）＝ex+e﹣x B．f（x）＝ex﹣e﹣x C．f（x）＝x﹣sinx D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|”是“sin”的条件（选填：充分不必要、必要不充分、充要条件，既不充分也不必要）．14．（5分）（x2﹣2）（x+）10的展开式中x8的系数为（用数字填写答案）．15．（5分）身高互不相同的7名运动员站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有种．（用数字填写答案）16．（5分）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与C的左支交于点A，AF2与C的右支交于点B，cos∠F1BF2＝，则C的离心率为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．（10分）在①sinB＝sinC，②b＝4sinA，③B+C＝2A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4asinB＝bcosA+bsinA，a＝2，_____？18．（12分）设{an}是公比大于1的等比数列，a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣1+a，a∈R．（Ⅰ）若a＝2，试求函数y＝（x＞0）的最小值；（Ⅱ）对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．20．（12分）为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户．（1）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为40%，对两项都不满意的客户流失率为75%，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝，其中n＝a+b+c+d．21．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别是（﹣1，0），（1，0），并且经过点（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点Q（0，2），若C上总存在两个点A、B关于直线y＝x+m对称，且，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）+x+1，函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．20202021学年福建省厦门科技中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴的共轭复数为1﹣i．故选：B．2．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】解：因为a3+a8＝5，S9＝45，∴，解可得a1＝25，d＝﹣5则S11＝11×25＝0．故选：A．3．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵lg（x2﹣x﹣1）＞0，∴x2﹣x﹣1＞1，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2．∴集合A＝{x|lg（x2﹣x﹣1）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选：C．4．【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线l：y＝﹣与圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9相切，可得+2＝3，解得p＝2．故选：B．5．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得sinα的值．【解答】解：∵已知α∈（0，π），2sin（π﹣2α）＝cos2α﹣1，即2sin2α＝（1﹣2sin2α）﹣1，即4sinαcosα＝﹣2sin2α，∴tanα＝﹣2＝，α为钝角．再根据sin2α+cos2α＝1，可得sinα＝，故选：D．6．【分析】列方程求出e10k和eb的值，从而求出当x＝20时的函数值．【解答】解：由题意可知，∴e30k＝，∴e10k＝，∴e20k+b＝（e10k）2•eb＝•120＝30．故选：A．7．【分析】当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得答案．【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知ex＞x3，则→0，排除B．故选：D．8．【分析】根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解．【解答】解：∵奇函数y＝f（x），对于∀x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则f（2+x）＝﹣f（x），即f（4+x）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数．若0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，则f（﹣x）＝log2x＝﹣f（x），则f（x）＝﹣log2x，0＜x≤1，若1≤x＜2，则﹣1≤x﹣2＜0，∵f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x﹣2），则f（x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣log2（2﹣x），1≤x＜2，若2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，f（x）＝﹣f（x﹣2）＝log2（x﹣2），2＜x＜3，由g（x）＝f（x）﹣2＝0得f（x）＝2，作出函数f（x）在（0，8）内的图象如图：由图象知f（x）与y＝2在（0，8）内只有4个交点，当0＜x≤1时，由f（x）＝﹣log2x＝2，得x＝，当1≤x＜2时，由f（x）＝﹣log2（2﹣x）＝2得x＝，则在区间（4，5）内的函数零点x＝4+＝，在区间（5，6）内的函数零点x＝+4＝，则在（0，8）内的零点之和为+++＝＝12故在（0，8）内所有的零点之12，故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．【分析】直接利用不等式的基本性质和对数的运算的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】解：由于a＞b＞0，所以，故，所以，故选项A正确，选项B错误．当a﹣b＞1时，ln（a﹣b）＞0，故选项C错误．对于选项D：由于c2+1＞0，所以a（c2+1）＞b（c2+1），故选项D正确．故选：AD．10．【分析】A根据函数的对应法则，x是有理数时，f（x）＝1，当x是无理数时，f（x）＝0故A正确；B根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数故B错误；C根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，可判断C正确；D，有分段函数知道D（x）＝0或D（x）＝1，所以当a，b为负数时，D（x）＞a与D（x）＞b都恒成立．【解答】解：对于选项A，根据函数的对应法则，x是有理数时，f（x）＝1，当x是无理数时，f（x）＝0故A正确；对于选项B，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故B错误；C若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故C正确D，有分段函数知道D（x）＝0或D（x）＝1，所以当a，b为负数时，D（x）＞a与D（x）＞b都恒成立．D正确故选：ACD．11．【分析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．【解答】解：对于A选项，∵a＝0，∴f（x）＝lg（x2﹣1），即x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1．∴A正确；对于B选项，令u（x）＝x2+ax﹣a﹣1，则复合函数y＝f（x）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1复合而成的∵y＝lgu是单调递增的，而u＝x2+ax﹣a﹣1（u＞0）无最小值，∴f（x）没有最小值．∴B选项错误；对于选项C，当a＝0时，f（x）＝lg（x2﹣1）中的u＝x2﹣1中的u能够取到所有的正数，∴f（x）的值域为R，∴C选项是正确的；对于选项D，∵复合函数y＝lg（x2+ax﹣a﹣1）是由y＝lgu，u＝x2+ax﹣a﹣1复合而成的，而y＝lgu在定义域内是单调递增的，又∵y＝f（x）在区间[2，+∞）上单调递增的，由复合函数的单调性可知，∴u＝x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上是单调递增的，则有，即a≥﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣（1）又∵x2+ax﹣a﹣1＞0在区间[2，+∞）上是恒成立的，则有22+2a﹣a﹣1＞0即a＞﹣3﹣﹣﹣（2）∴a＞﹣3，所以，选项D是错误的．故选：AC．12．【分析】根据函数奇偶性和单调性进行判断．【解答】解：由条件①可知，对∀a∈R，都有f（a）+f（﹣a）＝0，故f（x）是奇函数，由条件②可知，当a＞﹣b时，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），故f（x）是增函数，对于A，f′（x）＝ex﹣e﹣x，显然当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，不符合条件②；对于B，f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，满足条件①，f′（x）＝ex+e﹣x＞0，故f（x）是增函数，满足条件②；对于C，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝sinx﹣x＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，满足条件①，f′（x）＝1﹣cosx≥0，故f（x）是增函数，满足条件②；对于D，当x＜0时，f（x）＞0，而当x＞0时，f（x）＜0，故f（x）在定义域上不是增函数，不满足条件②，故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⫋（﹣+2kπ，+2kπ），k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．14．【分析】在二项展开式（x+）10的的通项公式中，令x的幂指数等于6、8，求出r的值，即可求得（x2﹣2）（x+）10的展开式中x8的系数．【解答】解：∵（x+）10的展开式的通项公式为Tr+1＝•x10﹣2r，令10﹣2r＝6，求得r＝2；令10﹣2r＝8，求得r＝1，故（x2﹣2）（x+）10的展开式中x8的系数为﹣2＝25，故答案为：25．15．【分析】先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列；【解答】解：先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A74，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A74＝840，故答案为：840．16．【分析】可设|BF1|＝t，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，运用离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：可设|BF1|＝t，在直角三角形ABF1中，cos∠ABF1＝﹣cos∠F1BF2＝，sin∠ABF1＝，则|AB|＝t，|AF1|＝t，|AF2|＝2a+|AF1|＝2a+t，|AF2|＝|AB|+|BF2|，即2a+t＝t+t﹣2a，解得t＝5a，在直角三角形AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（t）2+（2a+t）2＝（2c）2，可得16a2+36a2＝4c2，即c2＝13a2，则e＝＝，故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17．【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA＝，结合范围0＜A＜π，可求A＝，若选择条件①，利用正弦定理可得b＝c，由余弦定理即可求得c的值．若选择条件②，由条件可求b的值，进而可求得C＝，由正弦定理即可解得c的值．若选择条件③，由已知利用三角形内角和定理可求A＝，推出矛盾即可得解．【解答】解：因为4asinB＝bcosA+bsinA，由正弦定理可得：4sinAsinB＝sinBcosA+sinBsinA，因为B为三角形内角，sinB≠0，所以4sinA＝cosA+sinA，即3sinA＝cosA，可得tanA＝，因为0＜A＜π，所以A＝，若选择条件①，由sinB＝sinC，利用正弦定理，可得b＝c，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，则4＝（c）2+c2﹣2×，解得c＝2．若选择条件②，由于b＝4sinA，可得b＝4sin＝2，又因为a＝2，所以△ABC是以C为顶角的等边三角形，所以A＝B＝，可得C＝，由正弦定理，可得＝，解得c＝2．若选择条件③，由于B+C＝2A，又因为A+B+C＝π，可得A＝，这与A＝矛盾，则这样的三角形不存在．18．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式；（2）解法一、运用数列的错位相减法求和，计算可得所求和；解法二、运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意可得2（a2+1）＝a1+a3，又a1+a2+a3＝14，可得2（a1q+1）＝a1+a1q2，a1+a1q+a1q2＝14，解得a1＝2，q＝2（舍去），则an＝2•2n﹣1＝2n；（2）解法一、由bn＝anlog2（）n＝﹣n•2n，﹣Tn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，﹣2Tn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得Tn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝2n+1﹣n•2n+1﹣2，所以Tn＝（1﹣n）•2n+1﹣2．解法二、由bn＝anlog2（）n＝﹣n•2n＝（﹣2n+n）•2n＝[﹣2（n+1）+4﹣（﹣n+2）]•2n，所以bn＝[﹣（n+1）+2]•2n+1﹣（﹣n+2）•2n，可得Tn＝[（﹣2+2）•22﹣（﹣1+2）•21]+[（﹣3+2）•23﹣（﹣2+2）•22]+…+{[﹣（n+1）+2]•2n+1﹣（﹣n+2）•2n}＝＝[﹣（n+1）+2]•2n+1﹣2＝（1﹣n）•2n+1﹣2．即Tn＝（1﹣n）•2n+1﹣2．19．【分析】（Ⅰ）由y＝＝＝x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得y＝＝＝x﹣4．因为x＞0，所以x，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥﹣2．所以当x＝1时，y＝的最小值为﹣2．…（6分）（Ⅱ）因为f（x）﹣a＝x2﹣2ax﹣1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在[0，2]恒成立”．不妨设g（x）＝x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]恒成立．因为g（x）＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣1﹣a2，所以即，解得a≥．所以a的取值范围是[，+∞）．…（13分）20．【分析】（1）由题意知，对业务水平满意的为120人，对服务水平满意的为100人，从而补充完整2×2列联表，再根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）X的所有可能取值为0，1，2，由超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率，从而得分布列，再由数学期望的计算公式即可得解；（3）分别求出在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意、只对其中一项不满意以及对两项都不满意的客户流失的概率，从而求得任选一名客户流失的概率，再结合独立重复试验和对立事件的概率即可得解．【解答】解：（1）由题意知，对业务水平满意的为140×＝120人，对服务水平满意的为140×＝100人，补充完整的2×2列联表如下所示：对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数9030120对业务水平不满意人数101020合计10040140∴K2＝＝＝5.25＞5.024，故有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为X012P数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝．（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，只对其中一项不满意的客户流失的概率为，对两项都不满意的客户流失的概率为，从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为P＝1﹣﹣＝．21．【分析】（1）运用椭圆的定义和焦点坐标，可得a，c，进而得到b，可得所求椭圆方程；（2）设直线AB的方程为y＝﹣x+n，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为椭圆C的焦点在x轴上