变式猜想问题-2年中考1年模拟2024年中考数学系列

备战2018中考系列：剧考2耳中老1耳模也

第七篇专题复习篇

专题39变式猜想题

b斛维得点

矢口识点名师点晴

理解并掌握特殊的四边形的性质，并能解决四边形的有关变

特殊的四边形的变式题

变式猜式问题

想问题

三角形有关的变式题利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题

图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题

寸2年中第

[2017年题组】

一、选择题

二、填空题

三、解答题

1.（2017湖南省岳阳市）问题背景：已知/即产的顶点。在△ABC的边所在直线上（不与A,2重合）,

ZJE交AC所在直线于点。尸交8C所在直线于点N,记的面积为N，△8ND的面积为

（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形,A8=6,ZEDF=ZA,>DE//BC,AD=2时，则SiS2=；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点。沿A8平移，使AD=4,再将NEZ小绕点。旋转至如图②所

示位置，求S1S2的值；

（3）延伸拓展：当AABC是等腰三角形时，设/B=/A=NEZm=a.

（I）如图③，当点。在线段AB上运动时，设BD=b,求N8的表达式（结果用a,6和a的三

角函数表示）.

（II）如图④，当点。在BA的延长线上运动时，设AO=a,BD=b,直接写出S0的表达式，不必写出解

答过程.

2.(2017辽宁省盘锦市)如图，在放△ABC中，ZACB=90°ZA=30°,点。为AB中点，点尸为直线

BC上的动点(不与点8、点C重合)，连接OC、OP,将线段。尸绕点P顺时针旋转60°,得到线段尸0,

连接BQ.

(1)如图1,当点尸在线段8C上时，请直接写出线段8。与CP的数量关系.

(2)如图2,当点尸在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明

理由；

(3)如图3,当点P在2C延长线上时，若/3尸。=15°,BP=4,请求出8。的长.

3.(2017辽宁省营口市)在四边形中A8CD,点£为边上的一点，点尸为对角线BO上的一点，且EF

LAB.

(1)若四边形ABC。为正方形.

①如图1,请直接写出AE与。尸的数量关系；

②将△EBF绕点8逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE,DF,猜想AE与。尸的数量关系并说明理由;

(3)如图3,若四边形ABC。为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将△防尸绕点B顺时针旋转a(0°

<a<90°)得到△E'BF',连接AE',DF',请在图3中画出草图，并直接写出AE'与。尸'的数量关系.

4.（2017辽宁省辽阳市）如图1,在放ZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,点、D、E分别在AC、BC边上,

（A）BE与MN的数量关系是；

（2）将绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出

证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若C8=6,CE=2,在将图1中的绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、。三点在一条直

线上时，的长度为.

5.（2017辽宁省锦州市）已知：ZvlBC和△&£>£均为等边三角形，连接BE,CD,点F,G,H分别为DE,

BE,CD中点.

（1）当绕点A旋转时，如图1,则△FGH的形状为,说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B,D,E三点共线时，如图2,若AB=3,AD=2,求线段切的长；

（3）在△AOE旋转的过程中，若AB=a,AD=b（。>6>0）,则的周长是否存在最大值和最小值，若

存在，直接写出最大值.和最小值；若不存在，说明理由.

6.（2017黑龙江省龙东地区）已知：△AO8和△CO。均为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=9Q°.连接

AD,BC,点、H为BC中点,,连接。/.

（1）如图1所示，易证：且OH_LAD（不需证明）

2

（2）将△C。。绕点。旋转到图2,图3所示位置时，线段OH与又有怎样的关系，并选择一个图形证

明你的结论.

A

H'H

O

BD

图1图3C

7.（2017黑龙江省龙东地区）在四边形ABC。中，对角线AC、8。交于点O.若四边形ABC。是正方形如

图1：则有AC=B£）,ACLB.D.

旋转图1中的放△CO。到图2所示的位置，AC与有什么关系？（直接写出）

若四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,旋转出△C。。至图3所示的位置，AC'与8D'又有什么关系？写

出结论并证明.

8.（2017山东省莱芜市）已知△ABC与是两个大小不同的等腰直角三角形.

（1）如图①所示，连接AE,DB,试判断线段AE和。B的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF

的数量和位置关系，并说明理由.

[2016年题组】

、填空题

1.（2016四川省内江市）问题引入:

（1）如图①，在△ABC中，点。是NABC和NAC2平分线的交点，若NA=a,则N30G

a表示）；如图②，ZCBO=-ZABC,ZBCO=-ZACB,ZA=a,贝l|/20C=（用a表

33

示）

拓展研究：

（2）如图③，ZCBO=-Z.DBC,ZBCO=-ZECB,ZA.=a,请猜想N20C=（用a表

33-----------------------

示），并说明理由.

类比研究：

（3）BO、CO分别是aABC的外角NOBC、ZECB的n等分线，它们交于点。，ZCBO=-ZDB.C,

ZBCO=-ZECB,ZA=a,请猜想N80U

二、解答题

2.（2016山东省临沂市）如图1,在正方形A8CD中，点E,尸分别是边BC,A8上的点，且CE=8尸.连

接DE,过点E作EGJ_OE,使EG=DE,连接尸G,FC.

（1）请判断：FG与CE的数量关系是,位置关系是；

（2）如图2,若点E,尸分别是边C8,8A延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请

作出判断并给予证明；

（3）如图3,若点E,尸分别是边8C,A8延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请

直接写出你的判断.

3.（2016山东省济南市）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的

线段之间、角之间的关系进行了探究.

（一）尝试探究

如图1,在四边形ABC。中，AB^AD,ZBAD=60°,ZABC=ZADC=90°,点、E、尸分别在线段3C、CD

上，ZEAF=30°,连接EF.

（1）如图2,将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△?!'B'E'（A,B'与AD重合），请直接写出/

E'AF=度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为.

（2）如图3,当但点E、尸分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD

之间的数量关系，并说明理由.

（二）拓展延伸

如图4,在等边△ABC中，E、尸是边3C上的两点，ZEAF=30°,BE=1,将aABE绕点A逆时针旋转60°

得到B'E'（A,B'与AC重合），连接EE',AF与EE，交于点N,过点A作8c于点

连接MN,求线段MN的长度.

4.（2016广西南宁市）已知四边形ABC。是菱形，A8=4,ZABC=6Q°,/EAF的两边分别与射线C8,

。。相交于点EF,且NEAF=60°.

（1）如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；

（2）如图2,当点E是线段上任意一点时（点E不与2、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图3,当点E在线段C8的延长线上，且NEAB=15°时，求点尸到BC的距离.

5.（2016四川省南充市）已知正方形ABC。的边长为1,点尸为正方形内一动点，若点M在AB上，且满

足△P8CSZ\B4M,延长3P交于点N,连结CM.

图二

图一

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：APLBN；AM=AN；

（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBCs△抬M的点M在的延长线上时，AP_L8N和AM=AN

是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点P,使得尸C=!？请说明理由.

2

6.（2016江苏省泰州市）已知正方形ABCD尸为射线上的一点，以BP为边作正方形BPER使点尸

在线段C8的延长线上，连接EA、EC.

（1）如图1,若点尸在线段A8的延长线上，求证：EA=EC；

（2）若点尸在线段A8上.

①如图2,连接AC,当P为A8的中点时.，判断aACE的形状，并说明理由；

②如图3,设AB=a,BP=b,当E尸平分NAEC时，求a：6及NAEC的度数.

7.（2016福建省南平市）己知在矩形ABC。中.，/AOC的平分线与BC边所在的直线交于点E,点尸

是线段。E上一定点（其中EP<PD）

（1）如图1,若点尸在。边上（不与。重合），将/OPF绕点尸逆时针旋转90°后，角的两边P。、PF

分别交射线ZM于点X、G.

①求证：PG=PF；

②探究：DRDG、。尸之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

（2）拓展：如图2,若点歹在C。的延长线上（不与。重合），过点P作PGLPE交射线D4于点G,你

认为（1）中DE、DG、。尸之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所

满足的数量关系式，并说明理由.

图1图2

8.（2016湖北省黄石市）在△ABC中，AB^AC,ZBAC=2ZDAE=2a.

（1）如图1,若点。关于直线AE的对称点为F,求证：AADFsAABC；

（2）如图2,在（1）的条件下，若a=45°,求证：DE2=BD2+CE2；

（3）如图3,若a=45°,点E在8c的延长线上，则等式+。石2还能成立吗？请说明理由.

小明遇到这样一个问题：如图1,2XABC中，AB=AC,点。在BC边上，ZDAB=ZABD,BELAD,垂足为

E,求证：BC=2AE.

小明经探究发现，过点A作A/U8C,垂足为F得至（从而可证△AB尸0/XBAE（如图2）,

使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答：与△54E'全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA"、aAAS"

或“HL”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3,2XABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,。为8C的中点，E为。C的中点，点F在AC的延长线

上，B.ZCDF=ZEAC,若CF=2,求AB的长；

（3）如图4,ZvlBC中，AB=AC,ZBAC=12Q°，点、D、E分别在A3、AC边上，且4。=红阳（其中0〈左

<—）,ZAED=ZBCD,求生的值（用含左的式子表示）.

3EC

10.（2016辽宁省抚顺市）如图，在△ABC中，BOAC,点E在BC上，CE=CA,点。在A3上，连接

DE,ZACB+ZAZ）E=180°,作Ca_LAB,垂足为

（1）如图。，当NACB=90°时，连接。，过点C作CPLC。交BA的延长线于点足

①求证：FA=DE；

②请猜想三条线段。E，AD,CW之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图6,当NACB=120°时，三条线段QE,AD,CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论.

11.（2016青海省）如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、

正四边形（正方形）、正五边形，BE和。相交于点O.

BC

图3图4

(1)在图1中，求证：AABE^AADC.

(2)由(1)证得△ABE丝△AZJC,由此可推得在图1中NBOC=120°,请你探索在图2中，/BOC的度

数，并说明理由或写出证明过程.

(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图3中NBOO(填写度数).

(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的和AC为边向△ABC外作正"边形，BEC.D

仍相交于点O,猜想得/80C的度数为—(用含n的式子表示).

归纳1:几何图形的有关变式猜想问题

基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、

矩形、菱形、正方形等几何载体.

基本方法归纳：对于几何变式猜想问题主要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中，存

在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关

系，其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等.

注意问题归纳：解决几何变式问题时，要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系，

从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法.

【例11(2017枣庄)己知正方形ABC。，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF,使点歹在线

段的延长线上，连接EA,EC.

(1)如图1,若点尸在线段A8的延长线上，求证：EA=EC；

(2)如图2,若点尸在线段A8的中点，连接AC,判断△ACE的形状，并说明理由；

(3)如图3,若点尸在线段A8上，连接AC,当EP平分NAEC时，设AB=a,BP=b,求a：b及NAEC的

度数.

【例2】（2017山东省烟台市）【操作发现】

（1）如图1,AABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与/AC8重合，再将三角板绕点C按顺时针

方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）,旋转后三角板的一直角边与A3交于点。，在三角板斜边上取一

点、F,使CF=C£）,线段AB上取点E,使N£）CE=30°,连接AREF.

①求/EAF的度数；

②QE与相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2,△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,先将三角板的90°角与NACB重合，再将三角板

绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）,旋转后三角板的一直角边与AB交于点在三

角板另一直角边上取一点「使CF=C。，线段A8上取点E,使NOCE=45°,连接A凡EF,请直接写出

探究结果：

①求NEAP的度数；

②线段AE,ED,DB之间的数量关系.

寸1年横板

一、选择题

二、填空题

三、解答题

1.△ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,点。为直线BC上一动点（点。不与8,C重合），以为边在4。

右侧作正方形ADER连接CF.

（1）观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，①BC与C尸的位置关系为：.

②BC,CD,CP之间的数量关系为：；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点。在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点。在线段的延长线上时，延长54交CF于点G,连接GE.若已知A8=2&,CD=-BC,

请求出GE的长.

2.如图1,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，点8、C分别在边

AD,A尸上，止匕时8O=CF,8。_LCT成立.

(1)当△ABC绕点A逆时针旋转8(0°<6<90°)时，如图2,BD=CF成立吗?若成立，请证明，若

不成立，请说明理由；

(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长8。交CF于点

①求证：BD±CF；

②当AB=2,AQ=3应时，求线段的长.

3.数学课上，张老师出示了问题：如图1,AC,8。是四边形的对角线，ZACB=ZACD=ZABD=

ZADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2,延长CB至！JE,使BE=CD,连接AE,证得

从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE,所以AC=2C+CD

小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将△ABC绕着点A逆时针旋