2023年天津高考金榜预测数学试卷一（解析版）

2023年高考金榜预测卷（一）（天津卷）

数学

一、选择题

1.集合A={X∕>4},β={x∣-5<x<l},则低A)c5=()

A.∣x∣-5<x<-2∣B.{x∣-2<x<2}C.{x∣-2<x<ljD.∣x∣-2≤x<11

K答案DD

K解析1χ2>4,则χ>2或x<—2,则A={x∣x<-2或x>2},∖A={^-2<x<2},

B={x∣-5<x<l},贝∣J(4A)CB={X∣-2≤X<1},

故选：D.

2.“J〉/，是“x>2”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案HB

K解析H因为/>4解得x<-2或x>2,

所以>4”是“χ>2”成立的必要不充分条件，

故选：B

3.著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般

好，隔离分家万事休”，如函数/（X）=孚耳的图像大致是（）

e-e

K答案XD

K解析》由壮工。得X”即函数定义域是3"°｝，排除AB,

txt

x>l时，ln∣Λ∣>O,e-e^'>0<ʃ(ɪ)>O.OVxVl时，InWeO,e-e^>0>

/(x)<0,因此排除C,

故选：D.

4.某城市IOO户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[180,200),

[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组得到如下频率分布直

R答案2B

K解析11在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1,

EP20x(0.002+0.0095+0.01l+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,

解得，X=0.0075.

故选：B.

1

5.己知a=log26，b=20∙4.C=G)3，则。，b,C的大小关系是()

A.b<a<cB.a<c<bC.a<h<cD.b<c<a

K答案UC

,

K解析U由题知，0=Iog21<Iog2ʌ/ɜ<Iog2√4=1,

即：0<β<l,又Z>=2°4>2°=l,所以b>〃；

⅛l5=(20∙4)'5=26=64,

：♦b<c,

所以：a<b<c.

故选：C.

6.已知αe(j∣■,乃)，Sina=|,则tan(α+?)等于()

A.-B.7C.——D.-7

77

K答案》D

K解析D因为々4岸T)，且Sina=所以CoSC=-Jl-siι√α=-，,

LL…Sina3

所以tana=-------=一一,

cosa4

343/八

ɔtana+tan————÷(-l)

IL/\44r

故tan(α+—)=---------------ʒ-=——%----------=-7

4.3冗,/3、/八

1—t3∏(X∙t3∏---1—(—)x(—1)

44

故选：D.

7.椭圆的中心为点4-1,0),它的一个焦点为尸(-3,0),相应于焦点厂的准线方程为

7

x=-g则这个椭圆的方程是()

A.2J鱼=1B.P+.

213

d)?

c+y2=1

5

K答案UD

K解析H因为椭圆中心为点E(T0),且一个焦点为尸(-3,0),

所以该椭圆为中心在坐标原点焦点在X轴上的椭圆向左平移一个单位后的椭圆,

设椭圆方程为(X+0+$=1，由题，c=-l-(-3)=2,

a2从

72s

222

又因为准线方程为X=-：,所以幺=3,解得Y=5,h=a-c=l,

2c2

2

椭圆方程为：^tH+y=l∙

5

故选：D.

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它

体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八

个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1,则经过该

多面体的各个顶点的球的表面积为()

A.8πB.4πC.3πD.2π

K答案》B

K解析》将该多面体补形为正方体，则由OR=1,AO^AR,AOlAR,

所以由勾股定理得：A。=AR=正，所以正方体的边长为正？2√2,

22

所以经过该多面体的各个顶点的球为正方体A38-E尸G”的棱切球，

所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为后x√∑=2,

故过该多面体的各个顶点的球的半径为1,球的表面积为4兀xF=4τt.

故选：B

9.已知函数/(x)=SinΛ∙(si∏Λ+cosx)-g,给出以下四个命题:

①〃”的最小正周期为兀；

②/(χ)在O《上的值域为-ɪ,ɪ;

③“X)的图象关于点传,0)中心对称;

11σr

④“X)的图象关于直线X=T对称.

O

其中正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

R答案1B

K解析》/(ɪ)=sinX∙(sinx+cosɪ)-ɪ

「I

=sιnx∙cosx+sm^x——

=—sin2x——cos2x

22

对于①：因为T=手=兀，所以/O)周期为兀，即①正确;

对于②:因为T词,所以2X手昌汇

Λink-^e1_√2

所以SinW--γ,l

2I4j2,~2^

则/(χ)的值域为乎，即②错误;

对于③：因为/≠0,

所以73的图象不关于点［9,Oj中心对称，即③错误;

对于④：因为野)=冬噂=乎

为f(X)的最大值,

所以/(X)的图象关于直线X=T对称，即④正确;

O

所以正确命题为①④，共2个正确命题.

故选：B.

二、填空题

10.已知复数Z满足z(2T)=i,则∣5ZTI=.

K答案》√2

K解析力由z(2-i)=i,得

_i_i(2÷i)_-l+2i

z-2≡i-(2-i)(2+i)-5,

所以∣5z-i∣=5x≡^-i=|—l+i∣=√∑,

故R答案H为：√2.

11.在(l-x)5(2x+l)的展开式中，r'项的系数为.

K答案》10

K解析U依题意，(1-ɪ)5=I-5x+1Ox2-1Ox3+5x4—X5,因此(I-X)'(2χ+l)展开式中丁项为

IOx2∙2x-10√4=IOx3,

所以犬项的系数为10.

故K答案》为：10

12.已知直线Lx-y+3=0被圆C:(x—4)2+(y-2)2=4(α>0)截得的弦长为2√∑,贝IJa的

值为.

K答案》1

K解析Il依题意可得圆心c(4,2),半径r=2,

∖a-2+3∖∣α+l∣

则圆心到直线的距离"=JF+(_])=二斤，

22

由勾股定理可知，d+孚j=r,代入化简可得∣a+l∣=2,

且“〉0,解得α=l.

故K答案H为：I.

fx2-2x+l,x>0

函数如恰有三个不同的零点,

13.已知函数〃(X)=I+Xg(x)=7)-m+m[

U-4x

则机的取值范围是.

K答案H[θ,2->^)∣{-8+2√15)

X2-2X+1,JC>0x2,x<∖

〃(X)=j1+x:.Λ(l-x)=^2-x

,用，0-------X≥1

K解析》∖-4x[4%-3一一,画出〃(Ir)的图像,

化简，y=m(x-∖)+~,故y=∕nx-加+^的必过点(Iq)，

g(x)=〃(l-x)-∕nr+。恰有三个不同的零点，即为〃(I-X)=∕nr-m+!有三个不同的实

根，作出y=。(I-X)和y=g∙-m+!的图像，

4

直线丁=如一根+!与曲线y=f(χ<i)相切时，有F-,*+加一I=。，由△=(),可得

44

nΓ—Am+1=0,解得机=2—6或机=2+,又由x<l,得/=团一:<1,故m=2+J5

4

(舍去)，

当y=如:一机+!与曲线y=m^(χ≥l)相切时，两图像恰有三个交点，令

44x-3

12-x—

∕77X-∕H÷-=------,此时，解得"7=-8+2jil5,

44x-3

结合图像可得，0<m≤2-百或加=-8+2后

故R答案H为：［θ,2-√3){-8+2√15).

14.有编号分别为1,2,3的3个红球和3个黑球，从中取出2个，则取出的编号互不相

同的概率为;在取出球的编号互不相同的条件下，1号红球被取到的概率为

K答案H,ɪ

［解析D解：从编号分别为1,2,3的3个红球和3个黑球，随机取出2个的取法

Ce=15,

2个球编号相同的取法C；C；=3,则球的编号互不相同的取法15-3=12,

所以取出的球的编号互不相同的概率6=j∣=*∙

因为球的编号互不相同的取法有15-3=12种,

其中1号红球取到的情况有C；=4种，

所以在取出球的编号互不相同的条件下，i号红球被取到的概率、5=V4=1/

41

故K答案》为：—;-

15.在A5C中，AB=4,AC=3,NB4C=90。，点O在线段3C上（点。不与端点氏C

重合），延长AD到P,使得AP=9,PΛ=mPB+1-pc（加为常数），

（i）若PA=APD，则4=;

（ii）线段8的长度为.

0iQ

K答案25y

K解析11如图，以A为坐标原点建系如图，则B（4,0）,C（0,3）,

ʃl

所以AB=(4,0),AC=(0,3)

由PA=mPB+(∣∙-”,PC得P4=w(Λ4+48)+(∙∣-,"](PA+AC),

整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=(Sm,0)+(0,6m-9)=(Sm,6m-9),

27

由A尸=9得64>+(6m-9)2=81解得∕w=∙^-或，*=0,

33

当初=0时，PA=GPC,此时RC重合，由PA=ZIP。可得/I=],此时CD=0,

因为点/)不与端点B,C重合，

所以CD=O不满足题意，舍去，

当m=∣∣EI寸，P4=(-妥,一||),P4的直线方程为y=(x,

BC的直线方程为:+5=1,

43

=

72-7221

252-5-

=21

25

2-5-

所以P。=（一1袋44,一42£）

若PA=MD，则一63=＜会42解得4=/3

故K答案』为：|；y∙

三、解答题

16.在一ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,。,c.已知a=3且

sinA+sinC_.13

--------------=2,CoSA=—

SinB14

(1)求C的值;

(2)求SinB的值;

(3)求sin(2A-g1的值.

5/.、.sinA+sinCCda+cC

解：(1)由————=2边化角可Z得i=I一「二2,

sιnπb

又因为〃=3,所以。=2。-3,

又因为a?=力?+。2_2人。CoSA得b2+C2-■—be=9,

13

将C=»—3代入〃一亍A=9,整理得/一5加=0,

人=5或。=0(舍)，所以C∙=7.

(2)由(1)得得h=5,c=l,^b2=a2+c2-2tzccosB,

则COS8="+L*9+49-2511

2ac2×3×7-I4

所以SinB=JI-COS2B=

14

(3)由余弦定理C2=。2+〃-2出?COSC,

a2+b2-c29+25-49I

得cosC=一,

2ab302

2TT

因为Ce(0,乃),所以C=子

又因为COSA=与，所以sinA=JI-COS?A=Lɪ

1414

.C'c.“，c3√51339√3

所以sιn2A=2sιnAcosA=2×-----X——=-------,

141498

ɔ24I-16971

coso2Λλ=2cosA-∖=2×-------1=—,

19698

所以Sin(2A-g)=sin(2A-q)=；sin2A--γcos2A

139白√3718√3

=—×---------×——=-----.

29829849

17.如图，在四棱锥尸一AB8中，AD//BC,AD±DC,BC=CD=^AD=2,E为棱AD

的中点，PAj_平面ABCZX

(1)证明：AS//平面PCE

(2)求证：平面PA8_L平面尸Bf)

(3)若二面角尸-CD-A的大小为45。，求直线AP与平面PBD所成角的正切值.

(1)证明：VBCHAEBC=AE,四边形8CE4为平行四边形，

.*.ABHEC,又ABa平面PeE,ECU平面PCE,所以48〃平面PC£.

(2)证明：E4，平面ABCD,3£＞匚平面/13。，二抬_1%)，

连接BE,：8C〃£)E且BC=DE,二四边形BCDE为平行四边形，

VDElCD,3C=8=2,...平行四边形5CDE为正方形，.∙.30,EC,

又ABHEC,：.BDJ.AB,又尸AAB=A,%,ABu面∕¾8,BD2面∕¾B,

∙.,MU面PBD,二平面PAB±平面PBD.

(3)解：VPAL^WiABCD,CDU平面ABCf),，<R4_LC£),

又Cf>∙LAO,PAryAD=A,PA,4Ou平面玄。，；.Cz)J_平面PA。,

因为PDU平面PAQ,，CD_LAO,

.∙.∕PD4为二面角P-CD-A的平面角，从而Nm4=45。，所以∕¾=AO=4,

作AM_LP3于M,连接M£),

Y平面PAfiJL平面PBD,AMu平面B4S,平面PABC平面PBD=P8,

AΛ7工面PBD,所以ZADM为直线4£>与平面PBD所成角，

在直角一RW中，AB=CE=2近，PA=4,PB=2√6,，

…PA-AB4×2√24√3

√A∕r/———，

PB2√63

因为AMl面PBQ,DMU面PBD,所以AW_LDM,

22

在直角j,AΛ">中，AD=4,AM=^-,DM=y∣AD-AM=,

33

二IanZADM=—,

2

则直线Ao与平面尸8。所成角的正切值为

2

18.己知等差数列｛%｝的前."项和为S“，且&=45,/+34=40.数列物“｝的前”项和为

Tn,满足37；+1=4〃.

(1)求数列｛%｝、也｝的通项公式;

(2)若的-2),求数列｛q,｝的前〃项和力；

4,∙4,+ι

(3)设4,=》，求证：£口＜8-黑土

UnA=IZ

(I)解：因为数列｛%｝是等差数列，设公差为d,

+吆"=45

α+3a=40得<''∣aA+2d=9Jq=5

由S5=45242解得

2a+5J=20[d=2

q+d+3。]+94=401

所以a〃=q+(〃—l)d=5+2(〃-1)=2〃+3,

由31+l=42得34+1=44，得4=1,

当“≥2时，3%+1=4%,

所以37；+l-37LτT=44-4%,

所以3bn=4bn-4⅛π.1,即bll=4给(〃≥2),

又仇=IW0,所以%=4(ZJ≥2),

½J-1

所以数列出J是首项为1,公比为4的等比数列，所以"=4"T.

综上所述：数列仇｝、

｛2｝的通项公式分别是：an=2n+3,2=4"T

w,

(2)解:由⑴知,an=2n+39bn=4^

所以▼如a4"∣(6"+7)4〃T4”、

(2〃+3)(2〃+5)2n+32π÷5;

40444242434"T4"

所以R,,=Cl+C2++------------------

T^77"T^9"^1T2〃+32〃+5

14”14”

——+--------

5-2H+552n+5

(3)证明：由(1)知，S“=5〃+〃(〃-％2=，+4〃,

2

Sn2+4〃

所以4，=力

H+H÷4C

〃+2

所以口=/72+4π_∣n(n+4)

y<2

4M^,2〃一|

所以，扬=M+M+r-r1+22+23+2/7+2

+向下+〒+,4----2--〃-T--

A=I

、RAzf1+22+23+2n+2

设吃=下+亍+亍++

2"τ'

1,,1+22+23+2〃+2

贝rηl仁心=-^+-^-+ɪ++------

2n

所以=3+→^-+1/1+2

H------:—

2"^l2”

〃

所以51此=3+^—O2M--I-J------+-2=3÷1-1n+2

r^r--r^,

1^2

2/2+2=8-赛

所以M“=8---

所以t.<8-黑・

⅛=1乙

19.已知椭圆uW∙+"=l(o>b>0)的离心率e=也，短轴长为20，椭圆C的左焦点

ab2

为F,右顶点为A,点5在椭圆位于X轴上方的部分,

(1)求椭圆C的方程：

(2)若直线43的斜率为-2,求弦AB的长度：

(3)若直线AB与y轴交于点。，点E是y轴上一点，且满足直线AE与椭圆

C交于点G.是否存在直线A3,使得二ABG的面积为2,若存在，求出直线AB的斜率，若

不存在，说明理由.

£_72

α^V

解：(1)由题意可得,2⅛=2√2,

a2-b2+c2

4=2

解得“=&,

c=√2

所以椭圆C的方程为工+2=]；

42

(2)由(1)可知4(2,0),*-夜,0),设B(XB,y,J,直线A8的方程为

y=⅛(x-2)(^<0),

目+t=1

由,42得(1+2公b2-8人+8卜2一4=0,

y=Mx-2)

r-r→IU8⅛,^—48公

所以/♦/=2

ɪIZ.K

队2

2222λ8⅛-4

所以IABl=71+Λ^(XA+xfl)-4XAXB=∖∣i+k-4×--------

1+2吃∖+2k1

=3曲小

2

(3)由(2)可知X42_4即XB=4^kL-2

*8∖+lk2b∖+2k2

4⅛2-2-4k(4/_2-4k]

所以为=%1+2如''R1+2公7+2公J

∖+2k1

直线AB的方程为y=*(x-2)(左<0),令X=O,解得y=-2R,即£>(0,-2人),

设E(0,%),由题意有所∙OF=(-应,-拄)∙(-夜,2k)=2-2佻=O,

解得%=(,即E]，：｝

V

进而可得直线AE的方程为万+6=1,

-->-)

工+上=1

由42得(l+2∕)y2-4收=0,

.f+砂=1

4k2-^k2

解得先=E,进而％=E

4⅛2-2-4k]J2-4k24k

因为81+2公)'°11+2产

l+2jt21+2公

所以B,G关于原点对称，故直线3G过原点,

所以SM=T|。Al帆-%∣=Jx2x-4⅛4⅜ι⅛=⅛<θ)-

I+2⅛2^l+2⅛2

2

当S.AeC=E^=2(A<0)时,Bp2⅛+4⅛+l=0(λ<0),

解得人-4±淅=-4±2&=A,

442