共点力的平衡 （讲义）--2023-2024学年高一年级上册物理人教版必修第一册

第8讲共点力的平衡

一、共点力平衡的条件

1、平衡状态：物体—或做.

2、平衡条件：F4—或R=—,Fy=—.

3、常用推论

①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余（〃一1）个力的合

力.

②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个三角形.

4.处理共点力平衡问题的基本思路

确定平衡状态（加速度为零）一巧选研究对象（整体法或隔离法）一受力分析一建立平衡方程一求

解或作讨论.

5、求解共点力平衡问题的常用方法：

①合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡.

②正交分解法：入合=0,Fy合=0,常用于多力平衡.

③矢量三角形法，把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三

角形.

【自测一】

1.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，。为球心.一质量为加的小滑块，在水平力歹

的作用下静止于P点.设滑块所受支持力为外,。尸与水平方向的夹角为夕下列关系正确的是（重

力加速度为g）（）

B.F=mgtan0

A.F=tan0

mg

0

C.FN=tan0D.FN=mgtan

2.用卡车运输质量为机的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如

图所示.两斜面I、II固定在车上，倾角分别为30。和60。.重力加速度为g.当卡车沿平直公路

匀速行驶时，圆筒对斜面I、II压力的大小分别为乃、F1,则（）

Fi=^mg,Fi=^mg

A.

F尸由ng,F2=£I叫

B.

1也

C.Fi=^mg,Fi=2mg

.1

D.Fi=2mg,F2=^mg

3.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上。点处；绳的一端固定在墙上，另

一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系统平衡时，。点两侧绳与竖直

方向的夹角分别为a和及若a=70。，则6等于（）

4.如图所示，小圆环A吊着一个质量为掰2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细

绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为

加的物块.如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳

子不可伸长，平衡时弦A3所对的圆心角为a,则两物块的质量之比加1：加2应为（）

一C.a一八。

C.2sm2D.2cos2

5.（多选）如图所示，轻质光滑滑轮两侧用轻绳连着两个物体A与3,物体3放在水平地面上，

A、3均静止.已知A和3的质量分别为加小机小绳与水平方向的夹角为仇。＜90。），重力加速

度为g，则（）

A.物体3受到的摩擦力可能为零

B.物体3受到的摩擦力大小为恤geos。

C.物体5对地面的压力可能为零

D.物体3对地面的压力大小为机Bg—ziugsin。

6.如图甲所示，A、3两小球通过两根轻绳连接并悬挂于。点，已知两轻绳和A3的长度之

比为小：1,A,B两小球质量分别为2m和m,现对A、B两小球分别施加水平向右的力Fi

和水平向左的力外，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时3球恰好在悬点。的正下方，轻

绳。4与竖直方向成30。，则（）

o

力(/

Z)B

甲乙

A.Fi=FzB.FI=V3F2

C.尸1=2尸2D.FI=3F2

7.如图所示，两个质量均为机的小球通过两根轻弹簧A、3连接，在水平外力R作用下，系统

处于静止状态，弹簧实际长度相等.弹簧A、3的劲度系数分别为履、kB,且原长相等.弹簧

A、3与竖直方向的夹角分别为。与45。.设A、3中的拉力分别为加、鼠，小球直径相比弹簧

长度可忽略，重力加速度为g,则（）

A.tan0=2B.kA~~ks

C.FA=y[3mgD.FB—2mg

二'动态平衡

1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状

态.

2.常用方法

（1）解析法

对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变

量的函数表达式（通常为三角函数关系），最后根据自变量的变化确定因变量的变化.

⑵图解法

此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.一般按照以

下流程分析：

受力分析|化二辿,为-遁”|画不同状态下丽丽“靛:也直口）”|确定力的变化

（3）相似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关

系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例求解

（构建三角形时可能需要画辅助线）.

考法1”一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题

1.一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的

直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系.

基本矢量图，如图所示

6-恒力

2.一力恒定（如重力），另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形,

确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现.

基本矢量图，如图所示

作与B等大反向的力人,，F2、为合力等于Ri',F2、为、Ri'构成矢量三角形.

考法2"一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

1.一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等

平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相

等.

基本矢量图，如图所示

mgFNFT

基本关系式:

H~R~L

2.一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利

用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同

位置判断各力的大小变化.

基本矢量图，如图所不

【自测二】

1.如图所示，用甲、乙两根筷子夹住一个小球，甲倾斜，乙始终竖直.在竖直平面内，甲与竖直

方向的夹角为仇筷子与小球间的摩擦很小，可以忽略不计，小球质量一定，随着。缓慢增大，

小球始终保持静止，则下列说法正确的是（）

A.筷子甲对小球的弹力不变

B.筷子乙对小球的弹力变小

C.两根筷子对小球的弹力都增大

D.两根筷子对小球的合力将增大

2.质量为M的木楔倾角为。(。＜45。)，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔

斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成a角的力R拉木块，木块匀速上升，如图所

示(已知木楔在整个过程中始终静止)o

(1)当a=6时，拉力R有最小值，求此最小值；

(2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？

3.如图所示，质量M=24kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块A与质量加=小kg

的小球相连。今用与水平方向成a=30。角的力N,拉着球带动木块一起向右匀速运

动，运动中M、机相对位置保持不变，取g=10m/s2。求:M

(1)运动过程中轻绳与水平方向的夹角仇

(2)木块与水平杆间的动摩擦因数〃。

4.(多选)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨过滑轮,

其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块“相连，系统处于静止状态.现用水平向左的拉力

缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45。.已知般始终保持静止，则在此过程中()

A.水平拉力的大小可能保持不变

B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

5.（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端

紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球3,已知A的圆半径为球3的半径的3倍，球3

所受的重力为G,整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为A,A对3的支持力为F2,

若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则后、八的变化情况分别是（）

A.B减小B.为增大

C.F2增大D.仍减小

6.如图所示为一简易起重装置，（不计一切阻力）AC是上端带有滑轮的固定支架，为质量不

计的轻杆，杆的一端C用钱链固定在支架上，另一端3悬挂一个质量为根的重物，并用钢丝

绳跨过滑轮A连接在卷扬机上.开始时，杆3c与AC的夹角NBCA>90。，现使N3CA缓慢变

小，直到N3C4=30。.在此过程中，杆所产生的弹力（）

7777777"1------'m

A.大小不变B.逐渐增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

7.（多选）如图，柔软轻绳ON的一端。固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端

N.初始时，0M竖直且MN被拉直，0M与MN之间的夹角为

a（a>刍.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角a不变.在由竖直被拉到水平的过程

中（）

•0

A.上的张力逐渐增大

B.上的张力先增大后减小

C.0M上的张力逐渐增大知41

、N

D.0M上的张力先增大后减小

三'“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”

1.活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改

变力的大小，如图甲，滑轮3两侧绳的拉力相等.

2.死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相

等，如图乙，结点3两侧绳的拉力不相等.

3.动杆：若轻杆用光滑的转轴或较链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，

否则杆会转动.如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向.

4.定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示.

【自测三】

1.如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑定滑轮3后在另一端悬挂一个沙桶

。现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在A3之间，稳定后挂钩下降至C点，NACB=120。，

下列说法正确的是（）

A.若只增加。桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变

B.若只增加P桶内的沙子，再次平衡后。点位置不变

C.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变

D.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶。位置上升

2.如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳A。、3。（49>5。）悬挂一个中空铁

球，当在球内不断注入铁砂时，则（）

A。B

A.绳A。先被拉断

B.绳3。先被拉断

C.绳A。、3。同时被拉断

D.条件不足，无法判断

3.如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁3c右端的光滑定滑轮挂住一个质量为mi的物体,

ZACB=30°；图乙所示的轻杆HG一端用钱链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，

EG与水平方向成30。角，轻杆的G点用细绳GR拉住一个质量为m2的物体,重力加速度为g,

则下列说法正确的是（）

A.图甲中3c对滑轮的作用力为等

B.图乙中杆受到绳的作用力为/mg

C.细绳AC段的拉力RAC与细绳EG段的拉力REG之比为1：1

D.细绳AC段的拉力RAC与细绳EG段的拉力REG之比为加：2m2

4.如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬

挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从3点沿支架缓慢地向C点靠近（C

点与A点等高）.则在此过程中绳中拉力大小（）

A.先变大后不变B.先变大后变小

C.先变小后不变D.先变小后变大

【基础过关练】

1.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，。点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的.

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为和加2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为电的小

球与。点的连线与水平面的夹角a=60。，则两小球的质量之比华为（）

2.如图所示，用完全相同的轻弹簧4、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A

与竖直方向的夹角为30。，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（）

A.小：4B.4：小

C.1：2D.2：1

3.如图所示，完全相同的两个光滑小球A、B放在一置于水平桌面上的圆柱形容器中，两球的质量均为

m,两球心的连线与竖直方向成30。角,整个装置处于静止状态.重力加速度为g,则下列说法中正确的是（）

430:

A.A对B的压力为

B.容器底对B的支持力为mg

C.容器壁对B的支持力为叩加g

D.容器壁对A的支持力为予77g

4.（多选）如图所示，在倾角为a的斜面上，放一质量为根的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡

板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

5.如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆8c一端通过较链固定在C

点,另一端3悬