构造函数比较大小-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向U构造函数法比较大小

【2022年新高考1卷第7题】设a=0.1e°Lb=-C=-InO.9,贝IJ

9f

A.a<b<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】C

【解析】解法1：根据题意，构造函数/(x)=xe∙l,g(χ)=上L,∕ι(χ)=-In(I-X),

l-x

对上述三个函数在X=O处进行二阶泰勒展开

/(x)=xex=Xf1+%+ɪj-+o(x2)j=X+X2+三十°(/)

22

g(')=±=X(I+x+χ2+θ(χ)^=x+χ÷X3+θ(χ2)

A(x)=-ln(l-x)=x÷^x2+o(x2)

在％=0.1时，显然〃O(.1)V∕(().I)Vg(0.1).即cva<%即选C.

ι1V-

解法2：设/(x)=In(I+%)-X(X>-1),因为/'(X)=--------1=—~-

1+xl+x

当x∈(-l,0)时，∕,(x)>O,当XG(O,+∞)时f'(x)<O,

所以函数/(x)=In(I+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(一1,0)上单调递增，

所以/(*)<∕(0)=0,所以Int)—g<0,故In9=-In().9,即人>c,

1919--1—1

所以/(一一)<∕(0)=0,所以In二+一<0,故二<e∣o,所以上6°<上，故。,

10101010109

1(X2—])e*+l

v,v

设g(x)=xe+ln(l一X)(O<x<l),则g(x)=(%+l)e÷——=ʌ--------------,

X1X~~~1

令∕ι(X)=ev(x2-1)+1,hf(x)=ex(x2+2x-l),

当0<x<近一1时，"MO，函数/X)=e"(χ2一1)+1单调递减，

当0-1<九<I时，h,(x)>0,函数〃(X)=ev(%2-1)+1单调递增，

又〃(O)=0,所以当()<工<0—1时，h(x)<0,

所以当O<x<0—1时，g'(%)>O,函数g(x)=xe*+ln(l-%)单调递增,

所以g(O.l)>g(O)=O,即lnθ,9,所以故选：C.

【2022年甲卷理第12题】已知α=卫，h=cos-»c=4sinL则

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】解法1：根据题意，构造函数f(x)=l—gχ2,g(χ)=cosχ,∕7(χ)=q∑

对上述三个函数在X=O处进行四阶泰勒展开

/(x)=l-→2,

g(x)=cosx=l-^Λ2+ɪ^4+O(Λ4)

Λ(Λ)=^-^=1--^X2+∙^Λ4+O(Λ4)

在X=：时，显然/(：)<g[()<〃(；).即c>6>α,即选A.

∈

解法2：构造函数”r)=i-gχ2—COSX»Xθ,ɪ

则g(x)=h,{x)=-x÷sinx,g'(x)=-1+cos、O

所以g(%Kg(O)=O,因此，〃(x)在0,—上递减，所以〃(；)=a—b<∕z(0)=O，HlJaVZ7.

2

・1

4♦sιn-1tan—，”、

另一方面，£=____4=-l，显然Xeo时，tanx>x,

1f

cos—

44

・11

4z1sm—tan—

所以£=—4=—ɪ-i>1,即〃vc.因此c>A>a∙即选A.

bcos—ɪ

44

此类涉及到已知/X)与/(X)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条

件，从而利用单调性求解.

构造函数的考虑方向，主要是利用和、差函数求导法则构造函数：

①对于不等式/(x)+g'(x)>O(或<0(,构造函数F(X)gx)+g(x);

②对于不等式/(x)-g'(x)>O(或<0(,构造函数F(M=AX)-g(x);

③特别地，对于不等式.*x)>A(或<%)(A≠0),构造函数F(X)=次分收

1.下列命题为真命题的是()

A.VxeR,ex≥x+lB.HxeR,e*<x+l

C.Vx∈R,T≥X2D.Ξre(0,+∞),x+L<2

【答案】A

［解析】对于A选项,构造函数/(x)="-x—lJ(O)=Oj(X)="-1,所以F(X)在区间(-∞,0)±∕(x)<0,

递减，在(0,+巧h∕(χ)>0,递增.所以F(X)在x=o处取得极小值也即是最小值，所以/(χ)≥.f(o)=o,

即e'-X-1N0,e*NX+1.所以A选项正确.

对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.

对于C选项，当X=-I时∙，2X<X2,所以C选项不正确.

对于D选项，当x>0时，x+-≥2jx--=2,当且仅当X=I时等号成立，所以D选项错误.

X∖X

故选：A

1ɪHi

2.已知。=——,b=el00,c=ln——,则“也。的大小关系为()

IOOIOO

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】先用导数证明这两个重要的不等式

①∕≥x+l,当且仅当X=O时取'*="

y=ev-(x+l),y'=ex-l,x∈(-∞,O),γ<0,函数递减，x∈(0,+∞),y'>0函数递增

故X=O时函数取得最小值为0,故e*≥x+l,当且仅巧X=O时取“=”

(2)inx≤x-l,当且仅当X=I时取“=”

y=lnx-(x-l),y=J-l,x∈(0,l),√>0,函数递增，x∈(l,÷χ),y'<0函数递减，

故x=l时函数取得最大值为0,故InX≤x-l,当且仅当X=I时取"=”

-丝9911

故e100>-—+1=-!-,c=m%%=

IOO100100100ioδ

故选：C

3.已知e是自然对数的底数，〃是圆周率，下列不等式中，万3<3"，引</,πe<eJ正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【详解】构造函数/(X)=¥(x>0),f(X)=Tɪ

所以〃力在区间(Oe上/(x)>0,/(X)递增；在区间(e,+∞)上/(x)<0J(6递减,

.十C“yIneIn3InTr

由于e<3<",所以——>—>——，

e3π

所以：—>—=>31n^>βln3^>ln^3>ln3r^>3c<e3,

e3

InCInTC..Tleeπ

——>----=;Tlne>eln;TnIne>∖nπ=>%<e,

eπ

r33π

ɪɪɪɜ>1!1ΞIn3>3In=>In3">∖nππ<3f

3π

所以不等式正确的个数为3.

故选：D

Iny

4.当0<x<l时，/(X)=—,则下列大小关系正确的是()

A.∕2(x)<∕(x2)<∕(x)B./(x2)<∕2(x)<∕(x)

C./(x)<∕(x2)<∕2(x)D./(x2)<∕(x)<∕2(x)

【答案】D

【详解】根据0<x<l得至∣Jθ<f<x<l,而尸(X)=

所以根据对数函数的单调性可知0<x<l时，1-lnr>0,

从而可得尸(χ)>o,函数〃χ)单调递增，所以/(χ2)<"χ)<"ι)=o,

>0,所以有/(F)<∕(χ)<尸(χ).

故选D.

【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性,

利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.

5.“1e(θ,∕J"是“tanα>α”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】令函数y=tanx-x,当Xe(O,g]时，/=—ζ--l=tan2x>0,

∖Z)COSX

所以函数y=tanx-x在区间(0,1)上单调递增，则tanC-α>tanθ-0=0,即tanα>α,故充分；

但是反之未必成立，比如取。=-斗，易知tan(-葛)=6>-葛，满足tanα>0,但是不满足αeθλ]

所以“αe(θ,g)”是“tana>α”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】方法点睛：充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据Pn4,4=P进行判断;

②集合法，即由"，4成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题与

其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断.

6.a∖na>b∖nb>c∖nc=∖,则()

fe+tc+,lahc+aca+b

A.e∖na>e∖nb>e"∖ncB.e]nb>e^∖na>e]nc

C.ea+h∖nc>e^u∖nb>eb^∖naD.ea^b∖nc>^c∖na>e^a∖nb

【答案】C

【详解】令/(x)=xlnx,则f(x)=l+lnx

当0<x一时,∕,(x)<0,当x>∙⅛∕,(x)>0

ee

即函数f(χ)在(O.)匕单调递减，在(%+00)匕单调递增

,/(α)>f(b~)>/(c)=1,由图象易知，a>b>c>∖

1

ʌ/、1Inx,∣—I1nx

令g(x)=H'贝m%，(幻=二_

e

由于函数y=—InX在((),+∞)上单调递减，Inc=—,—InC=------=O

XCCCC

则L-InX=O在(0,”)上有唯一解c,故g'3=0在(0,∙κo)上有唯一解C

X

即当力>。时，gG)<0,则函数g(x)在(G+8)上单调递减

口L/、/,、/、UrInQln⅛Inc

即g(α)<gS)<g(c),BP—<—<—

eere

el,lna<eaInb,ecInb<ehInC

.∙.eh+cIna<ea+cInb,ea+c↑nb<∕+clnc=>eb+c∖na<ea+cIn⅛<eh+cInC

故选：C

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小

关系.

1.(2021•江西•模拟预测(理))若正实数。，b^^∖na+∖nb2≥2a+--2则()

29

A.〃+26=及+^B.a-2b=--2∖∕2

42

C.a>b2D.bλ—4a<0

【答案】B

【详解】先证明熟知的结论：1-l≥lnx恒成立，且当且仅当x=l时取等号.

设/(x)=xTTnx,则r(x)=l-}

在(0,1)上，rα)<oj(χ)单调递减;在(1,+8)上，r(χ)>o,∕(χ)单调递增.

⅛⅛∕(χL=Z(I)=I-I-O=O,

.∙.∕(x)=Al≥lnx恒成立，且当且仅当x=l时取等号.

山2a+g-2≥2Q2aχ?-2=2(/加-l)≥21n∖∣ab2=In4+Inb?,

A2A22a=—a=—

由已知Ina+ln∕≤2Q+-----2,ʌlna+ln⅛2=2tz+-----2,且<2,解得<2,

22］腐=1［⅛=√2

经检验只有B正确，故选：B.

【点睛】本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论XT2InX恒成立，且当且仅当X=I时取等号进行研

究，得到2α+^∙-2≥lnα+ln/,结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和x-1NInX取等号的条件，

2

才能列出方程组求得4,匕的值.

2.(2022♦全国•模拟预测)已知实数4,b,C满足ac="，且a+>+C=In(α+6),则()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<hD.b<c<a

【答案】A

【详解】设〃X)=InX-x+l,则/(x)=:—l=γ,

当xe((),l)时，∕,(x)>0,/(x)单调递增，当Xe(1,4W)时，∕,(x)<0,/(x)单调递减，

.,./(x)≤∕(l)=0,即InX<1,

所以ln(a+b)≤a+b-l,所以a+b+c≤a+/?-1,即c≤T,

乂etc=tr>0,所以a<0,由a+b>O,所以Z?>—ci>0»

所以方2>∕,即ac>∕,所以c<a,所以CVaV2.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式InX可得In(O+b)≤a+b-1.

3.(2022・福建•莆田二中模拟预测)已知a=esw∕=sinl,c=cosl,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【详解】当xe((,母,sinx>cosx,又至］：,引，所以sinl>cosl,故b>c

记〃x)=e-x-l,所以f'(x)=e'-l,令/(x)<0,得x<0,令/(x)>0,得x>0,

所以“χ)在(γ,o)单调递减，在(0,+⑹单调递增.

所以"x)N∕(0)=0,gPe'-x-l≥O,当X=O时取等号.

所以α=e"rιi>(sinl-l)+l=sinl=/),所以C<ZJ<O.

故选：C.

4.(2022•浙江•效实中学模拟预测)已知数列｛qJ满足4=1,e"∙"=2--其中e是自然对数

-Γi

的底数，则()

A.0<α,,,<---B.------<a-,,<---

202240434043^n0r222022

C，2022<的侬<∣D.1<a2022<2

【答案】B

【详解】∙.∙e*2x+l(当X=O时等号成立)，.'e"向≥%+l,

1

当”“>0时，e""=2-y^∙>l=αll+∣>0,即OI=I>On4>O,

则e"'">¾+l+1,e"",=2-—Lr>an+l+1,

an+1

a1ɪ,

整理得即------->1，

⅛+lα,,+∣4,

IlIlI1

即-——>i1,-------->11,…，---------->1,

«24%a2an%

将“个不等式相加得,即，>”，all<-,

⅛4a„n

4^∕(x)=ex(l-x)-l,则/'(x)=re*,

当x<0时，r(x)>0,当x<0时，∕,(x)<0,

则F(X)在(y,o)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，即F(X)在X=O出取得最大值,

/(x)≤(0)=0,所以e%lr)-l≤0(当X=O时等号成立)，

当x<l时，eN—!—(当X=O时等号成立)，

I-X

ICl1II

即当〃>1时，eλ"'<--------,2—<---------,11一一-<-------1,

+1

ι-⅛÷l¾ι-⅛÷∣4+1ι-¾÷.

同理利用累加法可得------<2(〃-1),即4>

an4

所以---<%>1),则——<α,,,<——,

2n-∖'4043®02022

故选：B.

5.(2022・湖北・鄂南高中模拟预测)下列大小比较中，错误的是()

eic3eπeτπ3ππ

A.3<e<πB.e<π<eC.π<e'<3D.π<e<3

【答案】D

【详解】对于选项D,构造函数f(x)=当，所以_f(x)=W

所以当0<x<e时,∕,(x)>0,函数/@)单调递增;当x>e时，W(X)<0,函数/3单调递减.

所以f(x)Sf(e)=L(当且仅当x=e时取等)

e

2In-ɪʌ

则令l=上，则一尹<一，化简得ln∕r>2-±,故31n乃>6-丑>6-e>τ,

πeππ

π

故In/>Tt,故乃3〉e”,所以选项D错误；

对于选项A,3°<%e,/(3)<∕(e),.∙.烂<岭,.∙.3°<e3,

3e

e2

12In1

在/(x)≤±中，令X=J,则T<一，化简得hvr>2-C,故

eπ£1eπ

π

e272

eln万>e(2--)>2.7×(2一一—)>2.7×(2-0.88)=3.024>3,

π3.1

所以eln4>3,.∙.ln^e>ine*∖.∙.乃e>巳3.所以3,<心<^,所以选项A正确；

对于选项B,在f(x)≤!中，令X=",则啊<g,.∙.万e<e",所以e3<;re<e",所以选项B正确；

eπe

对于选项C,8'<3",所以犬<d<3"，所以选项C正确.

故选：D

6.(2022.全国•华中师大一附中模拟预测)已知实数“，b,c∈(0,l),e为自然对数的底数，S.ae2=2e",

be3=3eh,2c=e'ln2,贝IJ()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

2h3c,n4

【详解】解：由"e2=2e",⅛e3=3e%2c=etln2W—e"=e—,eɪ-=e-,e-ɪ2ʌ=4-=e—,

a2b3cIn2In4In4

构造函数/(x)=F(X>0),求导得r(x)=e'(jT),令r(x)=O,得尤=1.

当XW(0,1)时，r(x)<0,f(x)单调递减;当X∈(l,w)时,r(x)>O,f(x)单调递增.

因为1<1∏4<2<3,所以/(ln4)<f(2)<∕(3),所以〃c)<f(α)<∕0),

又因为α,b,c∈(0,l),"x)在(0,1)上单调递减，所以6<α<c.

故选：A.

7.(2021.浙江•模拟预测)已知非负函数的导函数为/(力，且/(x)的定义域为(O,+"),若对于定义

域内的任意X,均满足了'(x)>∕?,则下列式子中不一定正确的是()

A./(2)>2/(1)B./(3)>e√(2)C.〃4)>，〃3)D."e)>2e∙∕()

【答案】B

【详解】因为χ>0,且f'(χ)>”,可得矿(χ)>∕(χ),BPV,(χ)-∕(χ)>0,

令g(x)=与1,则g，(x)=矿,所以/(x)>0,

所以g(x)="在(O,+/)上单调递增，

对于选项A：由g(2)>g(l)uj得与>半，即/⑵>2/(1),故选项A正确；

对于选项B：由g⑶>g⑵可得犯>萼I,即/(3)>g"2),得不出

322

/(3)>e√(2),故选项B不正确；

对于选项C：由g(4)>g⑶可得半>里，即"4)>g"3),因为"3)>0,所以。⑶>"⑶，

43336

7

可得“4)>z"3),故选项ClE确；

O

对于选项D：由g(e)>g]j可得岁>_畀，即〃e)>2y][,故选项D正确；

2

所以不一定正确的是选项B,

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数g(x)=/尹，并根据单调性比较大小.

二、多选题

8.(2022・河北・衡水市冀州区遂运中学高二期末)下列不等式成立的是()

A.1——≤1ΠX(Λ>0)B.x-1≥lnx(x>θ)

C.ev≥x+lD.sinx<x(θ<x<π)

【答案】ABCD

【详解】A：构造新函数/(x)=l-L-∣nx(x>O),所以f(χ)=J-L==,

XXXX

当x>l时，f(x)<0J(x)单调递减，当OVXVl时，f(x)>0J(x)单调递增，所以当X=I时，函数有最大

值，最大值为:Fa)InaX=/(1)=0,

即/(x)=I-L-1nx≤0nl-J≤lnx,因此本选项不等式成立：

XX

B：构造新函数RX)=XT-InX(X>0),所以k(X)=I—』=上口，

XX

当x>l时，F(X)>0,F(X)单调递增，当OVxVI时,F(X)<0,尸(乃单调递减,所以当X=I时，函数有最小

值，最小值为：Fa)mm=AD=O,

B∣JF(x)=x-↑-]nx≥O=>x-↑≥]nxf因此本选项不等式成立；

C：设g(x)=e'-x-lng'(x)=eA-l,

当x>0时,g(x)>O,g(x)单调递增，当x<0时，g(x)<O,g(x)单调递减，

所以当X=O时，函数有最小值，最小值为：MhI(X)=g(0)=O,

BPg(x)=ex-x-l≥O=>ex≥x+↑,因此本选项不等式成立;

D：设G(X)=SinX-X(O<x<乃)nG(%)=Cosx—1,

因为OVXVπ,所以G(X)<O,G(x)单调递减,所以当0<xvπ时，

有G(X)<G(O)=O,UPsinx-x<O=>sinx<x,因此本选项不等式成立，

故选：ABCD

9.(2023・全国•高三专题练习)(多选)己知α<bVO,则下列不等式正确的是()

A.a2>abB.In(1-a)>ln(1-⅛)

2、1

C.τ^>—rʒɪD.6z+cos⅛>b+cosa

a+by∣ab

【答案】ABC

【详解】A:：a4»V0,."2>而，.∙.A正确,

B-.∖'a<b<O,l-a>l-b,Λln(1-«)>ln(I-⅛),，B正确,

―ci—hI—21

C∕∕α<⅛<O,二----->4ah,：.-->--==,；.C正确，

2a+b&7ib

D:设F(X)=X-COSJG则/'(X)=I+sinxN),(x)在R上为增函数，

9

∖a<b<Of∙∖a-cosa<b-cos⅛,α÷cos⅛<⅛÷cos^,'D错误.

故选：ABC.

10.(2021•湖北•汉阳一中模拟预测)若0<∙ηv/〈I，©为自然对数的底数，则下列结论第侯的是()

xyx2xx2

A.x1e<xxeB.x2e'>xie

x2X1X1

C.e-e>Inx2-Inx1D.e—eɪ'<lnx2-↑nxi

【答案】ACD

【详解】令〃χ)=g由rα)=*≤=与?L当x<ι时r(χ)<o,故〃力=£在(()」)上递减，所

以—>—=X2e''>χιe'2>则A错，B正确；

ɪiW

令g(x)=lnx-/，由/(x)=∕-e*,当X=；时有g'(f=2-1>0,当X=I时有F⑴=1-e<0,所以存

在x°e(g,l),有/(χ°)=0,所以g(x)在((U)上不单调，

在C中，e*2-e*∣>lnX2-lnχ化为InXl-e*Alnx?-*,因为0<x∣<小<1,故C错，

在D,e*-e*<l∏w—In%化为InXI-e*clnx?-e*,则D错，

故选：ACD

1.(2021年全国乙卷理第12题)设α=21nl.01,b=lnl.02,c=√fθ4-∣,则

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】根据解法1：题意，显然。＞匕,构造函数/(x)=21n(l+x),g(x)=√∏H-I

222

对上述两个函数在X=O处进行四阶泰勒展开f∖x)=2In(I+x)=2(x-gχ2+o(xy[=2x-x+o(x)

g(x)=+4尤-∖=2x-2X2+O(X*)

在X=O.01时，显然/(0.01)>g(0.01).即4>c>b,即选B.

解法2：显然α>b,令f(x)=2In(I+x)-(Jl+4x-1)(x>0),

22,____

则/'(x)=∙;--------T===,因为当0<x<2时，X2<2X,所以l+2x+f<1+2X+2X,即l+x<Jl+4x，所

1+x√l+4x

以外力>0,所以/(0.01)>/(0)=0,即4>c.

,____22

同理，令g(x)=ln(l+2x)-(√l+4x-I)(X>0),则g'(x)=------?——,

ι+2.x√I+4Λ

因为当x>0时，(l+2x)2>l+4x,所以g'(x)<(),

所以g(0.01)<g(0)=0,即c>6,综上α>c>6,选B.

2.(2016高考数学课标I卷理科)若4>b>l,O<c<l,则()

cccc

(A)a<b(B)ab<ha(C)alogz,c<b↑ogaC(D)IognC<log,jC

【答案】C

【解析】对A:由于0<c<l,.∙.函数y=∕∙在R上单调递增，因此α>力>l=a'>Z/,A错误;

对B：由于一l<c-l<0,函数y=χi在。,+8）上单调递减,

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