高考数学二轮复习 专项小测6

专项小测（六）“12选择+4填空”

时间：45分钟满分：80分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若集合/=3log2V0},6={x|l<3*<27},则（[6）06=（）

A.（0,1）B.（1,3]

C.（1,3）D.[1,3）

解析：由题意，得/={x|0<xWl},[■={x|x<0或x>l},6={x|0<x<3},贝（h⑷C8

={x[l<x<3},故选C.

答案：C

2.欧拉公式eL,ucosx+isinMi为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指

数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示

的复数在复平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：因为=c°s；+isin；=―1历一斗+苦,所以对应点（一噂，当在第二

cos-+isin---'

4422

象限，故选B.

答案：B

3.若tan（。+彳）=-3,则sin2。一cos?。=（）

C.-1D.3

ji

/、tana+tan-

,(JIA4

解析：tanlq+]J=-3n-------------^=—3=tan。=2,

1—tana•tan-

sin2a—cos2a_2sinacosa—cos2Q_2tan<7—1

sin2a-cos2

sin2a+cos2asin2a+cos2a1+tan2a

3

把tan。=2代入，得sin2a—cos,a=工，故选A.

答案：A

4.若非零向量a、6满足a|=2引=4,（a—26）•a=0,则a在6方向上的投影为（）

48

A.B.

11

C--

4D.8

2

解析：由（a—26）•a=a2-2a•6=0得a•方二52二-I1一I=8,从而a在6方向上的投影为

a*b8

W=2=4,故选A

答案：A

5.已知处〃是两条不同的直线，a,8,尸是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若山〃a,n//a,贝|⑷〃〃

B.若a±y,y,则a//

C.若in//a,n//a,且g£,nuB,贝。a〃£

D.若a,AJ_£,且a_L£,贝!）mln

解析：若m//a,n//a,则m//n或m与n异面或〃与〃相交，选项A错误；若a_1_7,

£J_/,则。与£可能相交，选项B错误；若直线如〃不相交，则平面a,£不一定平

行，选项C错误；：a_L£,mla,：.m〃8或肛B,又nlB,：.mLn,选项D正确，故

选D.

答案：D

2

6.己知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有§的概率解答正确,

且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的

桃率

13

--B9

A.2O-

201

1

C-

5D.20

解析：记“三人中至少有两人解答正确”为事件小“甲解答不正确”为事件8,则户（4）

卧2O1224

3面XX

--2---3-3-3--

=c+C3J7?27

1

RAB)故选

5-

答案：C

7.《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算

法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的x=[,

输出的/=1詈91，则判断框中应填入的是（）

ol

A.kW2?B.AW3?

C.AW4?D.AW5?

11441

解析：模拟程序的运行过程如下，输入x=石，k=l,y=lX-+l=-,k=2,,y=-X-+l

401121

y=—X-+l=—,k=5,此时不满足循环条件，输

Z(ool

出了=不二，则判断框中应填入的是Z4?,故选C.

ol

答案：C

8.在△/%中，a,b,。分别为角4B,。的对边，若△/比的面积为S,且44s=(乃

+方)2—贝iJsin(c+9=()

乖

A.1B.g-

乖一也避+也

L-44

解析：由4(S=(a+/?)2—c2,得4y[3X^absinC=a+l}—c+2ab.

*.*aID—c=2abcGsC,2\[3absinC=2abcosC+2abf艮|3/sinC——cosC=l,

即2sin(0--^=1，贝Isin(。--

JIJIJI,IC+^|=sin

・••c—豆=豆’即则sin|

A/2,1A/2乖+而

X^-+gX^~=VJ,故选D.

答案：D

9.已知〃为双曲线C：f—3=l(a>0,6>0)的右支上一点，A,尸分别为双曲线C的左

ab

顶点和右焦点，线段用的垂直平分线过点四/腼=60°,则。的离心率为()

A.6B.4

C.3D.2

解析：

如图，设双曲线。的左焦点为E,连接姐，由题意知|财=|"1=a+c,\MFx\=3a+c,

在△物;尸中，由余弦定理得|姐「=|人川2+|版「一2|R川版|cos60。，

1c

所以(3d+c)2=(2c)2+(a+c)2—2X2c(a+c)X-,整理得4a+3ac~c=0因为s=一,

2fa

所以e2—3e—4=0.又因为e>l,所以e=4,故选B.

答案：B

10.设数列｛2｝的前〃项和为S,数列｛S｝的前〃项和为北，若a=2,且2S+i=4S+&

+i+2,则使得北>120—〃成立的〃的最小值是()

A.5B.6

C.8D.9

解析：由题意知2S+i=4S+%+i+2,化简可得S+i=3S+2,则当刀22时，S=3S-1+2,

两式相减得&+i=3&・当7?=1时，ai+&=3ai+2,又4=2,所以。2=6=3团，故｛&｝是以3

为公比，2为首项的等比数列，所以数列｛4｝的通项公式为a=2X3〃—.根据等比数列的前n

项和公式可得3=驾~等=3"—1,从而数歹!J｛S｝的前刀项和7L=S+S+&H-----1_5=当一等

1—31—3

oo^+ioo2io

—n=~z—n—~,所以北>120—〃，即二1一〃一5>120—〃，化简可得二厂>一了，即3/?+1>243

乙乙乙乙乙乙

=3*解得〃>4,故使得北>120—〃成立的〃的最小值是5,故选A.

答案：A

11.已知长方体48切一4旦G〃，4?=/4=2,AD=\,正方形CG〃〃所在平面记为。，若

经过点A的直线1与长方体485一46K”所有的棱所成角相等，且JAa=弘则线段的

长为()

A.亨B.3

C.#D.y[3

解析：如图，建立空间直角坐标系正xyz.

由题意得力(I,0,0),设点〃的坐标(0,y,z)(y>0,z>0),贝！|闻仁(一1,y,z).

由题意得与DA,DC,9平行的棱所在直线的方向向量可分别取为a=(1,0,0),b=

(0,1,0),c=(0,0,1).

因为直线/〃与所有的棱所成角相等，

所以|cos{AM,a〉=|cos〈AM,b)=|cos{AM,c〉,

nn>•a\\AM-b\\AM'c\

即二------=-------=-------,

\AM\,\a\|AM\•|b\AM\•|c

Jvz

所以=7-=；-==一,解得y=l,z=l,

|诙|诙\AM\

所以点〃的坐标(0,1,1),即为正方形比'GO对角线的端点G,

因此1,1,1),所以|/施=/，故选D.

答案：D

12.已知/'(x)是定义在R上的奇函数，满足/1(l+x)=r(l—x),若/1(1)=：!,则/(1)+

f(2)+f(3)H----Ff(2019)=()

A.1B.0

C.1D.2019

解析：根据题意，函数/<x)满足Ml—x)=f(x+l),则函数f(x)的图象关于直线X=1

对称，则有F(一x)=/(x+2),又由函数f(x)为奇函数，则『(一X)=—『(x),则有/■(*)=—

f(x+2),则/<x+2)=-f(x+4),可得/•(1)=f(x+4),则函数f(x)是周期为4的周期

函数，又由/"(1)=1,则/1(1)=f(5)=A2017)=1,/(—I)=—F(l)=-1,则/1(3)

=f(7)=……=r(2019)=-1,又/<-2)=A2)=-f②,所以/■⑵=0,且f(0)=0,

所以f(2)=f(4)=f(6)=f(8)=〜=f(2018)=0,则AD+A2)+f(3)H----F7(2019)=

505-505+0=0,故选B.

答案：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若(2/一0〃展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项是.

解析：若展开式的二项式系数之和为64,则2"=64,.•.77=6,则展开式中的通

项为小尸戊•(一1),•2f产呢,令i2-3r=0,求得r=4,可得常数项为索•2=60.

答案：60

14.已知等差数列｛aj的前A项和为S,若£=10,&=36,当〃GN*时，仔的最大值为

解析：由题意，等差数列｛aj的前〃项和为S,若£=10,关=36,

,4X3

4国+2m0,

设首项为&,公差为4贝6

,8X7

851+——d=36,

解得a=d=1,所以Sn=Mo一

用n9n919方

则,转=其_3,后=一%一，当力+一取最小值时，U取最大值，结合

S+3(77+3)(77+4)n+7/7+12.12(nS+3

-----n-----〃十一十7

函数f(x)=^+-U0)的单调性,可得当〃=3或n=4时,

答案：；

X2V2

15.已知A,K是椭圆GF+R=1(a>6>0)的左、右焦点，8是短轴的一个端点，线段

ab

跖的延长线交椭圆。于点〃若△qM为等腰三角形，则椭圆C的离心率为.

解析：如图，不妨设点6是椭圆短轴的上端点，则点〃在第四象限内，设点，(x,y).

由题意得劭为等腰三角形，且|掰|=|加|.

由椭圆的定义得