(高等数学与工程数学习题课指导)第十三章无穷级数

高等数学与工程数学习题课指导第十三章无穷级数目录引言无穷级数的定义与性质无穷级数的收敛与发散无穷级数的运算无穷级数的应用习题与解答01引言主题简介01无穷级数是研究无穷序列的函数，是数学分析中的一个重要概念。02无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如傅里叶分析、量子力学等。本章将介绍无穷级数的基本概念、性质和常见的无穷级数类型。03010203掌握无穷级数的基本概念和性质，理解无穷级数的收敛与发散。学习常见的无穷级数类型，如几何级数、调和级数等，并掌握其性质和应用。通过习题和案例分析，加深对无穷级数的理解，提高解决实际问题的能力。学习目标02无穷级数的定义与性质定义无穷级数是无穷多个数按照一定的顺序排列起来的数列，通常表示为无限和的形式。分类无穷级数可以分为收敛和发散两类，其中收敛级数具有和，而发散级数不具有和。收敛性无穷级数的收敛性是指级数的部分和序列的极限存在，即级数的和存在。无穷级数的定义010203线性性质对于任意常数$k$和$n$，有$ksum_{n=1}^{infty}a_n=sum_{n=1}^{infty}ka_n$和$sum_{n=1}^{infty}(a_n+b_n)=sum_{n=1}^{infty}a_n+sum_{n=1}^{infty}b_n$。比较审敛法如果$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$满足$0leqa_nleqb_n$，且$sum_{n=1}^{infty}b_n$收敛，则$sum_{n=1}^{infty}a_n$也收敛。交错级数的审敛法如果级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^na_n$中$a_ngeq0$且单调递减，且$sum_{n=1}^{infty}a_n$收敛，则$sum_{n=1}^{infty}(-1)^na_n$也收敛。无穷级数的性质03无穷级数的收敛与发散123如果存在一个正数$c$，使得对于级数中的任意两个不同的项$u_n$和$u_{n+1}$，都有$|u_n/u_{n+1}|leqc$，则级数收敛。柯西准则如果级数中的每一项都小于等于前一项，并且从某一项开始，无限地接近于0，则级数收敛。莱布尼茨准则如果存在一个非零的实数$x_0$，使得级数在$x_0$处的值等于该级数的部分和，则级数收敛。狄利克雷准则收敛的判断方法如果级数的部分和或项没有上界或下界，则级数发散。无界性如果级数的部分和或项无限增大，则级数发散。无穷大如果级数的部分和或项无限减小，则级数发散。无穷小发散的判断方法04无穷级数的运算无穷级数的加法运算是指将两个无穷级数逐项相加，得到一个新的无穷级数。总结词在进行无穷级数的加法运算时，需要将两个无穷级数的每一项分别相加，得到一个新的无穷级数。例如，对于无穷级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$，其和为$sum_{n=1}^{infty}(a_n+b_n)$。详细描述加法运算总结词无穷级数的减法运算是指将两个无穷级数逐项相减，得到一个新的无穷级数。详细描述在进行无穷级数的减法运算时，需要将两个无穷级数的每一项分别相减，得到一个新的无穷级数。例如，对于无穷级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$，其差为$sum_{n=1}^{infty}(a_n-b_n)$。减法运算VS无穷级数的乘法运算是指将两个无穷级数逐项相乘，得到一个新的无穷级数。详细描述在进行无穷级数的乘法运算时，需要将两个无穷级数的每一项分别相乘，得到一个新的无穷级数。例如，对于无穷级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$，其积为$sum_{n=1}^{infty}(a_ntimesb_n)$。总结词乘法运算无穷级数的除法运算是指将一个无穷级数逐项除以另一个无穷级数，得到一个新的无穷级数。总结词在进行无穷级数的除法运算时，需要将一个无穷级数的每一项分别除以另一个无穷级数的相应项，得到一个新的无穷级数。例如，对于无穷级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$和$sum_{n=1}^{infty}b_n$，其商为$sum_{n=1}^{infty}frac{a_n}{b_n}$。需要注意的是，当分母的某一项为0时，该项在商中应被视为不存在。详细描述除法运算05无穷级数的应用数学分析无穷级数是数学分析中研究函数的重要工具，用于研究函数的收敛性、可积性和可微性等性质。代数无穷级数在代数中用于表示多项式和分式函数，以及解决代数方程的根的问题。几何学无穷级数在几何学中用于研究曲线、曲面和复杂几何形状的性质和特征。在数学领域的应用030201力学无穷级数在力学中用于表示周期性振动、波动和声学等物理现象的数学模型。热力学无穷级数在热力学中用于描述热传导、热辐射和热对流等物理过程的数学模型。电磁学无穷级数在电磁学中用于描述电磁波的传播、散射和吸收等物理现象。在物理领域的应用控制工程无穷级数在控制工程中用于设计和分析控制系统，如航空航天器和工业设备的控制系统。计算机科学无穷级数在计算机科学中用于研究和实现算法、数据结构和计算复杂性理论等。信号处理无穷级数在信号处理中用于表示和解析各种信号，如音频、图像和雷达信号等。在工程领域的应用06习题与解答习题一答案$frac{1}{2}$解析利用部分分式法，将$frac{1}{n(n+1)}$拆分成$frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$，然后利用求和公式计算得出结果。答案：发散解析：由于$frac{1}{sqrt{n}}$随着$n$的增大而增大，且$frac