高三数学一元二次不等式的应用

关于高三数学一元二次不等式的应用一、一元二次方程的解与不等式的解之间的关系1．一般地，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有①________解⇔Δ＝b2－4ac>0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有②________解⇔Δ＝b2－4ac＝0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)③________解⇔Δ＝b2－4ac<0.第2页,共63页，2024年2月25日，星期天2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布问题：记f(x)＝ax2＋bx＋c，其根的情况、图像情况、不等式三者关系如下：第3页,共63页，2024年2月25日，星期天第4页,共63页，2024年2月25日，星期天第5页,共63页，2024年2月25日，星期天二、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)>0用⑨________(或称数轴穿根法，根轴法，区间法)求解，其步骤是：1．将f(x)最高次项的系数化为⑩________数；2．将f(x)分解为若干个一次因式的积或者若干个⑪________之积；3．将每一个一次因式的根标在数轴上，从⑫________依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；4．根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出⑬________.第6页,共63页，2024年2月25日，星期天第7页,共63页，2024年2月25日，星期天四、用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；3．解这个一元二次不等式得到实际问题的解．第8页,共63页，2024年2月25日，星期天第9页,共63页，2024年2月25日，星期天对于高次不等式及分式不等式应如何解决，并应注意些什么问题？1．高次不等式也是一种很常见的不等式，在许多问题中都牵涉到解高次不等式．另外，许多分式不等式也可以转化为高次不等式，解高次不等式主要使用以下三种方法：以不等式(x＋3)(x－2)(x－4)>0为例．方法一：原不等式可化为几个不等式(组)进行求解．此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法．第10页,共63页，2024年2月25日，星期天方法二：不等式(或方程)有三个零点，－3,2,4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间(如下图)．第11页,共63页，2024年2月25日，星期天针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下：从上表可看出(x＋3)(x－2)(x－4)>0的解集为{x|－3<x<2或x>4}因式x＋3x－2x－4(x＋3)(x－2)(x－4)当x>4时＋＋＋＋当2<x<4时＋＋－－当－3<x<2时＋－－＋当x<－3时－－－－第12页,共63页，2024年2月25日，星期天方法三：先在数轴上标出零点(如下图)根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式(x＋3)(x－2)(x－4)的正负号，再根据题目要求，直接写出解集为{x|－3<x<2或x>4}．注：这种方法常称为“数轴标根法”．这种方法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼．这样的“线”也可看成是函数y＝(x＋3)(x－2)(x－4)的图像草图．(y轴未画)．利用数轴标根法要先把x的系数化为正数，最好是1，否则很容易写错结论．第13页,共63页，2024年2月25日，星期天第14页,共63页，2024年2月25日，星期天通过以上四种形式之一转化为一元一次不等式或一元二次不等式或特殊高次不等式求解.第15页,共63页，2024年2月25日，星期天二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：第16页,共63页，2024年2月25日，星期天第17页,共63页，2024年2月25日，星期天[例1]

m为何值时，关于x的方程：(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0(1)有两个异号实根；(2)有两个实根，且它们之和为非负数．第18页,共63页，2024年2月25日，星期天第19页,共63页，2024年2月25日，星期天第20页,共63页，2024年2月25日，星期天[变式训练1]若0≤x≤1，y＝x2－2ax＋a2－1，求当a为何实数值时，恒有y>0.解析：解法1：二次函数y＝x2－2ax＋a2－1的二次项系数为1，所以它的图像开口向上，如右图所示．令y＝0，可得图像与x轴交点横坐标x1＝a－1，x2＝a＋1且x1<x2.要使在0≤x≤1时，y>0.由图可知x1>1或x2<0，即a－1>1或a＋1<0，∴a>2或a<－1.第21页,共63页，2024年2月25日，星期天解法2：由y>0，则x2－2ax＋a2－1>0.方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a－1、a＋1.且a－1<a＋1，∴x>a＋1或x<a－1.依题意可得a＋1<0或a－1>1，即a<－1或a>2.第22页,共63页，2024年2月25日，星期天对分子分母含x的因式的不等式，先把不等式右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简．第23页,共63页，2024年2月25日，星期天第24页,共63页，2024年2月25日，星期天第25页,共63页，2024年2月25日，星期天第26页,共63页，2024年2月25日，星期天第27页,共63页，2024年2月25日，星期天第28页,共63页，2024年2月25日，星期天化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)v0(这里的v表示>或<)．再利用穿根法写出解集，其穿根的步骤：(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．第29页,共63页，2024年2月25日，星期天第30页,共63页，2024年2月25日，星期天(2)先化简不等式得x(x2－2x－8)<0，分解因式，得x(x＋2)(x－4)<0.如右图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,4)．第31页,共63页，2024年2月25日，星期天[变式训练3]解下列不等式(1)x3－2x2＋3<0；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.解析：(1)原不等式转化为：(x＋1)(x2－3x＋3)<0.对任意实数x，∵x2－3x＋3>0恒成立(Δ＝(－3)2－12<0)，∴原不等式等价于x＋1<0.∴原不等式的解集为：{x|x<－1}．(2)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，结合图示，可得不等式解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．第32页,共63页，2024年2月25日，星期天第33页,共63页，2024年2月25日，星期天第34页,共63页，2024年2月25日，星期天第35页,共63页，2024年2月25日，星期天第36页,共63页，2024年2月25日，星期天第37页,共63页，2024年2月25日，星期天分析：(1)根据方程根的意义，列方程组求解．(2)解含有参数k的分式不等式关键是搞清引起分类讨论的原因．第38页,共63页，2024年2月25日，星期天第39页,共63页，2024年2月25日，星期天第40页,共63页，2024年2月25日，星期天∴m的取值范围是m<－2.第41页,共63页，2024年2月25日，星期天解法2：不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x恒成立，则只需m<2x2－8x＋6对任意的x恒成立．∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴2x2－8x＋6在x∈R上最小值为－2，∴m<－2.第42页,共63页，2024年2月25日，星期天[变式训练5]当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，因为当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以有∴m≤－5，故m的取值范围是(－∞，－5]．答案：(－∞，－5]第43页,共63页，2024年2月25日，星期天[例6]关于x的方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围．第44页,共63页，2024年2月25日，星期天第45页,共63页，2024年2月25日，星期天第46页,共63页，2024年2月25日，星期天第47页,共63页，2024年2月25日，星期天分析：(1)根据奇函数的定义和性质求解；(2)若用直接法求解，显得麻烦，如果能挖掘出函数的奇偶性和单调性则容易去掉“f”符号，问题便会迎刃而解．第48页,共63页，2024年2月25日，星期天第49页,共63页，2024年2月25日，星期天第50页,共63页，2024年2月25日，星期天第51页,共63页，2024年2月25日，星期天(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中最优化结果问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法、分析和解决实际问题的能力，考查了数学建模、反比例函数、解不等式等数学内容．第52页,共63页，2024年2月25日，星期天[例7]国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？第53页,共63页，2024年2月25日，星期天解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x(万元)，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.因此，当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．第54页,共63页，2024年2月25日，星期天[变式训练7]汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车时还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？第55页,共63页，2024年2月25日，星期天解析：由题意列出不等式0．1x＋0.01x2>12，①0．05x＋0.005x2>10，②分别求解，得①的解集为x<－40或x>30，得②的解集为x<－50或x>40.由于x>0，从而可得x甲>30km/h，x乙>40km/h.又因为当x甲＝40时，s甲＝20m比12m大得多，所以甲车车速没有超过40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任