2024年湖南省长沙市中考月数学试题(含答案)

年长沙市初中学业水平考试模拟试卷数学（一）注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（）A．2024 B． C． D．不确定2．为了减碳，提高充电效率，某科技公司研发了全液冷超充技术，电动汽车充电100度仅需10分钟，实现了“一秒一公里”，预计2024年装车量达到800万辆．数据“800万”用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A． B． C． D．5．如图，将等腰直角三角形板和直尺摆放如下，直角顶点E正好落在直尺的边上．如果，那么的大小为（）A． B． C． D．6．如图，点A，B，C，D，E是上的五等分点，则的度数为（）（第6题图）A． B． C． D．7．《九章算术》中记载有盈不足问题、今有共买金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价各几何？其大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程为（）（第7题图）A． B．C． D．9．已知关于x的一次函数，则该一次函数图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限10．如图，已知线段BC，按照如下步骤作图：第一步：分别以点B，C为圆心、大于长为半径画弧；第二步：过两弧的交点作直线l交BC于点D；第三步：以点D为圆心、BD长为半径画弧交直线l于点O；第四步：以点O为圆心、OB长为半径画圆．若的半径为3，点A是圆上的动点．当点A在BC所对的优弧上运动时，记面积的最大值为，当点A在BC所对的劣弧上运动时，记面积的最大值为，则的值等于（）（第10题图）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．已知函数，则自变量x的取值范围是______．12．分解因式：______．13．为营造“全民亚运，全民健身”的氛围，提升全民健身的热情，某校举行了“2023年亚运会知识”竞赛．随机抽取部分学生成绩，统计如下表，则这一部分学生成绩（分）的中位数位于______．（填“A”“B”“C”或“D”）组．学生成绩（分）A组B组C组D组学生人数（人）1020301514．如图，已知等边的顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，，反比例函数的图象正好经过点A，则k的值为______．（第14题图）15．为接续推进全面脱贫与乡村振兴衔接，长沙某村以文化展板呈现了乡村振兴中的诗与远方．如图，该展板为扇形结构，m，m，，则图中的阴影部分面积是______．（结果保留）（第15题图）16．如图，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，连接BE，作点A关于BE对称的点F，连接BF，EF．若，点F到边BC，AD的距离之比为，则______．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．“桥”见湘江，品湖湘记忆．橘子洲大桥原名“长沙湘江大桥”（湘江一桥），是目前中国规模最大的双曲拱桥．在世界桥梁建筑史上留下浓墨重彩的一笔．课外实践活动中，学生小明用无人机来测量橘子洲大桥的主桥长度．如图，无人机在桥的正上方400m高度的点A处，测得主桥西起点B的俯角为，在桥的正上方400m高度的点D处测得主桥东起点C处的俯角为，AD的距离为170m．（注：点A，B，C，D在同一平面内．结果精确到m，）（1）求橘子洲大桥主桥BC的长；（2）延长CD至于点Q．且m．若无人机在点Q处进行测量，则该无人机与桥面BC的距离是多少米？20．“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”．加强学生的心理健康教育上升为国家战略．国家卫生健康委举行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康．为促进学生健康成长，某校开展了心理健康教育讲座．讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计．绘制了如下两幅不完整的统计图表．某校学生心理健康知识了解情况统计表分组类别分数A组不了解20B组了解少aC组基本了解40D组非常了解b某校学生心理健康知识了解情况扇形图根据图表中提供的信息，解答下列问题．（I）直接写出答案：______，______，______；（2）D组扇形所对的圆心角的度数是多少？（3）从D组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率．21．如图，在中，，，以AC为边作等边，E是AC的中点，连接DE．（1）求证：；（2）连接BD．若，求BD的长．22．“双减”在行动，教有在提质．由长沙市教育局倾力打造的“名师云课堂”已于2023年9月9日正式上线．每周六（除节假日外）上午九点，“名师云课堂”都会如约而至．据不完全统计，第一周收看人数为24200人，第三周收看人数为29282人．假设每周收看人数的平均增长率相同．（1）求第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率；（2）按照（1）中平均增长率．试估计第四周有多少人收看“名师云课堂”．（结果保留整数）23．如图，将沿AD对折，得到，连接BE交AD于点O，连接FO．（1）求证：；（2）若，，求AO的长及四边形AFOB的面积．24．如图，在中，，以BC为直径作交AC于点G．点D赴AB延长线上一动点，连接DG交BC于点H．交于点E，连接BE，CE，连接DC交于点F．（1）求证：直线AD是的切线；（2）设的面积为，的面积为．若点D运动到时．求的值；（3）连接EF，当点D运动时，若，试求的值．25．我们不妨约定：在平面直角坐标系xOy中，若点和点满足：，我们就说点P和点Q是该坐标平面内的一对“共赢点”．若函数，的图象上存在一对或一对以上“共赢点”（其中点P在的图象上，点Q在的图象上），我们就说函数，互为“共赢函数”．据约定，解答下列问题：（1）若一次函数，，且．当自变量时，函数，的图象上恰好是一对“共赢点”，试求一次函数，的解析式．（2）已知反比例函数，，且．试判断函数，是否互为“共赢函数”．若是，请求出“共赢点”的坐标；若不是，请说明理由．（3）已知以x为自变量的二次函数，函数与互为“共赢函数”，且当自变量x取任意实数时，函数，的图象上都存在“共赢点”．记函数，的图象分别交y轴于A，B两点，函数的图象交x轴于点C，经过A，B，C三点的圆与x轴的另一个交点为D，点P是x轴下方圆上的动点，且点P不与点B，C，D重合，设，，令，当f取最大值时，试判断四边形ACBD的形状，并说明理由．2024年长沙市初中学业水平考试模拟试卷数学（一）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABDDCCABAB二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11． 12． 13．C14． 15． 16．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：原式．18．解：原式．当时，原式．19．解：（1）如图1，过点A作于点G．过点D作于点H．在中，，，∴（m）．在中，，，∴（m）．由图易知四边形AGHD为矩形，∴（m），∴（m）．图1答：橘子洲大桥主桥BC的长约为1250m；（2）如图2，过点Q作于点N，交AD于点M．在中，，，∴（m），∴（m）．答：该无人机与桥面BC的距离约为m．图220．解：（1）30；10；20；（2）D组扇形所对的圆心角的度数为；（3）画树状图如下：由图可知，一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种，∴丁同学未被抽中的概率为．21．（1）证明：∵是等边三角形，E是AC的中点，∴，，．∵，∴．在和中，∴；（2）解：如图，连接BD．在中，，∴．由勾股定理，得．∵是等边三角形，∴，．在中，，，∴，∴，∴是直角三角形，∴．22．解：（1）设第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率为x．则，解得，（舍）．答：第一周到第三周“名师云课堂”收看人数的平均增长率为10％；（2）（人）．答：估计第四周有32210人收看“名师云课堂”．23．（1）证明：如图，连接BF交AD于点G．∵将沿AD对折，得到，∴于点G，，，由平行线分线段成比例定理得，，∴；（2）解：由（1）得，若，，，则，，∴，，∴．由（1）得，是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴．24．（1）证明：在中，，又∵，∴，，∴．∵是的直径，∴直线AD是的切线；（2）解：如图1，连接OG．由（1）得，∴，∴，，∴．又∵，∴．∵和在和上的高相等，∴，∴．设，则，，∴，∴，∴；（3）解：如图2，连接EF，BG，BF．∵BC是直径，∴．∵，∴，．由（2）得，∴．又∵，∴．∵，∴，∴．①∵点四点共圆，∴．∵，∴，∴，②得，．∵，∴设，．由勾股定理，得．∵，，∴，∴，∴，∴．25．解：（1）当自交量时，，．∵当自变量时，函数，的图象上恰好是一对“共赢点”，∴，解得，．∵，∴，∴一次函数，的解析式分别为，．（2）当时，，．情形一，若，即，此时，∴当时，函数，互为“共赢函数”，它们的图象上有无数对“共赢点”，其坐标可以表示为，；情形二