江西省多校联考2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷（含答案）

—2024学年高一年级第二学期第一次阶段性考试数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5．分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角终边相同的角是（）A． B． C． D．2．已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件3．已知，则（）A． B． C． D．4．，则（）A． B． C． D．5．已知角的终边经过点，若，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．函数的值域为（）A． B． C． D．7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．8．鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔．今有一个半径为的圆（如图2），分别为圆周上的点，其中，现将扇形分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．下列选项中的是函数的点的是（）A． B．C． D．11．已知定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）A．在上单调递减B．C．当时，的最大值为D．函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2024年3月1日，某蛋糕店共有10位顾客预订生日蛋糕，他们的年龄按预订的顺序依次是6，12，54，30，8，10，18，24，30，32，则这10位顾客年龄的中位数是________．13．已知函数具有下列性质：①值域为；②其图象的对称轴为直线，则的一个解析式为________．（写出满足条件的一个解析式即可）14．已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，且，则为函数的“子母数”．已知集合，函数（）示不超过的最大整数，例如，当时，函数的所有“子母数”之和为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在某单位元旦联欢会上，为了活跃气氛，设计了一个游戏环节：在三个不透明的盒子中均装有3个黑球和2个白球，这些球形状大小完全相同，每个职工均摸球两次，第一次从盒子中随机摸出两个球，如果摸出的均是白球，则得奖金100元，否则奖金为0元；第二次从两个盒子中各摸一个球，若两球的颜色相同，则得奖金50元，否则奖金为0元，小明参与了此次游戏．（1）求小明在第一次摸球中得奖金100元的概率；（2）求小明在两次摸球中得奖金150元的概率．16．（15分）定义域为的奇函数满足，当时，，且．（1）当时，画出函数的图象，并求其单调区间、零点；（2）求函数在区间上的解析式．17．（15分）函数的部分图象如图．（1）求函数的解析式；（2）将函数上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．已知函数若函数的零点从左到右依次为，求的值，并求的值．18．（17分）为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动．某地庙会每天8点开始，17点结束．通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少．（1）求出函数的解析式；（2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间段赠送福字？19．（17分）对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系．其中称为的像．（1）若，判断与是否具有关系，并说明理由；（2）若，且与具有关系，求的像；（3）若，且与具有关系，求实数的取值范围．2023—2024学年高一年级第二学期第一次阶段性考试数学参考答案及评分细则1．【答案D】【解析】，与角终边相同的角为，故角的终边与角的终边相同．故选D．2．【答案】D【解析】取，则满足，但，故在上不单调，所以充分性不成立；当在上单调递增时，成立，故必要性成立．故选D．3．【答案】B【解析】．故选B．4．【答案】A【解析】，故．故选A．5．【答案】B【解析】由得为第四象限角，故解得．故选B．6．【答案】C【解析】由，得，所以函数的值域为．故选C．7．【答案】C【解析】由题意知得．故选C．8．【答案】B【解析】正三角形的面积为，以点为圆心的弧所对的圆心角为，则有，所以扇形的面积为，弧与弦间的弓形的面积为，扇形的面积为，现从扇形中剪两块与相同的弓形补到扇形中，做成鲁洛克斯三角形，所以，，所以．故选B．9．【答案】AC（每选对1个得3分）【解析】因为，所以，当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限．故选AC．10．【答案】AC（每选对1个得3分）【解析】对于选项A，，故A满足；对于选项B，，，故B不满足；对于选项C，，此时，所以，故C满足；对于选项D，，，故D不满足．故选AC．11．【答案】ABD（每选对1个得2分）【解析】因为，则，因为为奇函数，为偶函数，所以，所以，联立可得，对于选项A，当时，，易判断函数单调递增，故单调递减，故选项A正确；对于选项B，，，得，故选项B正确；对于选项C，当时，，当且仅当，即时等号成立，但，故等号不成立，故选项C错误；对于选项D，函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为，故选项D正确．故选ABD．12．【答案】21【解析】将年龄由小到大排列依次为6，8，10，12，18，24，30，30，32，54，所以中位数是．13．【答案】（形如（且）都正确，其他形式若符合条件也给分）【解析】或或等．14．【答案】【解析】由得，整理得，因为，所以，故，所以，得，故，即，又，故，在集合中满足的实数，首先，且，因为时，所以满足的整数为2，3，4，8，9，10，此时所有“子母数”为，其和为．15．解：（1）盒子中的3个黑球和2个白球分别记为：黑1，黑2，黑3，白1，白2，第一次从盒子中随机摸出两个球，（黑3，白1），（黑3，白2），（白1，白2），共10个，（4分）均为白球的只有（白1，白2）1个，所以概率，即小明在第一次摸球中得奖金100元的概率为．（2）小明从盒子中摸到白球的概率均为，摸到黑球的概率均为，所以第二次得50元的概率，两次摸球得150元的概率．【评分细则】第一问，若样本点只写出一部分，可根据写的多少，适当给分；第二问，如用其他解法，若正确，也给满分．16．解：（1）因为，所以，所以，即时，，又为奇函数，所以，且其图象关于原点对称，故可得时的图象如下：单调递增区间为，无单调递减区间，零点为．（2），则，得，当时，，当时，，当时，，所以当时，【评分细则】1．第一问，单调递增区间为，也正确；若写成，或，则错误；单调递增区间用“或”“”连接，则错误，均扣1分，不说明无单调递减区间扣1分．零点只写0的扣1分；2．第二问答案写成不扣分；若没有时的情况，扣1分；3．如用其他解法，若正确，也给满分．17．解：（1）由题意知，由得，又在单调递减区间内，，所以，所以，又，所以，由得所以，所以，所以．（2）由题意得，求函数的零点，即求曲线与直线的交点横坐标，画出的图象与直线如下图，共有6个交点，从左向右第一和第二个交点关于直线对称，第三个和第四个交点关于直线对称，第五个和第六个交点关于对称，所以共有6个零点，即的值为6，且，故．【评分细则】1．第一问，结果写成不扣分；2．第二问，不画图象，结果正确，也给满分；3．如用其他解法，若正确，也给满分．18．解：（1）由14点时最多，大约为1250人，得，得，且，①由时，，得；因为8点开始后，游客逐渐增多，14点时最多，得在单调递增区间内，故，②（①-②），得，由已知得，所以，所以．所以．（2）由，即，所以，解得，又，所以，故该景区可在8点到12点或16点到17点任一时段赠送福字．【评分细则】1．第二问，不写，扣1分；8点到12点或16点到17点，只写一种情况，扣1分；2．如用其他解法，若正确，也给满分．19．解：（1）的值域为，当时，由得，因为的值域为，故不存在，使，即与不具有关系．（3分）（2），由，得，即，所以或，得或，又，得，所以的像为．（3）当时，，所以，由任取，始终存在，使，得