新教材同步备课2024春高中数学第9章统计9.2用样本估计总体9.2.2总体百分位数的估计教师用书新人教A版必修第二册

9.2.2总体百分位数的估量学习任务结合实例，能用样本估量百分位数，理解百分位数的统计含义．(数学抽象、数学运算)某省数学考试结果揭晓，0.8%的同学需要补考．问题：那么如何确定需要补考的分数线呢？学问点百分位数1．第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．1．“这次数学测试成果的第70百分位数是85分”，这句话是什么意思？[提示]有70%的同学数学测试成果小于或等于85分．2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．2．某组数据的第p百分位数在此组数据中肯定存在吗？为什么？[提示]不肯定．由于依据计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%，假如是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．3．四分位数25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．8.4[由于8×30%＝2.4，故第30百分位数是第三项数据8.4．]类型1一组数据的第p百分位数【例1】从某珍宝公司生产的产品中，任意抽取12颗珍宝，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．(1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；(2)请你找出珍宝质量较小的前15%的珍宝质量．[解](1)将全部数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由于共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则第25百分位数是8.0+8.32＝(2)由于共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g，7.9g．百分位数是用于衡量数据位置的度量，它供应了有关数据在最小值与最大值之间位置的信息．需留意，在求百分位数时，肯定要将数据依据从小到大的挨次排列．[跟进训练]1．已知甲、乙两组按挨次排列的数据：甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则mn等于(A．127B．107C．4B[由于30%×6＝1.8，50%×6＝3，所以第30百分位数为n＝28，第50百分位数为37+m2＝34类型2频率分布直方图计算百分位数【例2】为了了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估量一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？[解]由题意知分别落在各区间上的频数在[80，90)上为60×0.015×10＝9，在[90，100)上为60×0.025×10＝15，在[100，110)上为60×0.030×10＝18，在[110，120)上为60×0.020×10＝12，在[120，130]上为60×0.010×10＝6．从以上数据可知第50百分位数肯定落在区间[100，110)上，由100＋10×0.5-第75百分位数肯定落在区间[110，120)上，由110＋10×0.7综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别为103.3cm，112.5cm.频率分布直方图中第p百分位数的计算(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋[跟进训练]2．某学校组织同学参与数学测试，成果的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成果的第________百分位数．30[由于[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成果的第30百分位数．]3．某省教育厅为了了解和把握2023年高考考生的实际答卷状况，随机地取出了100名考生的数学成果(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：分组频数频率[80，85)10.01[85，90)20.02[90，95)40.04[95，100)140.14[100，105)240.24[105，110)150.15[110，115)120.12[115，120)90.09[120，125)110.11[125，130)60.06[130，135]20.02合计1001(1)求样本数据的第60，80百分位数；(2)估量2023年高考考生的数学成果的90%分位数．[解]从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92．(1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的第60百分位数为110，样本数据的第80百分位数肯定在第八组[115，120)内，由115＋5×0.80-(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数肯定在第九组[120，125)内，由120＋5×0.90-01．对于考试成果的统计，假如你的成果处在第95百分位数上，以下说法正确的是()A．你得了95分B．你答对了95%的试题C．95%的参与考试者得到了和你一样的考分或还要低的分数D．你排名在第95名C[第95百分位数是指把数据从小到大排序，有至少95%数据小于或等于这个数，至少有5%的数据大于或等于这个值，只有C正确．]2．已知一组数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，那么数据的25%分位数、75%分位数分别是()A．3，9B．2，7C．9，3D．7，2B[由于这组数据有12个数，所以12×25%＝3，12×75%＝9，所以数据的25%分位数是2+22＝2，数据的75%分位数是73．某组数据的中位数是2023，那么它的第50百分位数是________．2023[某组数据的中位数是2023，第50百分位数就是中位数，它的第50百分位数是2023．]4．某市进行“中同学诗词大赛”，某校有1000名同学参与了竞赛，从中抽取100名同学，统计他们的成果(单位：分)，并进行适当的分组(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估量该校同学成果的80%分位数为________．122[依据频率分布直方图可知，成果在130分以下的同学所占比例为1－0.0050×20＝0.9，成果在110分以下的同学所占比例为1－(0.0125＋0.0050)×20＝0.65，因此80%分位数肯定位于[110，130)内，由110＋20×0.8-0.回顾本节学问，自主完成以下问题：1．百分位数告知我们什么信息？[提示]对于无大量重复的数据，第p百分位数将它分为两个部分，大约有p%的数据项的值比第p百分位数小，而大约有(100－p)%的数据项的值比第p百分位数大．2．计算第p百分位数时应留意什么？[提示]对于数据型的第p百分位数计算时应留意以下两点：(1)求百分位数时，肯定要将数据依据从小到大的挨次排列；(2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数．对于由频率分布直方图求百分位数时应留意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据确定在哪个区间．课时分层作业(四十一)总体百分位数的估量一、选择题1．(多选)在秋季运动会的跳远竞赛中，张明是选手中跳得最远的，李华是选手中跳得最近的，总共有20名选手，则下列描述中正确的有()A．张明跳远成果的百分位数约为100B．张明跳远成果的百分位数约为20C．李华跳远成果的百分位数约为0D．李华跳远成果的百分位数约为6AC[对于A，跳远成果从小到大排序，由于张明是选手中跳得最远的，即至少有100%数据小于或等于张明的成果，至少有0%的数据大于或等于这个值，所以张明跳远成果的百分位数约为100，故A正确，B不正确；对于C，跳远成果从小到大排序，由于李华是选手中跳得最近的，即有至少0%数据小于或等于李华的成果，至少有100%的数据大于或等于这个值，所以李华跳远成果的百分位数约为0，故C正确，D不正确．故选AC.]2．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是()A．14B．17C．19D．23D[由于8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23．]3．以下数据为参与数学竞赛决赛的15人的成果：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成果的第80百分位数是()A．90B．90.5C．91D．91.5B[把成果按从小到大的挨次排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，由于15×80%＝12，所以这15人成果的第80百分位数是90+9124．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是()A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6)C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6]A[由于8×65%＝5.2，这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.]5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]之间，其频率分布直方图如图所示．估量棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是()A．32.5mm B．33mmC．33.5mm D．34mmA[棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在35mm以下的比例为85%＋10%＝95%，因此，90%分位数肯定位于[30，35)内，由30＋5×0.90-0二、填空题6．为了调查某厂工人生产某种产品的力量，随机抽查了40位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示．估量样本数据的50%分位数为________．62.5[依题意，产品数量在[45，55)的频率为0.020×10＝0.2，前两组频率和为(0.020＋0.040)×10＝0.6，所以50%分位数应位于[55，65)内，由55＋10×0.5-0.7．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．8.6[由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则7.8+x2＝8.2，解得x＝8．某班级120名同学在一次百米测试中，成果全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．假如从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成果的70%分位数约为________秒．16.5[设成果的70%分位数为x，由于1+3+71+3+7+6+3＝0.55，1+3+7三、解答题9．在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题．维生素C又叫L-抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需养分素．现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量(单位：mg)各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据x被污损．猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117．已知x等于柚子的10个数据中的________．(1)求x的值与猕猴桃的数据的中位数；(2)分别计算上述猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C含量的平均数．[解](1)柚子的10个数据依据从小到大的挨次排列为：109，113，114，116，117，121，121，122，131，132．选①，由于10×55%＝5.5，所以柚子10个数据的55%分位数为第6个数，即121，所以x＝121．猕猴桃的10个数据依据从小到大的挨次排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则中位数为12(113＋116)＝11选②，由于柚子的10个数据的众数为121，所以x＝121．猕猴桃的10个数据依据从小到大的挨次排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则中位数为12(113＋116)＝11(2)由(1)得每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为110×(102＋104＋106＋107＋113＋116＋119＋121＋132＋134)＝115.4每100克柚子维生素C含量的平均数为110×(109＋113＋114＋116＋117＋121＋121＋122＋131＋132)＝119.610．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14,b＝15C．a＝12,b＝15.5 D．a＝14.7,b＝15D[把该组数据按从小到大的挨次排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，第50百分位数为b＝15+1511．某城市抽样了100户居民月均用水量(单位：t)，并作出频率分布表如表，分组频数频率[1，1.5)60.060[1.5，2)180.180[2，2.5)440.440[2.5，3)160.160[3，3.5)110.110[3.5，4]50.050则第80百分位数为()A．2.625 B．2.750C．2.875 D．3.125C[∵0.06＋0.18＋0.44＝0.68，0.06＋0.18＋0.44＋0.16＝0.84，∴第80百分位数位于[2.5，3)，则第80百分位数为2.5＋0.8-0.680.84-0.612．(多选)一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，这组数据的一个四分位数是15，则它是()A．第一四分位数 B．下四分位数C．第三四分位数 D．上四分位数AB[将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项．由11×25%＝2.75，故15是第一四分位数或下四分位数．]13．如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为_______，日最低气温的第80百分位数为_______.2416[由折线图可知，把日最高气温依据从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27．由于共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24．把日最低气温依据从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17．由于共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16．]14．从某保险公司的推销员中随机抽取50名，统计这些推销员某月的月销售额(单位：千元)，由统计结果得如下频数分布表：月销售额分组[12.25，14.75)[14.75，17.25)[17.25，19.75)[19.75，22.25)[22.25，24.75]频数4102484(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)依据以上抽样调查数据，公司将推销员的月销售指标确定为17.875千元，试推断是否有60%的推销员能够完成该销售指标．[解](1)依据题意作出频率分布表：月销售额分组[12.25，14.75)[14.75，17.25)[17.2