2024 1月-3月各省市一模压轴新题型汇编 （解析）版

段OB分别与圆O相交于点M、N.请说明理由.2=2px(p>0(，故xp=|PF|-=-，∴y=2p-,x+y=-2+2p-=3，.∵直线AB与圆O相切，2=.2得y2-2ty-2m=0.∴Δ=4t2+8m=+8m-4>0，且y1+y2=2t,y1y2=-2m.∴y1y2=-2m<0.t2=≥0∵S△OMN=|OM||ON|sin∠MON=×3×3sin∠AOB=sin∠AOB≤成立，11⇔sin∠AOB=1,0<∠AOB<π,∴⋅=0.∴⋅=+y1y2=m2-2m=0，解得m=0或m=2.再由m≥3得m=2. 数列{an{同时满足an≤，则称数列{an{为γ数列.+1-an|=1，得an+1-an≤1，2025=(a2025-a2024(+(a2024-a2023(+⋯(a2-a1(+a1≤2024，当且仅当an+1-an=1时取等号.n+1-an=1，故数列{an{是递增数列.n=b2nn<cn+1，知数列{cn{是单调递增数列，故数列{bn{的偶数项构成单调递增数列，2=-1,b4=0，故当b2n≥0时，有n≥2.下面证明数列{bn{中相邻两项不可能同时为非负数.i+1-bi|=i，i+1-bi=i，则有bi+1=bi+i≥i>，与条件矛盾；i+1-bi=-i，则有bi=bi+1+i≥i>，与条件矛盾；222n≥0，对n≥2成立，故n≥2时，b2n-1≤0，b2n+1≤0，即b2n>b2n-1,b2n>b2n+1，2n-b2n-1=2n-1,b2n-1-b2n-2=-(2n-2(，故(b2n-b2n-1(+(b2n-1-b2n-2(=1，2n-b2n-2=1,n≥2，即cn-cn-1=1,n≥2.又c1=b2=-1,c2=b4=0，所以数列{cn{是c1=-1，公差为1的等差数列，所以cn=-1+(n-1(=n-2. f({an{(=a1+a2x+⋯+anxn-1+⋯,x∈R．定义运算⊗：若{an{,{bn{∈S，则{an{⊗{bn{f({an{⊗{bn{(=f({an{(⋅f({bn{(.4表示m4；(2)证明：({an{⊗{bn{(⊗{cn{={an{⊗({bn{⊗{cn{(；n=2=n{={an{⊗{bn{，证明：d200<.解析：(1)因为f({an{⊗{bn{(=f({an{(⋅f({bn{(=(a1+a2x+a3x2+a4x3⋯((b1+b2x+b3x2+b4x3⋯(且f({mn{(=m1+m2x+m3x2+m4x3+⋯,所以，由{an{⊗{bn{={mn{可得m4x3=(a1b4+a2b3+a3b2+a4b1)x3，所以m4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1.所以f({an})⋅f({bn})⋅f({cn})=f({an}⊗{bn})⋅f({cn})又因为f({an{(⋅f({bn{(⋅f({cn{(=f({an{(⋅[f({bn{(⋅f({cn{([=f({an})⋅f({bn}⊗{cn})=f({an}⊗({bn}⊗{cn}))所以f(({an}⊗{bn})⊗f{cn})=f({an}⊗({bn}⊗f{cn}))，所以({an{⊗{bn{(⊗{cn{={an{⊗({bn{⊗{cn{(.n因为(a1+a2x+⋯+anxn-1+⋯)(b1+b2x+⋯+bnxn-1+⋯)=d1+d2x+⋯+dnxn-1+⋯,所以dnxn-1=a1(bnxn-1)+⋯+akxk-1(bn+1-kxn-k)+⋯+an-1xn-2(b2x)+anxn-1b1，所以dn=a1bn+a2bn-1+⋯+akbn+1-k+⋯+an-1b2+anb1，200=akb201-k=akb201-k+1akb201-k=akb201-k=，33所以d200=1+-,=-=-<.C；则经过2秒机器人位于区域Q的概率为p1p3设经过n秒机器人位于区域Q的概率Pn， 6 6故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn， 若第n秒机器人位于区域P，则第n+ 若第n秒机器人位于区域Q1，则第n+ 4455则有Pn+2=Pn+Pn+(1-2Pn(，即Pn+2=+Pn，令Pn+2+λ=(Pn+λ(，即Pn+2=Pn-λ,即有λ=-，即有Pn+2-=Pn-，则=，故有=、=、⋯、=，-=Pn-=-1×-=-⋅即Pn=-⋅， min{a,b{=+min{an+1,an+2}=max{an+1,an+2}.3=3***n≤A.n=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}，显然an≥0；故a1=max{a2,a3}-min{a2,a3}=1；2=max{a3,a4}-min{a3,a4}=2，3-a4=2或a4-a3=2，则a4=1或a4=5.∵max{an+1,an+2{≥min{an+1,an+2{，n=max{an+1,an+2{-min{an+1,an+2{≥0,k+1≤ak,ak+2≤ak,∴max{ak+1,ak+2{≤ak.k=max{ak+1,ak+2{-min{ak+1,ak+2{≤max{ak+1,ak+2{k≤max{ak+1,ak+2{≤ak，∴max{ak+1,ak+2{=ak,∴min{ak+1,ak+2{=0，①ak+1=0,ak+2≠0时,ak=max{ak+1,ak+2{-min{ak+1,ak+2{=ak+2≠0ak-1=max{ak,ak+1{-min{ak,ak+1{=ak=ak+2≠0am+am+1>(n2-m)am+1=(ak-2=max{ak-1,ak{-min{ak-1,ak{=ak-ak=0ak-3=max{ak-2,ak-1{-min{ak-2,ak-1{=ak-0=ak=ak+2≠0②ak+2=0,ak+1≠0时,ak=max{ak+1,ak+2{-min{ak+1,ak+2{=ak+1≠0，ak-1=max{ak,ak+1{-min{ak,ak+1{=ak+1-ak+1=0，ak-2=max{ak-1,ak{-min{ak-1,ak{=ak+1≠0，∴当p=k+3m-1,m∈Z,且p>0时,ap=0.③ak+1=0且ak+2=0时,ak=0,p的集合为N*n=max{an+1,an+2}-min{an+1,an+2}>0，∴an+1≠an+2；设S={n|an>an+1,n∈N*}，①若S=∅,则a1≤a2，ai<ai+1(i≥2,i∈N*)，对任意A>0，取n1=①+2([x]表示不超过x的最大整数)，当n>n1时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a3-a2)+a2=an-2+an-3+⋯+a1+a2≥(n-1)a1>(n1-1)an=+1a1>⋅a1=A；n>an+1,n∈N*}，am+i<am+i+1(i∈N*)，对任意A>0，取n2=+m+1([x]表示不超过x的最大整数)，当n>n2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(am+2-am+1)+am+1=an-2+an-3+⋯+am+am+1≥(n-m)+1am+1>m+1=A；=min{n|an>an+1,n∈N*}，pi+1=min{n|an>an+1,n>pi}(i∈N*)，若pi+1-pi=1，则ap>ap+1>ap+2，又ap<max{ap+1,ap+2}，矛盾；故pi+1-pi≥2(i∈N*)；记mi=ap+1(i∈N*)；当pi+1-pi=2时，ap>ap+1，ap+1<ap+2，ap+2>ap+3；p+1=ap+2-ap+3，所以mi+1=ap+1=a(p+2)+1=ap+3=ap+2-ap+1=ap>ap+1=mi；当pi+1-pi≥3时，ap>ap+1，ap+1<ap+2<⋯<ap，ap>ap+1p-1=ap-ap+1，故mi+1=ap+1=ap-ap-1=ap-2≥ap=mi；p=ap+2-ap+1，故ap+2=ap-ap+1=ap+mi+1≥ap+m1≥ap+2+m1，66故对任意A>0，取n3=+1，当k>n3时，ap+2=(ap+2-ap+2)+(ap+2-ap+2)+⋯+(ap+故对任意A>0，取n3=+ap+2≥+ap+2≥(k-1)m1+ap+2>km1>(1=A；*n≤A.661e2=.2=2，2=2，=2=2，=1,C2的方程为+y2=1.故C1的方程为x2-2-y2=1，即有x-y可得k1k2==2为定值.(2k+1(x2+4kx+2(k-1(=0,Δ>0恒成立，x1+x2=，可求得M,,则k=-=-2(=-=-k2+1((k1+k2((2k1k2+1((=-=-8kk+2(k+k(8kk+2[(k8kk+2(k+k(7k2=2可得：k=-，点P在第一象限内，故k2>k1>0，k=-≥-=-当且仅当=2(k1+k2(，即k1+k2=23时取等号，而k1+k2>2k1k2=22，故等号可以取到.可解得k1=3-1,k2=3+1，70(为双曲线-y2=1上的动点.70(在双曲线-y2=1上，得-y=1，即y=-1消去y得-x2+x0x-(1+y)=0，则x2-2x0x+x=0，显然Δ=4x-4x=0，0y=1与双曲线-y2=1相切于点(x0,y0(，所以过双曲线-=1(a>0,b>0)上一点(x0,y0(的切线方程为-2x-a2y=a2b2，-=1-=1消去y得：-=1-=1=1.证明如下：88y0y-=2y2x2y22=1(a>0,b>0)上一点(x0,y0(的切线方程为-=1.x--1消去y得：-x2+2mx-a2=0，由m2-n2=1，得x2-2mx+a2=0，则t==n，即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点.8渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数f(x(=(x>0),f(x(在区间[a,b[8域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得dx=lnb-lna，因为曲边梯形ABQP的2>.+①证明：对任意两个不相等的正数x1,x2，曲线y=f(x(在(x1,f(②当b=-1时，若不等式f(x(≥2sin(x-1(恒成立99过点M,作f(x(的切线分别交AP,BQ于M1,M2，因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABMM，-a(，即<.(2)解：①由函数f(x(=ax2+bx+xlnx，可得f,(x(=2ax+lnx+b+1，不妨设0<x1<x2，曲线y=f(x(在(x1,f(x1((处的切线方程为:y-f(x1(=f,(x1((x-x1(，即y=f,(x1(x+f(x1(-x1f,(x1(同理曲线y=f(x(在(x2,f(x2((处的切线方程为l2:y=f,(x2(x+f(x2(-x2f,(x2(，=1(=f(x2(-x2f,(x2(，=0，两式消去a，可得lnx2-lnx1-2=0，整理得ln--x1=x2x1，②当b=-1时，不等式f(x(≥2sin(x-1(恒成立，所以h(x(=ax2-x+xlnx-2sin(x-1(≥0在(0,+∞(恒成立，所以h(1(≥0⇒a≥1，因为a≥1，所以h(x(≥x2-x+xlnx-2sin(x-1(设H(x(=x2-x+xlnx-2sin(x-1(,H,(x(=2x+lnx-2cos(x-1(≥2,,lnx≥0,-2cos(x-1(≥-2知H,(x(≥0恒成立，即H(x(在[1,+∞(为增函数，所以H(x(≥H(1(=0成立； x x+2sin(x-1(，由2sin(x-1(≥-2,>0知G,(x(≥0恒成立，即G(x(=H,(x(在(0,1(为增函数.所以H,(x(<H,(1(=0，即H(x(在(0,1(为减函数，所以H(x(>H(1(=0成立，92=2x的焦点，过F的直线交抛物线于A,B两9设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1(,B(x2,y2(,2+得y2-2my-1=0，fΔ=4m2+4>0y2=-1y1+y2=2m，所以y2=-1不妨设A在第一象限，B在第四象限，对于y=-2x,yI=-；可得l的斜率为--=所以l的方程为y-y2=(x-x2(，即为y=x+.令x=0得E直线OA的方程为y=x=1x=-2y2x，又F,0所以==|EF|得证. y2可得过点B的l的垂线斜率为 y2可得过点B的l的垂线斜率为-y2，所以过点B的l的垂线的方程为y-y2=-y2(x-x2(，即y=-y2x+y2（1+,（y=-2y2xy=-y2x+y2（1+，解得G的纵坐标为yG=y2（y=-2y2xyG-y1|(*).-y1|2=y2+2=，yG-y1|=-|y2(y+2(-y1|=.由D-,y22(知DB与x轴平行，又DF的斜率为-y2,BG的斜率也为-y2，所以DF与BG平行，(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；依题意，y=1-cost,|OB|==t，则x=|OB|-sint=t-sint，所以x=t-sint,y=1-cost.由复合函数求导公式y=y⋅x及(1)得y===，因此tanθ=，而1+cos2θ=2cos2θ===1sit2+1=222=1-cost=y0，依题意，F(t)=(1-cost)2+sin2t=2-2cost=2sin.由0≤≤π,得sin≥0，则F(t)=2sin，于是F(t)=-4cos+c(c为常数)，则F(2π)-F(0)=(-4cosπ+c)-(-4cos0+c)=8，>0，函数fx=ex1-x,Hx=lnx+.(1)求fx、Hx的单调区间；(2)讨论直线y=x与曲线y=lnx-1的公共点的个数；，若0<x1<x2，且Fx1=Fx2，则e2-2ex1+x2-a≥0，求解析：(1)函数fx的定义域为-∞,+∞.∵fx=ex1-x，∴fx=ex1-x-ex=-xex，函数Hx=lnx+的定义域为0,+∞,Hx=-=，常数k>0，(2)设hx=x-lnx，它的定义域为0,+∞,hx=1-=，∴hx的最小值为h1=1-ln1=1，∴hx=x-lnx=-1不成立，即方程x-lnx=-1无实数解，故方程x=lnx-1无实数解，∴直线y=x与曲线y=lnx-1无公共点；(3)根据已知，Fx=ex-lnx[1-x-lnx[的定义域为0,+∞,设t=hx=x-lnx，由(2)得t≥1，且Fx=f[hx[=et1-t=ft，由0<x1<x2，记hx1=t1,hx2=t2，则t1≥1,t2≥1，由F(x1(=F(x2(得f(t1(=f(t2(，1-lnx1=t1,x2-lnx2=t1，2lnx1=x2-x1，得，，若0<x1<x2，且F(x1(=F(x2(，则(e2-2e(x1+x2-a≥0，⇔∀u>1,(u+e2-2e(⋅-a≥0，⇔∀u>1,(u+e2-2e(lnu-a(u-1(≥0，设D(u(=(u+e2-2e(lnu-a(u-1(，则D(e(=(e+e2-2e(lne-a(e-1(≥0，解得a≤e，由a≤e得-a≥-e，由u≥1得u-1≥0，∴D(u(=(u+e2-2e(lnu-a(u-1(≥(u+e2-2e(lnu-e(u-1(，设P(u(=(u+e2-2e(lnu-e(u-1(，则P(1(=0,P(e(=0，P'(u(=lnu++1-e，2-2e=e(e-2(>1，u(=lnu++1-e在[1,e2-2e[上单调递减，在[e2-2e,+∞(上单调递增；由e2-2e<e得P'(e2-2e(<P'(e(=0，=e2-3e+1=e(e-2(+1-e>0.7e+1-e=1-0.3e>1-0.3×2.8>0，0时，P(u(单调递增，故P(u(≥P(1(=0；,e[时，P(u(单调递减，故P(u(≥P(e(=0；∴∀u>1,D(u(≥P(u(≥0.x=1+x+++⋯++⋯其中x≥1+x；<g(x(；解析：(1)设hx=ex-x-1，则h,x=ex-1.所以hx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增.因此，hx≥h0=0，即ex≥1+x.x=1+x+++++⋯++⋯,①于是e-x=1-x+-+-+⋯+(-1)n+⋯,②fx==x+++⋯++⋯,gx==1+++⋯++⋯,=1+++⋯++⋯<1+++⋯++⋯=gx.即<gx.(3)Fx=gx-a1+=-aF,x=-ax，设Gx=-ax，G,x=-a.x所以当a≤1时，G,x≥1-a≥0，所以F,x在R上单调递增.又因为F,x是奇函数，且F,0=0，所以当x>0时，F,x>0；当x<0时，F,x<0.所以Fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增.因此，x=0是Fx的极小值点.下面证明：当a>1时，x=0不是Fx的极小值点.lna=-a=a+-a=-a（<0，又因为G,x是R上的偶函数，且G,x在0,+∞上单调递增,所以当x∈-lna,lna时，G,x<0.x在-lna,lna上单调递减.又因为F,x是奇函数，且F,0=0，所以当-lna<x<0时，F,(x(>0；当0<x<lna时，F,(x(<0.所以F(x(在(-lna,0(上单调递增，在(0,lna(上单调递减.因此，x=0是F(x(的极大值点，不是F(x(的极小值点.数部分，称{x}=x-[x]为x的小数部分.*iiii≤n，n>1，n∈N*)的指数ai=+++⋯=.〈-〈=---=--(-1(==0.25；*i的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为n依此这样进行下去，则质因数pi的指数ai=n1+n2+n3+⋯=+++⋯=1，即得证.*(阶导数都存在时，f(x(=f(0(+f'(0(x+f八(x2+x3+⋯+xn+⋯.注：f八(x(表示f(x(的2阶导数，即为f'(x(的导数，f(n((x((n≥3(表示f(x(的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.*>n-.解析：(1)令f(x(=sinx，则f'(x)=cosx，f八(x)=-sinx，f(3((x(=-cosx，f(4((x(=sinx，⋯f(3((0(=-1，f(4((0(=0，⋯由麦克劳林公式可得sinx=x-+-+⋯,故sin=-+⋯≈0.48.令g(x(=cosx-1+,x≥0，令h(x(=g'(x(=-sinx+x,h'(x(=-cosx+1≥0，故h(x(在[0,+∞(上单调递增，h(x(≥h(0(=0，故g(x(在[0,+∞(上单调递增，g(x(≥g(0(=0，即证得cosx-1+≥0，即cosx≥1-.由(2)可得当x≥0时，cosx≥1-，且由h(x(≥0得sinx≤x，当且仅当x=0时取等号，故当x>0时，cosx>1-,sinx<x， 1=cos>cos=cos1>1-1(n+(n+(n+k(⋅n+k2(n+k)2，而1=2<2=2(2n+2k)2-1(2n+2k-1((2n+2k+1(nn=|003⋯0|，求使BF>35的n的最小值.|00sinθsinθcosθ⋯sinθcosθ=-2n+2k-12n+2k+1，即有>1--故>n--+-+⋯+-=n-+而n-+-（n-=->0，即证得>n-.⋮a13⋯a1n(23⋯a2n33⋯a3n,其模可由向量模拓展为A=aij为矩阵中第i行第j列的数，其矩阵模AF=a=22+42+32+52=36.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(100⋯0(|020⋯（000⋯n(（000⋯n(*，n≥3矩阵Cnn=|0-sinθ-sinθcosθ-sinθcosθ⋯-（0000⋯0(-1)n-1sinn-1θ(|⋯(-1)n-sinn-2θ（0000⋯0(-1)n-1sinn-1θ(*，n≥3，DF>.|ln⋯0nln⋯0nlnnnlnnln⋯0=b=k=1+2+3+⋯+(n-1(+n=.F>35，则>45，即n2+n-90>0.F>35的n的最小值是10.(2)由题得第1对角线上的平方和为1+sin2θ+sin4θ+⋯+sin2n-2θ=,(1+sin2θ+⋯+sin2n-4θ(=cos2θ⋅=1-sin2n-2θ,⋯(1+sin2θ+⋯+sin2n-2kθ(=cos2θ⋅1sin-s22θ=1-sin2n-2k+2θ,⋯所以‖C‖=+(1-sin2n-2θ(+⋯+(1-sin2n-2k+2θ(+⋯+(1-sin4θ(+2θ=1+sin2θ+sin4θ+⋯+sin2n-2θ+(n-2)-sin2n-2θ-⋯-sin2n-2k+2θ-⋯-sin4θ+cos2θ=1+(n-2)+sin2θ+cos2θ=1+(n-2)+1=n.F=n.F>等价于证明ln2+ln2+⋯+ln2>，注意到左侧求和式ln2=ln2+ln2+⋯+ln2，将右侧含有n的表达式表示为求和式有-=-+-+⋯+-+-=1-1=n3n+33n+9故只需证ln2>>=-,∀n≥1,n∈N*成立，(x)=-= n+1>0在所以f(x)>f(1)=ln1+1-1=0，所以原不等式成立. 到一列数记为数列{bn{，数列{cn{满足80cn=bn+47，求数列{tancn⋅tancn+1{的前n项和Tn.=6，=6，nn-1个，n-3n-1=2⋅3n-1.于是φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+1=(p-1n=bn+47=160n，即cn=2n，tancn⋅tancn+1=tan2n⋅tan(2n+2)=-1，Tn=tanc1⋅tanc2+tanc2⋅tanc3+⋯+tancn⋅tancn+1=tan2⋅tan4+tan4⋅tan6+⋯+tan2n⋅tan(2n+2)=tan4-tan2+tan6-tan4+⋯+tan(2n+2)-tan2ntan2-n=tan(2n-tan2-n=tan2)-n-1.之和，得到方程x1+x2+x3+x4i+1-xi(i=1,2,3,4(等于同一常数，根据等差数列的定义可得{xi{构成等差数列，所以x1+x2+x3+x4+x5=5x3=2024，xi+1-xi(i=1,2,3,4(等于同一常数；(2)因为=(x1+x2+x3+x4+x5(==404.8，依题意t=1时，即当1≤i,j≤5时，max(xi-xj)=1，(3)因为平均数=(x1+x2+x3+x4+x5(==404.8，又方差σ2=(xi-(2，即5σ2=(xi-(2=x-52， 现的概率，其中pij=P(ξ=ai,η=bj)=P[(ξ=ai)∩(η=bj)].②依题意，0≤m+n≤3，P(ξ=m,η=n)=P(ξ=m|η=n)⋅P(η=n)，显然P(η=n)=Cn3-n，则P(ξ=m|η=n)=Cnm3-n-m=Cn3-n，所以P(ξ=m,η=n)=Cn3-n⋅Cn3-n=CCn=.i2j)]∪⋯}=P[(ξ=ai)∩(η=b1)]+P[(ξ=ai)∩(η=b2)]+⋯+P[(ξ=ai)∩(η=bj)]+⋯=P[(ξ=ai)∩(η=bj)]=P(ξ=ai,η=bj)=pij.即(x-m)2+y2=x-n（2，2=1，当m<n时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；当m>n时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线.,Nx2,Mx32>0且x3=-x2,y3=-y2，Ny2-y2y3 ==x2+22-x2-22x3-22，=x2+222+y=-x2-222+-y22=AM，(法一)设直线MM的方程为x=ty+22，联立C的方程，得t2+2y2+42ty-8=0，则y1+y3=-42t8t2+2,y1则y1+y3=-42t8由(1)可知AM=x1-=4-x1,BN=AM=4-x3，所以+====4-y1+y3=4-⋅-=1，4-2ty1+y3+t2y1y34-2t⋅-+2⋅-(法二)设∠MAx=θ,则有=，解得同理由=，解得AM=,所以+=+=+=1，由椭圆定义BQ+QM+MA=8，得QM=8-BQ-AM，AMQM8-BQ-AMBNBQBQ |AM|+|BN||AM |AM|+|BN|+=+=8-=8-2=6.得[(m2-n2(s2-n2[y2+2sm(m2-n2(y+(m2-n2(2=0，1+y3=-,y1y3=，(*)因为|AM|=x1-=x1-n,|BN|=|AM/|=x3-n，所以+=+==x1-n(+x3-n(=y1++y3+x1-x3-n(y1+y3+=，(m-+|AM|cosθnn-mcosθ(法二)设∠MAx=θ,依条件有=(m-+|AM|cosθnn-mcosθ |AM/|=mnn m2-n2n+mcosθ,所以+=+=+=.所以AQ+BQ=+=2n+=2n+=2n+=，由内切圆性质可知，S=AB+AQ+BQ⋅r，当S=λr时，λ=AB+AQ+BQ=m+=(常数).1×41 ×3 21×33×=4则PD=PAB1×41 ×3 21×33×=4又PCD=PBC+PAC=××+ 所以P(C|D(===，则P(X=0(=P((=××=，P(X=2(=P(D(=，P(X=3(=P(ABC(=××=，所以X的分布列为X0123P 4 4即X的数学期望为. 3则Pn=Pn-1+(1-Pn-1(=-Pn-1+(n=2,3,⋅⋅⋅,31(，所以Pn-=-Pn-1-,又因为P1-=≠0，n-1(n=2,n-1>，n-1>(n=1,2,当n为偶数时-n-1>显然不成立，当n为奇数时，不等式可变为n-1>，当n=3时，2=>=>成立；当n=5时，4<4=<，则n=5时，n-1>不成立.又因为函数y=n-1单调递减，所以当n≥5时，n-1>不成立，*(ⅱ)记f(x(的源数列为{cn{，证明：{cn{前n项和Sn<.解析：(1)由f(x(=x-lnx,x∈(0,1[，得f,(x(=-=<0，当x>0且x无限趋近于0时，f(x(趋向于正无穷大，f(cn(=n，即f(x(存在源数列；(2)(i)f(x(-≤0恒成立，即λ≥x-xlnx恒成立，≥t2-2tlnt恒成立，令φ(t(=t2-2tlnt，则φ,(t)=2t-2lnt-2，(ii)由(i)得fx≤，故fcn≤，即n≤，n2n2-2n-12n+1，故cn≤n2n2-2n-12n+1，当n=1时，S1≤=1<，当n≥2时，Sn≤1+-+-+⋯+-=-<，即{cn{前n项和Sn< 5.32..9=x+2023-2+y2=x+2023-2+y2x-所以C的方程为y2=2x. 2所以C的方程为y2=2x.,Nx2因为平行四边形MANB对角线的交点在第一三象限的角平分线上，所以线段MN的中点Q在直线y=x上，所以(y1-y2((y1+y2(=2(x1-x2(，又y1+y2=2m,--=k,设直线MN的方程为y-m=(x-m(，即x-my+m2-m=0，2+m2-m=0,整理得y2-2my+2m2-2m=0，所以Δ=8m-4m2>0，解得0<m<2，y1+y2=2m,y1y2=2m2-2m，则|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2(2-4y1y2=1+m24m2-4(2m2-2m(=21+m2入2m-m2.又点A到直线MN的距离为d=，+m22m-m2⋅=22m-m2|2-2m+m2|，记t=2m-m2，所以S=2t(2-t2(=-2t3+4t,t∈(0,1[.令f(t(=-2t3+4t,t∈(0,1[，则f,(t(=-6t2+4， 令f,(t(=0，可得t=，t(<0,f(t(在区间 所以当t=，即m=1±时，f(t(取得最大值，即Smax=f=，所以S≤.2+y2=2上各点的纵坐标变为原来的(0<λ<2(倍(横坐标不变)， 2 2x=x1x1=xy=x=x1x1=xy=2y1（y1=2λy代入方程x2+y2=2，可得x2+y2=2，整理得+=1(0<λ<2)，所以曲线E的轨迹方程为+=1(0<λ<2).4y=k(x-1))x2-4k2x+2k2-2λ=0，则Δ=(-4k2)2-4(λ+2k2)(2k2-2λ)>0，且x1+x3=λk2,x1x3=，可得(x1+x3(-x1x3=2=2，所以x3=--，可得y3= y1可得y3==2xy1-,-3同理可得D,所以kCD====4kAB，所以==.则tan(β-α)===7k≤37， k 7 7y=k(x+2))x2+8k2x+8k2-2λ=0，2y-t x24-t2y-t x24-t 2 2的直线l1与椭圆Γ交于A,B两点.的.对于椭圆Γ:+=1，极点P(x0,y0((不是原点)对应的极线为lP:+=1，且若极点P在x轴时).已知点Q是直线l1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆Γ于M,N两点.t<4，即t的范围为(0,4(，设P(p,0(,Q,t则Q在P的极线上，现在如果经过P的直线x=my+p交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)：所以Δ=4b4m2p2-4b2(p2-a2((a2+b2m2(=4b4m2p2-4b2(p2a2+p2b2m2-a4-a2b2m2(2(a2+b2m2-p2(>0⇒a2+b2m2>p2，由韦达定理有y1+y2=-,y1y2=，此时要证明的是：kQA+kQB=2kPQ，y1-ty1-tmy1+p- -2t -2ty2-t=p-pmy2+p-p-p,y1-ty1-tmy1+p-y2-ty2-tmy2+p-p-+2tp-p=0，p-(y1-t(my2+p-+(y2-t(（my1+p-+2t（my1+p-my2+p-=0，也就是2mp-+2m2ty1y2+（p-2+tmp-(y1+y2(=0，也就是2mp-+2m2t⋅+p-2+tmp--=0，也就是mp-+m2t⋅b2(p2-a2(+p-2+tmp-(-b2mp(=0，p-+mt⋅b2(p2-a2(-b2p（p-2+tmp-=0，p-+mt⋅(p2-a2(-p（p-2+tmp-=0，p-+mt⋅p--p-2+tmp-=0，p-+mt⋅p-=p-2+tmp-,接下来我们回到原题，①首先由于Q在P的极线x=2上，故由引理有kQN+kQB=2kPQ，kQA+kQM=2kPQ，而kQA=kQB=，所以kQN=kQM，这表明Q是MN和AB的交点，又由于kQA+kQM=2kPQ，故kBA+kNM=2kPQ，AB=kQD=，kMN=kQT=，kPQ=kQE=，所以yD+yT=2yE，也就是E是DT的中点；②设Q(2,t(，那么kPQ=-,kAB=，所以kMN=-t-，这表明MN的方程是y=（-t-x-2+t，即t3-x+1-x-y=0，(2)已知fx为函数fx的导函数，fx在R上有极小值0，对于某点Px0,fx0，fx在P点的切线方程为y=gx，若对于∀x∈R，都有x-x0⋅[fx-gx[≥0，则称P为好点.②求所有的好点.且f0=1，当x→-∞时，fx→-∞,因此fx在区间-∞,0[上存在唯一零点，当x>0时，只要ex-ax2=0存在两个根即可，即a=存在两个根，设ux=，则ux=，(2)①fx=ex-ax2a>0，fx=ex-2ax，令φx=fx，则φx=ex-2a，当x∈-∞,ln2a时，φx<0，fx单调递减，当x∈ln2a,+∞时，φx>0，fx单调递增，故fln2a=eln2a-2aln2a=2a1-ln2a=0，得a=，②设Px0,fx0为好点，对于任意x∈R，都有x-x0⋅[fx-gx[≥0，当x=x0时，fx-gx≥0，当x<x0时，fx-gx≤0成立，因为fx在P点的切线方程为gx-fx0=fx0x-x0，所以gx=fx0x-x0+fx0，设hx=fx-gx，即hx=fx-fx0x-x0-fx0，hx=fx-fx0，时，因为P为好点，所以hx=fx-gx≥0恒成立，0≥1，fx在x∈x0,+∞上单调递增，fx>fx0，hx=fx-fx0>0，所以hx在x>x0时单调递增，hx>hx0=fx0-gx0=0，满足条件，故x0≥1时成立；0<11,+∞上单调递增，,1时，fx<fx0，hx=fx-fx0<0，所以hx在x∈x0,1时单调递减，hx<hx0=fx0-gx0=0，矛盾，不满足条件；时，因为P为好点，所以hx=fx-gx≤0恒成立，0≤1，fx在x∈-∞,x0上单调递减，fx>fx0，hx=fx-fx0>0，所以hx在x<x0时单调递增，hx<hx0=fx0-gx0=0，满足条件，故x0≤1时成立；0>10上单调递增，0时，fx<fx0，hx=fx-fx0<0，所以hx在x∈1,x0时单调递减，hx>hx0=fx0-gx0=0，矛盾，不满足条件；由全概率公式可得，PM1=PM1A⋅PA+PM1BPB+PM1CPC，(2)连续两次都是正面的概率PM1M2=PM1M2APA+PM1M2BPB+PM1M2CPC，所以PAM1M2====；PM3M1M2===PM1M2M3PM1M2M3APA+PM1M2M3BPB+PM1M2M3CPM3M1M2===PM1M2PM1M2 = = PS=，1-PS=，P1=PM1M2APA[PN3HAPHA+PN3HBPHB+PN3HCPHC[P2=PM1M2BPB[PN3KAPKA+PN3KBPKB+PN3KCPKC[所以PM1M2N3=P1+P2=+=，PN3M1M2===，PT=，1-PT=，P:x+2y-6=0.2+b2=13.P所以椭圆E的标准方程为+y2=1，y可得(12k2+1(x2+12kx-9=0，由根与系数的关系可得：x1+x2=-,x1x2=-:y=x-1，所以=====kx1x21+x1=--×(-+1=-+1=1-+1-+13.所以直线AP1,BP2的交点P在直线y=2上.:y=x+1.y1，解得x3=,x4= 因为|x1-x2|=(x1+x2(2-4x1x2=（-2+=， -4x2 -4x22-1k+1)x2-1[2+9=252+16抛物线E:x2=2py(p>0(的焦点.则圆C的方程为(x-2(2+(y-1(2=4，所以抛物线E的方程为x2=4y.其中Δ=16k2-4(16k-4(>0，解得k<2-3或k>2+3，则x1+x2=4k，x1x2=16k-4，又y=x2，所以y'=x，则k1=y'|x=x=x1、k2=y'|x=x=x2，所以过A点的切线方程为y-=x1(x-x1(，即y=x-，同理可得过B点的切线方程为y=x-，所以点Q在直线y=2x-1上，而点M(2,3(也在直线y=2x-1上，所以直线QM与圆C的另一个交点D就是直线y=2x-1与圆C的交点，，所以直线QM与圆C的另一个交点为定点D,-.1(2(；么称d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为A，B两点间的曼哈顿距离.，求d(M,N1(和d(M,N2(的最小值；(2)已知点N是直线x+k2y+2k+1=0(k>0(上的动点，点M(0,2(与点N的曼哈顿距离d(M,N(的最小值记为f(k(，求f(k(的最大值；≤1时，d(M,N(的最大值为f(m,n(，求f(m,n(的最小值.-+2,x<02-3x,x<0y-2|=|x|+|2x-2|=〈2-x,0≤x<1，3x-2,x≥12≥1点(x,y(为直线x+k2y+2k+1=0(k>0(上一动点，则当k2≥1时d(M,N(=|x|++++2|≥++++2|≥++2|，即f(k(=++2|；2<1时，d(M,N(=|x|++++2≥|x|+|x+2k+1+2k2|≥|2k2+2k+1|，即f(k(=|2k2+2k+1|；所以f(k(=≤5，所以f(k(的最大值为5.k=xlnx，0<x≤e，d(M,N(=|