正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)

/正弦定理和余弦定理一、正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c22bccosA；b2＝c2＋a22cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二、对三角形解的个数的探究正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角；2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定．第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．法一;由正弦定理、正弦函数的有界性与三角形的性质可得：(1)若sinB＝eq\f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；(2)若sinB＝eq\f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形的个数为1；(3)若sinB＝eq\f(bsinA,a)<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.显然由0<sinB＝eq\f(bsinA,a)<1可得B有两个值，一个为钝角，一个为锐角，考虑到“大角对大边”、“三角形角和等于180°”等，此时需进行讨论．判断三角形解的个数也可由“三角形边对大角”来判定．设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a<b，则A<B，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)；①sinB>1，无解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，两解．法二：A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA<a<ba<bsinAa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解三、三角形的面积公式已知条件选用公式三角形的一边与此边上的高公式1：S△ABC＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)三角形的两边与夹角公式2：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin三角形的两角与一边公式3：S△ABC＝eq\f(1,2)a2eq\f(sinBsinC,sinA)，S△ABC＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinAsinC,sinB)，S△ABC＝eq\f(1,2)c2eq\f(sinAsinB,sinC).三角形的三边公式4：(海伦公式)S△ABC＝eq\r(pp－ap－bp－c)，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c).S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(R、r分别是三角形外接圆、切圆的半径)，并可由此计算R，r.高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝eq\r(6)，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．1个 B．2个C．0个 D．无法确定(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，则三角A，B，C的度数依次是________．(3)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，则b＝________.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值围是()A．x＞2 B．x＜2C．2＜x＜2eq\r(2) D．2＜x＜2eq\r(3)(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，则AB＝________.高频考点二和三角形面积有关的问题例2、(2015·)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．【感悟提升】(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【变式探究】四边形ABCD的角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形(2)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形练习：1．已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),8)2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则eq\f(c,b)为()A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC3．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)4．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgeq\f(1,b＋c)，则A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq\f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为()A．－eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．1D.eq\f(7,2)6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝eq\r(3)acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．37.在△ABC中,若A=,B=,BC=3,则AC=()A. B. C.2 D.48.在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定9.已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=()A. B. C. D.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=.12.△ABC中,三个角A,B,C对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B=.13.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若·=2,且b=2,求a和c的值.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2-2sin2=,且A<B,求.16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值.(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.正余弦定理在实际中的应用对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与⑧水平方向的夹角，如图．(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线⑨上方的角叫仰角，在水平线⑩下方的角叫俯角，如图．(3)方位角：指从正北方向⑪顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的⑫小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°.（4）（3）（3）（4）（3）（3）（2）（1）[知识点一]测量距离问题[例1](导学号：30280048)如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°.求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．1．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m[知识点二]测量高度问题[例2](导学号：30280050)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以与∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[知识点三]测量角度问题[例3](导学号：30280052)如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(eq\r(3)－1)