2023年山西省某中学数学高二第二学期期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，

第二次也取到新球的概率为()

3152

A.—B.—C.—D.一

51095

2.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[n]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命

题中正确的是—

①函数f(x)的最大值为1；②函数f(x)的最小值为0；

③方程G(x)=〃x)—g有无数个根；④函数f(x)是增函数.

A.②③B.①②③C.②D.③④

3.若实数a,人满足log。2<log”2,则下列关系中不可能成立的是()

A.G<b<a<\B.0<6Z<1<bC.a>h>\D.0<b<l<a

4.椭圆如2+〃y2=i与直线x+y=l相交于A8两点，过AB中点”与坐标原点连线斜率为①，则'=()

2n

A.—B.C.1D.2

23

5.若(ax-9)展开式的常数项为60,则“值为()

A.4B.±4C.2D.±2

6.过点(e,—e)作曲线y=e'-x的切线，则切线方程为()

A.y=(-1-e)x+e2B.y=(e-l)x-e2

C.y=(ee+l-l)x-ee+2D.y={ee-Y)x-ee+i

7.已知定义在R上的函数/(x)满足/(-x)=/(x),且函数/(x)在(e,0)上是减函数，若

b=/「og21，c=/(2°3),则叫b,c的大小关系为()

A.c<h<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

8.已知函数/(jc)=6sin2x-cos2x的图象向左平移2个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数g(x)的图象,

则g(x)在下列区间上为单调递减的区间是。

9.已知命题p：函数丁=1。80,5(*2+2%+“)的值域为/?；命题中函数y=—(5—20是R上的减函数.若p或g为

真命题，p且g为假命题，则实数a的取值范围是()

A.a<\B.a<2C.\<a<2D.aVl或

10.给出定义：若函数f(x)在。上可导，即/'(X)存在，且导函数7'(X)在。上也可导，则称/(x)在。上存在二阶

导函数，记/"(%)=(1(X))',若尸'(x)<o在。上恒成立，则称/(X)在。上为凸函数.以下四个函数在(0,、)上不

是凸函数的是()

A./(x)=sinx+cosxB.f(x)=Inx—2x

C./(x)=—x3+2x-lD.f(x)--xe~x

11.已知i为虚数单位，则复数z=「L在复平面内对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.对于函数^=/(幻/€宠,“丁=|/(刈的图象关于1轴对称”是“「=/(幻是奇函数，，的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.已知(1+x)")=4+q(l-x)+a2(1—x)H--Fq。(l-x)。，则心=.

14.在复数范围内，方程％2+1+1=0的根为.

V2V21

15.若双曲线=>0,6>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的一，则该双曲线的渐近线方程是

a~h~4

16.若x〉。，y>。，且皿*幅9-。叫，则|+上的最小值为--------

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

711

17.(12分)在极坐标系中，已知直线I的极坐标方程为夕sin(9+§)=5.以极点为坐标原点，极轴为X轴正半轴建

x=4w

立直角坐标系xQy,曲线C的参数方程为“，(m为参数).

y=4"

(1)求直线I的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)已知点P(G-2),直线I和曲线C相交于A，B两点,求附

18.(12分)定义：a^^；(x2+x+l)tt=D>2"+O>2n-'++D>2"-2++£)>、+比”(〃GN)中,把比,D\,

D；,…,。/叫做三项式的〃次系数列(如三项式的1次系数列是L1,1).

(D填空：三项式的2次系数列是；

三项式的3次系数列是；

(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质*=C：+C产,类似的请用三项式”次系数列中的系数表示

欧：(14k42〃-1,左eN)(无须证明)；

⑶求a的值.

19.(12分)已知/(x)=|x—a|x+|x-2|(x-a).

(1)当“=1时，求不等式/'(x)<0的解集；

(2)若xe(—8,l)时，f(x)<0,求。的取值范围.

X,_1_x

20.(12分)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换《2后，曲线C的方程变为尤'2+y'2=l.以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为「$山(£一?)=6.

(1)求曲线C和直线1的直角坐标方程；

(2)过点P(1,O)作1的垂线1。交C于A,B两点，点A在x轴上方，求』3一焉的值.

IPM\PB\

21.(12分)如图，正方体ABC。-A与GR的所有棱长都为1,求点A到平面A3。的距离.

c

22.(10分)在极坐标系中，曲线G：psin20=4cos^,以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系大。，,

X—2d—t

2

曲线G的参数方程为a为参数).

V3.

y

(1)求G、。2的直角坐标方程;

(2)若曲线G与曲线交于A、8两点，且定点P的坐标为(2,0),求|1为卜俨目的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,C

【解析】

试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，

故第二次也取到新球的概率为-

9

考点：古典概型概率

2、A

【解析】

本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解［x］的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果.

【详解】

画出函数八x)=x-［x］的图象，如下图所示.

由图象得，函数火X）的最大值小于1,故①不正确；

函数/U）的最小值为0,故②正确；

函数每隔一个单位重复一次，所以函数G（x）=〃x）-g有无数个零点，故③正确；

函数八x）有增有减，故④不正确.

故答案为②③.

【点睛】

本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解.

3、D

【解析】

根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案.

【详解】

根据题意，实数匕满足log“2<l0gz,2,

对于A,若a,Z?均大于0小于1,依题意，必有故A有可能成立；

对于6,若log〃2>0>log“2,则有故8有可能成立；

对于C,若。，Z?均大于1,由log“2<k）g〃2,知必有故C有可能成立；

对于O,当时，log“2>0,log„2<0,log02<log〃2不能成立，

故选O.

【点睛】

本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论。、〃的值，属于中档题.

4、A

【解析】

试题分析：设可得自”=&=坐，心=三贵=一1,由AB的中点为“，

入02x2-*1

--如1+HV；=1

可得%+々=2%,必+%=2%，由A,B在椭圆上，可得〈；刀，，两式相减可得

nvc^+ny］=1

根（%一马）-2%+〃（y-%>2%=0，整理得丝=也，故选A.

n2

考点：椭圆的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的

应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别

式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.

5、D

【解析】

由二项式展开式的通项公式写出第k+1项，求出常数项的系数，列方程即可求解.

【详解】

因为姓_9）展开式的通项为T*+1=C^-k^k（-1//=C"-*（一1）*/永，

令6—54=0,则2=4,所以常数项为《/-，（—［『二切，即［5.2=60,所以a=±2.

故选D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.

6、C

【解析】

设出切点坐标（与，/。），求出原函数的导函数，得到函数在x=x0时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点

斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求.

【详解】

由y=e"—x,得y'=e'—1,

设切点为（/，。"），

则再『。=*一1，

切线方程为y—八=（靖。-1）（刀一不），

•.•切线过点(e,-e),

exo=exo(l-xo)f

解得：7)=e+l.

切线方程为y—e"+i=e"M(x—e—1),整理得：y=(ee+'-\)x-ee+2.

故选C..

【点睛】

本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是

中档题.

7、B

【解析】

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.

【详解】

因为函数/(x)满足/(-x)=/(x),且函数/(x)在(F,0)上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值

较小；log2；=log22-2=-2,2°-3>2°=1且2°-3<2]=2，所以人>c>a,故选B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

8、A

【解析】

先利用辅助角公式将函数化为丫二人小班的+⑼的形式，再写出变换后的函数g(x),最后写出其单调递减区间即可.

【详解】

/(x)=V3sin2x-cos2x的图象向左平移三个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后g(x)=-2cosx,g(x)在

区间[一〃+2攵],2米r],ZeZ上单调递减

故选A

【点睛】

本题考查三角函数变换，及其单调区间.属于中档题.

9、C

【解析】

分别求命题，为真命题时”的范围，命题4为真命题时。的范围；根据〃或4为真命题，。且q为假命题，得到命题，，

q中有一个真命题，一个假命题，分命题〃为真命题且命题《为假命题和命题夕为真命题且命题"为假命题两类求出。

的范围.

【详解】

解：命题，为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，

故二次函数/+2x+a的判别式A=4-4a..O,

从而1;

命题4为真时，5—2。>1解得a<2.

若。或4为真命题，。且4为假命题，故夕和夕中只有一个是真命题，一个是假命题.

a>2

若P为真，夕为假时，，，无解；

a<1

a>1

若。为假，q为真时，〈一解得1<。<2；

a<2

综上可得l<a<2,

故选：C.

【点睛】

本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题.

10、D

【解析】

对A,B,C,D四个选项逐个进行二次求导，判断其在(o,上的符号即可得选项.

【详解】

若/(x)=sinx+cosx,贝!|/"(x)=-sinx-cosx,

在xe(0卷)上,恒有/”(x)<0；

若/(x)=lnx-2x,贝!|/"(幻=一-y,在xe上，恒有/"(无)<0；

若/(x)=-丁+2x-l,贝!!/"(x)=-6x,在上，恒有/”(x)<0；

若/(x)=-xe~x,则f(x)-2e~x-xe~x=(2-x)e~x.

在尤e〔O弓J上，恒有/”(x)>0,故选D.

【点睛】

本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题.

11、A

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共扼复数，化简复数二，从而可得结果.

详解：：由于复数，z=^='」=亏=5+不1,

1+z+222

在复平面的对应点坐标为

二在第一象限，故选A.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

加复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

12、B

【解析】

由奇函数，偶函数的定义，容易得选项B正确.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、180

【解析】

.(l+x)'°=[(-2)+(1-，(l+x),°=/+4(1—x)+a2(1—x)"+...+«10(l—x)10,

2)2=180,故答案为180.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之

一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：(1)考查二项展开式的通项公式=C/"-7/；

(可以考查某一项，也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和；(3)二项展开式定理的应

用.

14、

2

【解析】

根据复数范围求根公式求解

【详解】

因为D=1-4=-3<0,所以方程1+力1=o的根为T士日二二1

22

故答案为：二1±两

2

【点睛】

本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

15、y=±-x

3

【解析】

利用点到直线的距离公式计算出焦点到渐近线的距离，然后根据对应距离等于焦距的-求解出-的值，即可得到双曲

4a

线的渐近线方程.

【详解】

因为焦点到渐近线的距离d=/冈=b,所以8='.2c=：,

y/a2+b242

所以。2=4人2=优+加，所以2=也，

a3

所以渐近线方程为：y=±立x.

3

故答案为：y=x.

3

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度一般.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.

1fi4+26

3

【解析】

分析：由对数运算和换底公式，求得*N的关系为x+2y=2,根据基本不等式确定

详解：因为x>0,y>Q

所以+

log24

(24

log2(3x3')=ilog23

3'X32V=32»所以x+2y=2,即g(x+2)，)=l

▼,211/21)

所以一+丁=K(x+2y)-+—

x3y2，(x3yJ

Jc24yx

2+-+—+一

23x3y)

+2E)

一213

1(84百〕

>-----+

213

>4+273

3

4y_x

x=6-2A/3

当且仅当4上yx

37即,x3y，此时七时取等号

y=\l3-l

九+2y=2

所以最小值为4+26

3

点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中

档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)屈+y-1=(),x2=4y；(2)44

【解析】

分析：(D首先将直线/的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用

代入消元法消去加可求得曲线。的普通方程.(2)利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得4Hp刈的

值.

详解：

17171

(1)由「s由+=e得psinOcosy+pcosOsiny=即psinO+yf3pcosd-1=0「•/的直角坐标方程

2332

氐+y-l=O,

x=4mx,（x

由4/2，得加=—，代入y=4m2得y=4x—即f=4y,所以。的普通方程：f=4y；

y=4m24）（4

x=73——?

2

(2)P(6-2)在/上，/的参数方程为<a为参数）,

y=—2+Brt

2

将/的参数方程代入。得:,即产―120f+44=0.

txt2=44,

叫冏=陶=44.

点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解

题.属于基础题.

18、(1)1,2,3,2,1;1,3,6,7,6,3,1(2)£>*：,'=£>*-'+D*+D*+,(l<k<2n-\,k^N)(3)50

【解析】

【试题分析】(1)分别将〃=2,3代入，把(f+x+1)”展开进行计算即可求得三项式的2次系数列是1,2,3,2,1;三

项式的3次系数列是1,3,6,7,6,3,1；(2)运用类比思维的思想可得比；=+。,丁(1WA一1次eN)；

(3)由题设中的定义可知比表示(/+X+1,展开式中一的系数，因此可求出O：=C；C；+C；C：=50.

解：(1)三项式的2次系数列是1,2,3,2,1;

三项式的3次系数列是1,3,6,7,6,3,1；

+

(2)比：=比7+a+D^'(l<k<2n-l,keN);

(3)式表示(V+x+i)6展开式中一的系数，所以o；=c：c；+c2=5().

19、(1)(2)

【解析】

(1)根据“=1,将原不等式化为|x-l|x+|x-2|(x—l)<0,分别讨论x<l,l<x<2,xN2三种情况，即可求

出结果；

(2)分别讨论“21和a<l两种情况，即可得出结果.

【详解】

(1)当。=1时，原不等式可化为|x-l|x+|x-2|(x-l)<0；

当x<l时，原不等式可化为(l-x)x+(2-x)(x-l)<0,即(x-l)2>0,显然成立,

此时解集为(-8,1)；

当l«x<2时，原不等式可化为(x-l)x+(2—x)(x-l)<0,解得x<l,此时解集为空集；

当xN2时，原不等式可化为(x-l)x+(x-2)(x—l)<0,即*一1)2<0,显然不成立；此时解集为空集;

综上，原不等式的解集为(-8,1)；

(2)当“21时，因为xe(-oo,l),所以由/(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0,

即(x—a)(x—l)>0,显然恒成立；所以满足题意;

2(x-d),a<x<\

当a<l时，/(x)=1c..........,因为时，/(x)<0显然不能成立，所以。<1不满足题意;

2{x-a)(\-x),x<a

综上，。的取值范围是[1,48).

【点睛】

本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

丫2

2后一产2百=()(2)----1

20、(1)—+y=1,-

4-\PA\IPB|T

【解析】

(1)将变换公式代入x'2+y'2=l得，即可曲线C的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标

方程；

(2)将直线lo的参数方程代入曲线C的方程整理得7/-4收-12=0,利用根与系数的关系和直线的参数方程中参

11

数的几何意义，即可求解E；一的值.

\PMIP6I

【详解】

x'--X,,X2

(1)将42代入x'2+y2=l得，曲线C的方程为工+丁=1,

,4

[y=y

由psinC。一匹)=6,得psinOcos三一pcos0sin-=6,

x=pcosOl「

把《.八,代入上式得直线1的直角坐标方程为瓜-y+26=0.

y-夕sin，

(2)因为直线I的倾斜角为所以其垂线I。的倾斜角为

5式161

x-1+rcos—X=l------1

f（t为参数），即＜2

则直线10的参数方程为（t为参数）

1

y=0+/sin—y=9

代入曲线C的方程整理得7f2-46-12=0,

设A,B两点对应的参数为tl,t2,由题意知%>0,，2<°，

4G

4+，2

则＜，KA=（4A/3）2+4X7X12＞0,

12

丫2=T

所以」-----L=_L—J_=£L±&.=—迫.

\PA\|PB\乙-t2Z/23

【点睛】

本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直

线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

、V3

21V

【解