三角形（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题09三角形

"敢嫁述

三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的

概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.

1.四心的地位

所谓三角形的“四心”,是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、

垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中

加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知

识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这

四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的

中心.

2.四心的概念与常用性质

内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相

等；

垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶

点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；

重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；

外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.

四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，

以数解形.

%丑要或

《初中课程要求》1、三角形及其性质

2、全等三角形

3、相似三角形

4、直角三角形

《高中课程要求》1、三角变换与解三角形的综合问题

2、解三角形与平面向量结合

3、以平面图形为背景的解三角形问题

K钠晶讲

高中必备知识点1：三角形的“四心〃

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图3.27,在三角形VABC中，有三条边AB,BC,C4,三个角行X,民？。，三个顶点A,B,C,

在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，

恰好是每条中线的三等分点.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三

角形的三边的距离相等.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角

形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

过不共线的三点4B、C有且只有一个圆，该圆是三角形/8C的外接圆，圆心0为三角形的外

心.三南形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

高中必备知识点2：几种特殊的三角形

结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形A8C中，三角

形的内心/、重心G、垂心H必然在一条直线上.

结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、夕卜心）合一，该点

称为正三角形的中心.

3例周折

高中必备知识点1：三角形的“四心”

【典型例题】

如图，在。。中，A8是的直径，力与。。相切于点A,点C在。。上，且PC=%,

⑴求证PC是。。的切线；

⑵过点C作CD,AB于点E,交。。于点D,若CD=PA=26,

①求图中阴影部分面积；

②连接AC,若的内切圆圆心为/,则线段/£的长为.

4I-

【答案】⑴详见解析；⑵①S阴影==§%—.②币.

【解析】

⑴证明：连接。C、OP,

Y点C在。。上，

.∙.oc为半径.

VRA与。。相切于点A,

.".OALPK.

：.ZPAO=90°.

"：OC=OA,

OP=OP,

PC=PA,

.∖ΛPCO^∕∖PAO.

：.ZPCO=ZPAO=90°.

：.PC±OC.

...PC是。。的切线.

fl

⑵①作CMlAP于点Mf

∖'CD±AB,

9o

..CE=DE=y∣3，ZCEA=9Q.

・♦・四边形CzVME是矩形.

IAM=B

：.PM=AM.

：.PC=AC.

PC=PA9

・・・ZXPCA是等边三角形.

：.ZPAC=60°.

：.ZCAB=30°.

：.ZCOE=GOo.

ΛZCOD=120°.

在RtZkCOE中，

si∩60°=,

OC

：.OC=2.

:・S用比=yR—ʌ/ɜ・

(2)VAP=2√3zAH=CE=√3

ΛCH=√3AH=3

又YI为正APAC的内心

1

.∙.CI=-CH=2

3

二IE=JCE?+C/x√3+4=々

【变式训练】

已知菱形ABCD的边长为2.ZADC=60o,等边AAEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

⑴特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点。即为

等边aAEF的外心；

⑵若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边AAEF的外心为点P.

①猜想验证：如图②.猜想aAEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图③，当AAEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于

点N，试判断4+2是否为定值.若是.请求出该定值；若不是.请说明理由。

DM7DN

【答案】⑴见解析；(2)①外心P一定落在直线DB上，见解析；②言+高为定值，⅛+^=l.

【解析】

(1)证明：如图I,分别连接OE、OF

四边形ABCD是菱形

ΛAC±BD,BD平分NADC.AD=DC=BC,

ZC0D=ZC0B=ZA0D=90o.

ZADO=∙iZADC=-×60o=30",

又∙.∙E∖F分别为DC、CB中点

OE=*D,OFJBC,Ao=LAD,

222

AOE=OF=OA,

.∙.点0即为ZkAEF的夕卜心,

(2)①猜想：外心P一定落在直线DB上，

证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PIJ_CD于I,PJ_LAD于J

二NPlE=NPJD=90°,；NADC=60°

ΛZIPJ=360o-ZPIE-ZPJD-ZJDI=120°

;点P是等边AAEF的外心,二ZEPA=120o,PE=PA,

ΛZIPJ=ZEPA,ΛZIPE=ZJPA

Λ∆PIE^∆PJA,ΛPI=PJ,

.∙.点P在/ADC的平分线上，即点P落在直线DB上,

②总+高为定值i∙

当AE_LDC时.AAEF面积最小，

此时点E、F分别为DC、CB中点.

连接BD、AC交于点P,由⑴

可得点P即为AAEF的外心，

解法：如图3.设MN交BC于点G

设DM=X,DN=y(×≠O.y≠O),则CN=y-2

由BC/7DA易证AGBP丝Z^MDP.ΛBG=DM=X.

∙*∙CG=2-X,

VBC∕/DA,Λ∆NCG<^∆NDM

.CNCG,y-2_2-X

»∙--~=,∙∙---=

DNDMyX

/.X+y=xy.

:•鸿j即总+⅛y=i∙

【能力提升】

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1,PD_LAC,PEJLAB,垂足分

别为点D、E,若PD=PE,则点P为AABC的准内心

C

⑴应用：如图2,CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD=，\B,求/APB的度数.

（2）探究：如图3,已知AABC为直角三角形，斜边BC=5,AB=3,准内心P在AC边上（不与点A、C重合）,

求PA的长.

【答案】⑴NAPB=90。；（2）PA=|.

【解析】

⑴∙.∙准内心P在高CD上，

二①点P为NCAD的角平分线与CD的交点,

「△ABC是等边三角形，

.♦./PAD=/PAC=30°,

「CD为等边三角形ABC的高，

ΛAD=√3DP,AD=BD,

与已知PD=∣AB矛盾，

.∙.点P不可能为/CAD的角平分线与CD的交点，

同理可知②点P不可能为/CBD的角平分线与CD的交点,

③：CD_LAB,

.∙.点P为NBCA的平分线，

此时，点P到AC和BC的距离相等，

VPD=iAB,

2

APD=AD=BD,

JNAPD=NBPD=45°,

.∙.NAPB=90°;

(2)VBC=5,AB=3,

...AC=√8C2-482=4,

・・・准内心在AC边上，(不与点A,B重合),

・・・点P为/CBA的平分线与AC的交点，

作PD,BC与点D,

ΛPA=PD,BD=BA=3,

设PA=X,则χ2+22=(4-χ)2,

，x=m,即PA=-.

22

R

高中必备知识点2：几种特殊的三角形

【典型例题】

问题发现：如图1,AABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE〃BC交AC于E,则线段BD

与CE有何数量关系？

拓展探究：如图2,将aADE绕点A逆时针旋转角α(Cr<αV36(Γ),上面的结论是否仍然成立？如果成立,

请就图中给出的情况加以证明.

问题解决：如果AABC的边长等于2&,AD=2,直接写出当AADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD

【答案】问题发现：BD=CE;拓展探究：结论仍然成立，见解析：问题解决：BD的长为2和2近.

【解析】

问题发现：如图1,BD=CE,理由是

V∆ABC是等边三角形，

ΛAB=AC,

VDE/7BCz

：・BD=CEz

拓展探究：结论仍然成立,如图2,

由图1得,ZkADE是等边三角形，

ΛAD=AE,

由旋转得/BAD=NCAE,ABADTZ∖CAE,（旋转的性质）

，BD=CE,

问题解决：当AADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时,设垂足为点F,此时有两种情况:

VAADE是等边三角形,AFLDE,

ΛZDAF=ZEAF=30o,

/.ZBAD=3O",

过D作DGLAB,垂足为G,

VAD=2,

/.DG=1,AG=VL

VAB=2√3,

/.BG=AB-AG=√3,

.∙.BD=2（勾股定理），

同理得ABAD丝ZXCAE,

.,.BD=CE,

•••△ADE是等边三角形，

，ZADE=60o,

VAD=AE,DE±AC,

，NDAF=NEAF=30°,

1

AEF=FD=-AD=I,

2

ΛAF=√3,

：.CF=AC+CF=2√3+√3=3√3,

在Rt∆EFC中,EC=JEF?+EC2=712+(3√3)2=√28=2√7,

.∙.BD=EC=2√7.

综上所述,BD的长为2和2近.

【变式训练】

如图，两条射线BA〃CD,P8和PC分别平分NABC和∕DCB,AD过点P,分别交AB,CD与点A,D.

(1)求/BPC的度数；

⑵若AOJ.84,ZBCD=60°,BP=2,求AB+CD的值；

⑶右SAA8?为α,SXCDP为b,SABPC为3求证：a+b=c.

【答案】⑴90。(2)4；⑶证明见解析

【解析】

(1)∖"BA∕∕CD,：.ZΛβC+ZβCD=180o.

TP8和PC分另IJ平分/ABC和∕DCB,ΛZPBC=ɪZABC,ZPCB=-ZBCD,：.ZPBC+ZPCB=-×(ZABC+

222

∕BCD)=90°,ΛZBPC=90°;

(2)若NBCD=60°,BP=2,：.ZΛBC=180°-60°=120°,ZPCD=-ZBCD=30°,：.ZABP^-ZABC=60°.

22

在RtAABP中，BP=2,AB=I.在RtZ∖8CP中，CP=2√3.在RtAPCO中，PD=√J,8=3,.∖AB+CD=4.

(3)如图，作PQ_L8C.

•：NABP=NQBP,NBAP=/BQP,BP=BP.

：.∆ΛβP^ΔβQP(AAS).

同理∙∆PQC丝ZXPCD(AAS),.∙.5ABCP=5A8PQ+5APQC=5AA8°+5APCO,o+b-c.

【能力提升】

如图，^ABC∖∆DCE>aFEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=百，

BC=I,连结BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.

⑴求证:∆BFG^∆FEG

（2）求SinNFBG的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）姮.

6

【解析】

解：⑴依题可得：

BC=CE=EG=I,FG=AB=√3,

BG=3,

在ABFG和AFEG中,

.FGBG-

♦------=..........—>Jz3ɪNG=NG,

EGFG

Λ∆BFG^∆FEG.

(2)过点F作FHlBG于点H,如图,

则NFHG=90°,

∙.∙AFEG是等腰三角形,EG=I,

.∙.EH=GH=LEG=L

22

22

ʌFH=√FG-GH=—,

VΔBFGΔFEG,

ΛZBFG=ZFEG=ZG,

.∙.BF=BG=3BC=3,

在Rt∆FBH中,

FH√∏√∏

AsinZFBG=BF26,

3

对支福秣

1.如图，等边A6C的顶点A(Ll),8(3,1)；规定把A5C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位”为

一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边eABC的顶点。的坐标为().

A.(-2020,ΛΛ+1)B.(-2O17,-√3-l)C.(-2O18,√3+l)D.(-2019,-√3-1)

【答案】D

.∙.AD=BD=-AB=-AC

22

∙.∙A(1,1),8(3,1)

.∙∙AC=AB=2

：.AD=-AB=X

2

∙,∙CD=√AC2-AO2=6

ΛC(2,√3+1)

第一次把，√18C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位：得。(2-1,—6-1),即C(―1+2,-6一1)；

第二次把一A6C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位'；得C(I-1,6+1),即C(-2+2,G+1);

第三次把‘A6C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位得C(θ-1,一石-1),即C(-3+2,一百—1)；

当〃为奇数时，第〃次把AA5C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位'；得。(一〃+2,-6-1)

当〃为偶数时，第〃次把「.ABC"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位'；得C(一〃+2,6+1)

V2021为奇数

.∙.第2021次把.∙,A5C"先沿X轴翻折，再向左平移1个单位，；得C(-2021+2,-G-1),即

C(-2()19,-百-1)；

故选：D.

2.如图，在,A5C中，点。是边AB上的中点，连接8,将ABCD沿着CD翻折，得到QEeD,CE

与AB交于点F，连接AE∙若AB=6,CD=4,AE=2,则点C到AB的距离为()

E

A.ɪB.4√2c.ɪD,2√2

23

【答案】C

连接8E,延长CD交8£于G点，过C作。ɑAB于H,如图所示

山折叠的性质，得：BD=ED,CB=CE

.∙.CG是线段8E的垂直平分线

1

J.BG=-BE

2

点是A8的中点

,,.BD=AD,SBCD=S.ACD

：.AD=ED

：.ZDAE=ZDEA

'JBD=ED

.∙.ZDEB=ZDBE

•：ZDAE+ZBEA+ZDBE=18Qo

即ZDAE+ZDEA+ZDEB+ZDBE=13Qo

：.2ZDEA+2ZDEB=180o

：.ZDEA+ZDEB=90o

即NA£8=90。

在Rt∕∖AEB^,由勾股定理得：BE=^AB2-AEλ=√36-4=4√2

•,­θG=2√2

∙•∙UVBCDT+°VACD-=UVABC

：.2×-CD-BG=LAB-CH

22

.2CD∙BG2×4×2√28√2

・・Cn=-------------=------------------=--------

故选：C.

3.在RABe中,AC=BC,点。为AB中点，NGDH=90。,NGDH绕点D旋转,DG,DH分别

/7

与边AC,BC交于E,F两点，下列结论：®AE+BF=-AB-,@AE2+BF2EF2;③

2

⅛≡c≡-=^δabc；④,.ZJE/始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）

G

'EH

ADB

A,①②④B.①②③C.③④D.①②③④

【答案】D

解：连接CAe=8C,点。为A3中点，NAcβ=90°,

.-.AD=CD=BD=-AB.ZA=NB=ZAGD=NBcD=45°,ZADC=NBz)C=90。.

2

..ZADE+NEDC=90°,

ZEDC+ZFDC=AGDH=90°.

∖IADE?CDF.

在A4Γ>E和ACDF中，

ZA=ZDCB

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

：.ΔADE=ACDF(ASA),

∙'∙AE=CF,DE=DF>SAADE=SbCDF.

ACBC,

.-.AC-AE=BC-CF,

.∙.CE=BF.

.AC-AE+CE,

:.AC=AE+BF.

AC2+BC2=AB2>

:.AC=—AB,

2

:.AE+BF=-AB.

2

DE=DF,NGDH=90°，

.-.ADEF始终为等腰直角三角形.

.CE2+CF2EF2,

.∙.AE2+BF2=EF2•

'∙'S四边形CEDF=SAEDC+SAa)F,

1=

⅞边形CEOF=S*£DC+SliADE^ΛABC-

正确的有①②③④.

故选D.

G∖C

ADB

4.如图，在EW8C中，SBAC=90°,4。是8C边上的高，BE是AC边的中线,CF是EWCB的角平分线，C尸交A

D于点G,交BE于点H,下面说法正确的是()

①MBE的面积=EIBCE的面积；(2)SFAG=BFCBi③AF=AG；④BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】D

解：是AC边的中线，

：.AE=CE,

「△ABE的面积=LXAEXAδ,∕∖BCE的面积=LXeEX48,

22

,△ABE的面积=ZsBCE的面积，故①正确；

YAD是8C边上的高，

.∙.NADC=90°,

/BAC=90°,

：.ZDAC+ZACB=90°,/EAG+/。AC=90。，

.∖ZFAG=ZACB,

∙/CF是NACB的角平分线,

.,.ZACF=ZFCB,NACB=2NFCB,

ΛZFAG=2ZFCB,故②错误；

：在aACF和AOGC中，ZBAC=ZADC=90°,ZACF=ZFCB,

：.ZAFG=180°-ZBAC-NACF,NAGF=/DGC=180°-ZADC-NFCB,

：.ZAFG=ZAGF,

：.AF=AG,故③正确；

根据已知不能推出NHBC=/HCB,即不能推出H8=HC,故④错误；

即正确的为①③，

故选：D.

5.已知a、b为两正数，且a+人=12,则代数式而下+后方最小值为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

解：如图所示，构造RtZ∖8EA和RtZXAFC使得BE=a,EA=2,AF=3,FC=b,

根据勾股定理可得：AB=√4+a2和AC=的+〃，

所以：

AB+AC^BC.

.∙.当A,B,C三点共线时ΛB+AC有最小值，即BC,

在RtABDC中BC=√BD2+DC2=7(a+⅛)2+(2+3)2=13.

故选：B

6.已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、A是关于X的一元二次方程f一6x+Z+2=0的两

个根，则左的值等于()

A.6B.7C.-7或6D.6或7

【答案】D

解：∙.∙α∖b、4分别是等腰三角形三边的长，

二当α=4或b=4时，即：42-6×4÷⅛+2=0,解得：k=6,

此时，f一6x+8=0的两个根为：xι=2,X2=4,符合题意；

当α=b时，即Zk=(-6)2-4χ(k+2)=0,解得：k=7,

此时，一6∙X+9=O的两个根为：X1=X2=3,符合题意；

综上所述，k的值等于6或7,

故选：D.

7.如图，在锐角.ABC中，AB=6,064C=45o,08AC的平分线交8C于点D,M、N分别是AD和AB上

的动点，则B∕W+MΛ∕的最小值是()

A.—B.1C.√2D.√3

2

【答案】B

如图，作34，AC于点H,交Ar)于点M',作MMLAB于点N',则'+MM为所求最小值.

山角平分线的性质可知MN'=MH,

BM'+M,N'=BM'+M'H=BH,即3”长为所求最小值.

YNfi4C=45°,

二,ABH为等腰直角三角形.

：■β∕∕=ΛB.sin45o=√2×-=1.

2

C

H

故选B.

8.如图所示的网格是正方形网格，点AB,C,D,E是网格线交点，则ZBAC—NZME的度数为（）

【答案】A

解：如图，连接CG、AG,

由勾股定理得：AC2=AG2=l2+22=5,CG2=12÷32=1O,

.".AC2+AG2^CG2,

.∖ZCAG=90°,

.∙∙ACAG是等腰直角三角形，

.∙.NACG=45°,

∖'CF∕∕AB,

：.NACF=ZBAC,

在aCFG和aADE中,

CF=AD

：<ZCFG=ZADE=90o,

FG=DE

：./\CFG^/XADE(SAS),

：.NFCG=/DAE,

：.NBAC-NDAE=ZACF-ZFCG=NACG=45。，

故选：A.

9.如图，在HrABC中，NC=90°,A。平分NCA8,DELATE,则下列结论中，不正确的是(

A.DE平分NADBB.BD+ED=BCC.AO平分NEZ)CD.ED+AC>AD

【答案】A

YAO平分NaB,CD1.AC,EDLAB

：.CD=ED,

：.BC=BD+CD=BD+ED

故选项B正确；

：A。平分NaB

：.ZCAD=ZEAD

,：CDLAC,EDLAB

二NC=NDEA=90°

.∙.ZADC=ZADE

即AD平分NEDC

故选项C正确；

在AACD中，AC+CD>AD

：.ED+AOAD

故选项D正确;

若DE平分NAD8

则有NBDE=NADE

∙.∙ZADE=ZADC

：.ZADE=ZADC=ZBDE

∙.∙ZADE+ZADC+ZBDE^180°

.".ZBDE=GO"

ΛZβ=90°-ZSDf=30"

显然这里/B是不一定为30°

故选项A错误.

故选：A.

10.如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到

达B处,测的灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）

B

A.4（AQ海里B.（206+10）海里

C.40海里D.（106+10）海里

【答案】D

解：过A作AO_LBC于。，如图所示：

在Rt八钻。中，NABZ）=30°,AB=20海里,

,AD=；AjB=Io（海里），BQ=VLAO=曰AB=Io6（海里），

∙.∙ZABC=30°，ABAC=900+15°=105°,

...ZC=180o-105o-30o=45o,

.∙.AACO是等腰宜角三角形，

.∙.CD=4)=10海里，

.∙.8C=B0+CD=(1OG+1O)海里,

故选：D.

IL如图,在正方形ABCD中，A6=8,点P是线段DC上的动点,将ΛADP沿直线AP翻折,得到AAEP，

点”是6C上一点，且3H=3,连接AH，HE,当。P的长为时，AAHE是直角三角形.

【答案】8或一

11

①当E在AH的上方时，且NAEH=90。，

根据折叠的性质，ZAEP=ZD=90o,AD=AE,DP=PE,

：.ZAEP=ZAEH=90o,AD^AE=AB,

：.点P、E、H在同一直线上，

在Rt∕∖ABH和Rt∕∖AEH中，

AH=AH

'AB=AE'

：.RtAABH=RtAAEH(HL),

：.EH=BH=3,

设DP=X,则PC=8-χ,HC=8-3=5.PH=PE+HE=x+3,

在AtZ∖CPH中，HC2+PC2=PH-.即52+(8—%)2=(1+3)2,

解得X=—,即DP=—；

1111

此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，

.∙.DP=8;

40

综上，当DP的长为8或ɪɪ时，A4∕ffi是直角三角形.

,40

故答案为：8或—.

11

12.如图，点A(2,2)在直线y=χ上，过点作A型力轴交直线>=；X于点用，以点A为直角顶点，4耳

为直角边在4片的右侧作等腰直角A4,gC∣,再过G点作过点A?4///轴交直线y=χ和直线)>=；X于

A2,为两点，以点4为直角顶点，4名为直角边在的右侧作等腰直角a4842,…，按此规律进行

下去，则等腰直角纥的边长纥为.(用含正整数〃的代数式表示)

4ClG

【答案】(I)√2

解：点在直线上,

A1(2,2)y=χ

点Bl横坐标为2,将X=2代入y=；X得y=1,

・・•点Bl坐标为(2,1).

∙.∙ΔAB1C1为等腰直角三角形，

.*.AiBl=A1C1=2—1=1,

•・•点&坐标为(3,2).B1C1=√2.

∙.∙过G点作4与//丁轴，

]3

.∙.A2,4的横坐标为3,将x=3分别代入y=x与y=∕X中得4，为的纵坐标分别为3,

333

即A,(3,3),6,(3，)，48,=3-己==，

2，-22

.∙.B2C2=正=T夜.点C2坐标为(1,3).

23

同理可得B3C3=(∣)√2,B4C4=(∣)√2……

•••β,,Q=(∣Γ'√2.

故答案为：(3)"TJL

2

13如图’在平面直角坐标系中，点AMf，4在，轴上，点血…,纥在直线尸冬上.若

A(1,0),且.,.4824,,4纥4用都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别

解：由等边三角形可知:

AiBi//482〃…〃AnBnf

B1A2∕/B2A3∕/...//B∩A∩+ιf

∙.∙直线y=2X与X轴的夹角/8104=30。，/。4比=120。，

3

二20814=30°,

.∙.04ι=4ιβι,

Λ4ι(l,0),

：.AiB1=Ii

同理/08262=30°,…，N。BnA)=30°,

nl

ΛBiAi-OAi=I,8√h=4,...,BnAn=2,

可知NoBlA2=90°,...,ZOBnAn+ι=90",

n1

Λβιβ2=√3)β2β3=2√3>-.βnβn÷ι=2^√3,

,=23

∙∙Si=ɪ×1×∙^3=——»52=-×2×2-∖^=2>/3,Sn2"ʌ/ɜ.

222

二当n=2021时，S202l=2©9√3

故答案为：24039√3.

14.如图，四边形ABCD中，ADHBC,连接AC,AC^BC,0B4D=135o,E为AC上一点，连接8E,EIBEC=2

S¼CD,AD=2,CE=3,则线段8E=一

【答案】5

解：如图，过点E作EF〃C。交BC于点F,作FGLBE于点G,

A

rD

F

VEFllCD,

：.ZFEC=ZACDf

λ:ZBEC=2ZACD=ZBEF+ZCEF,

/.ZBEF=ZCEFr

VΛC±5C,FGLBE9

：.CF=GF9

•：AD//BC,

ΛZDAC=ZACB=90o,

：.ZBAC=ZBAD-NCAD=I35°-90°=45°,

.∖NA8C=45°,

•••△A8C是等腰直角三角形，

：.AC=BCf

设ZE=x,

：.AC=BC=AE+EC=x+3,

在RtAfGF和Rt∆ECF中,

EF=EF

FG=FC1

,Rt∆F6F^RtAfCF(HL),

：.EG=EC1

∙/ZDAC=NFCE=90°,ZACD=NCEF,

・・・AADCsACFE,

,ADAC

*'CF^CE,

.2x+3

••,

CF3

6

：.CF=-------

x+3

6

・・・GF=-------

x+3

：NBGF=NBCE=90°,ZFBG=ZEBC,

.∖∕∖BFG‹^∆BEC,

FGBG

ECBC

6BG

ʌ7+3

x+3

3

.∙.8G=2,

.∖BE-BG+GE=BG+EC=2+3=5.

故答案为：5.

15.如图，M8C中，0C=9Oo,ZIC=4,SC=3,将附8C绕点8逆时针旋转一定的角度α(0°<αV9CΓ),直线

4G分别交AB,AC于点G,H.当MG，为等腰三角形时，则CH的长为.

【答案】JIU—1或L

解：如图1中,当AG=AH时,

1

H

图1

t

AG=AHf

∙NAHG=NAGH,

∙∕A=N4,ZAGH=ZA1GBf

.ZAHG=ZAιBG,

.ZA1GB=ZA1BGf

•AiB=AiG=S9

.GCi=AiG-CiG=If

'ZSCιG=90o,

2222

..BG=7CIB+CIG=√3+l=710，

.AH=AG=A8—BG=5-而，CH=ΛC-Λ∕/=4-(5-√U))-√10-1,

如图2中，当GA=GH时，过点G作GM±AH于M.

图2

同法可证，GB=GAi,设GB=GAi=X,则有x2=32+(4-x)2,

25

解得x=∙^

8

：.BG=-,AG^5--^-

888

•；GM//BC1

.AGAM

"~AB~~AC

15

：,8_AM,

3

/.AM=-,

2

,

∖GA=GHfGMlAHt

：.AM=HM,

.∖AH=3t

：.CH=AC-AM=I.

当HG=AH时，NHGA=NHAG<45。</八8。大边对大角，小边对小角），

o

,ZA1HC=ZHGA+ZHAG<90,

ooo

ΛZCιβC=360-90-90-ZA1HO90°,即旋转角度大于90°,不符合题意.

综上所述，满足条件的CM的值为Ji6-1或L

故答案为：Jid-i或L

16.如图，在qABC中，ZB=I8°,NC=41°,点。是BC的中点，点E在AB上，将BDE沿DE折

叠，若点B的落点5'在射线C4上，则84与3'。所夹锐角的度数是.

B'

【答案】80°.

如卜图，连接DE,84与BZ>相交于点。,

B'

；3DE名AFDE,

：.BD=FD,

又为BC的中点，BD=DC,

BD=BD，

.∙.ZDBrC=ZC=41°,

.∙.NBDB-ZDB'C+ZC=82°,

.∙.ZBOD=180o-ZB-/BDR=80°,

即BA与所夹锐角的度数是80°.

故答案为：80°.

17.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D是网格线交点，则M8C与回D8C面积的大小关系为：SMBC

Sa08c（填或

【答案】＞

SX2X3=3,

SABCD=-×Λ∕5×Λ∕5=∣,

故填：＞.

18.如图，ZCAD+ZB+ZC+ZD+^E=

BAE

【答案】180o

^.∙NBAC和Nc)AE分别是aACE和AABD的外角，

：.ZBAC=ZC+ZE,NDAE=NB+ND,

.∙.ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=ZCAD+ZBAC+ZDAE^18O°,

故答案为:180°

19.如图，在RtABC中，NC=90°,BC=3,AC=4,BD平分NABC,ADHBC,则AO的长

是__________.

【答案】5

在RrABC中，NC=90°,BC=3,AC=4,

•*-AB=AC1+BC1=√42+32=5，

•：BD平分NABC,

二ZABD^ZDBC,

'：ADHBC,

：.ZADB=ZDBC,

...ZABD=ZADB,

.∙.A8=AD=5.

故答案为：5.

20.如图，将一个含30。角的三角尺48C绕点4按顺时针方向旋转得到附DE,使点B的对应点D恰好落在8

C边上，若A8=百，则CD的长为.

【答案】√3

解：由旋转得：AD=AB=A

：在AtZkABC中，

ZC=30°,NCAB=90°,

：./8=60°,

"SAD=AD,

：.NADB=N8=60°,

∙.∙ZDAB+ZADS+Z8=180o,

/.ZDAB=ZADB=ZB=60",

：.AD=AB=DB=Wl，

在RtZ∖CA8中，NC=30°,NeA8=90。,

.".AB=-BC,

2

ΛSC=2Λβ=2√3,

,CD=BC-BD=I√3-√3=√3.

故CD的长为JL

21.如图1,在R/ABC中，NACB=90°,AB=AC,点。是BC的中点，连接AO,点E是A。上

一点，连接BE并延长交AC于点F.

(2)如图2,若ZDBE=NDEB.

①求证：AE=CF;

②猜想笔的值并写出计算过程.

Cr

【答案】⑴见解析；⑵①见解析；②且二ɪ

2

解：⑴证明：AC=BC.

.∙.ACAB^ACBA,

一点。是BC的中点，点尸是AC中点，

..CF=CD,NC=NC,

.∙.ΔBCF≡ΔACD(5>4S),

NCBF=NCAD,

.∙.ZABE=ZBAE;

⑵①证明：连接CE，

,ZDBE=ZDEB-

..BD=DE=CD,

..ZBEC=90°,

.∙.ZFCE=NCBF=ZBED=ZAEF,

`;AFAE=AEAC>

ΛΔE4F^ΔC4E,

.AEAF

••=,

ACAE

即AE2=ACAF,

4L_「AE2

AF=------，CF=AC~ΛF=ΛC------；

ACAC

设AC=3C=2x,则5Q=CZ)=x,AD=Mx，

(Λ∕5X-x)2

:.AE=(λ∕5-l)ɪ»CF=2x-=(√5-l)x^

2x

.∙.ΛE=CF;

②猜想：”=Yi二1

CF2

理由如下：

CF=(√5-l)x,

:.AF=2x-(∖∕5-l)x=(3-∖∣5)x,

.AF(3-√5)x√5-l

'CF~(√5-l)x^2

22.如图，边长为1的正方形ABCZ）中，点K在上，连接BK,过点A,C作歌的垂线，垂足分别

为M，N,点。是正方形ABC。的中心，连接OM,ON.

⑴求证：AM=BN;

（2）请判断OMN的形状，并说明理由；

⑶若点K在线段Ao上运动（不包括端点），设AK=X,OMN的面积为y,求y关于X的函数关系式（写

出X的范围）；若点K在射线A。上运动，且OMN的面积为L,请直接写出AK长.

2_9Yɪ11

【答案】⑴见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）y="r,（0<x<］）,AK长为一或3

“4X2+4`,3

解：(1)证明：；3_15河，CN人BN,：.ZAMB=NBNC=90。.

又：NABC=90°,：.ZMAB+ZMBA=-90o,NCBN+ZMBA=90°,

：.AMAB=NCBN.

在^AM8和48NC中

ZAMB=ZBNC

<ZMAB=NCBN,

AB=BC

：.AAM哙LBNC(AAS),

.：AM=BN.

(2),OMN是等腰直角三角形，

理由如下：连接08,

•；。为正方形的中心

/.OAOB,ZOBA=ZOAB=45o=ZOBC，AOYBO,

•：ZMAB=NCBM,

：.AMAB一ZOAB=ZNBC-ZOBC,即ZMAo=ZOBN.

在AAMO和48Λ∕0中

AM=BN

<ZMAO=AOBN,

OA^OB

：.∆AMO^AB2VO(SAS),

：.OM=ON,ZAOM=ZBON,

'：ZAOB=ZAON+NBoN=90°,

：NAON+NBON=90°,NAoN+NAOM=90°,,NMON=90°,

.∙.,OMV是等腰直角二角形.

(3)在RtZ∖48K中，BK=AK2+AB1=√χ2+l，

11

9:S,ABK=—×AK×AB=—XBKXAM,

22

-AM=-BK

：.BN=AM=

BMAB

VcosZABK==-----=——

ABBK

ABAB1

JX2+1

1-x

IMN=BM-BN=I,，

√x2+l

∣2ɪ

,/OM=ON=—MN,S.ΛMN=一OM-ON,

220

•e•S∕∖0MN=ɪMN2="0幻一，

44X2+4

X2-2x+l

y=(0<x<l)>

4x2+4

2

当点K在线段AD上时，则，=xj+l,解得：％=3（不合题意舍去），X2=-,

104x+43

γ2_nr,1

当点K在线段A。的延长线时，同理可求得142jj∙（x>l），

.1X2-2x+1

・・一=---

104x2ɔ--+----4----,

解得：X1=3,A2=J不合题意舍去），

综上所述：AK长为，或3时，.OMN的面积为

310

23.如图，在正方形ABCZ）中，动点E,JF分别在边Z）C,CB上移动（不与顶点重合），且满足DE=CF.连

接AE和。尸，交于点P.

⑴请你写出AE与。尸的数量关系和位置关系，并说明理由；

⑵由于点E，尸的移动，使得点P也随之运动.

①请用文字描述并且在图中画出点尸的运动路径；

②若AZ）=I0,请求出线段CP的最小值.

【答案】（I）AE=OF,AELO-，见解析；（2）①点P的运动路价是以A。为直径的圆的圆弧OPo（去除

端点。，O）；②56一5

解：⑴A£=。尸，AEkDF>

理由是：•；四边形ABC。是正方形，

：.AD=DC,NADE=NDCF=90。，

*/DE=CF,

AD=DC

在，ADE和,DCF中<ΛADE=ZDCF,

DE=CF

：•AADE三ADCF,

：.AE=DF,ZDAE=ZFDC

•：ZAZ)E=90。，

.∙.ZADP+ZFDC=90°,

：.ZADP+ZDAE=90°，

：.NAPZ)=180。-90。=90。，

；•AELDF.

⑵如图，

①•；点尸在运动中